數(shù)學(xué)物理方程

前言

本教材的第二版列入普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材。本教材2005年出版后，在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)連續(xù)使用了4屆，根據(jù)使用情況，本次修訂，在保持基本內(nèi)容、基本結(jié)構(gòu)不變的前提下，做了較多的改動，主要有以下幾個方面：（1）交換了第1章中二階線性方程的分類和一階線性（擬線性）方程通解法兩節(jié)的次序，雖然有點切斷了物理上三個典型方程的導(dǎo)出到數(shù)學(xué)上二階線性方程的分類間的聯(lián)系，但從一階到二階更符合認識規(guī)律和便于教學(xué)，重寫了一階線性（擬線性）方程通解法，使之便于理解、掌握并突出了幾何觀點，由于行波解在波動問題里的重要性，單列為一節(jié)。（2）改寫了2.2節(jié)固有值問題及4.3節(jié)一般積分變換簡介的相應(yīng)部分，將無窮維函數(shù)空間中自共軛的固有值問題與有限維內(nèi)積空間中自共軛算子的固有值問題作比較，以便讀者理解、掌握，出于同一目的，把正則奇點的S-L定理移到第3章奇點情況出現(xiàn)時再講。（3）修改5.1節(jié)δ函數(shù)部分，較嚴(yán)格又盡可能淺顯地引進了廣義函數(shù)，使有關(guān)δ函數(shù)的性質(zhì)和運算既滿足讀者的一般應(yīng)用需要又有數(shù)學(xué)上的理論根據(jù)。（4）在第6章中增加泛函的條件極值一節(jié)，使變分方法這一章相對完整，同時使得變分問題和自共軛線性算子的固有值問題聯(lián)系起來。（5）訂正了第一版中已發(fā)現(xiàn)的錯誤。（6）增刪調(diào)整了部分習(xí)題。比較非數(shù)學(xué)系用的一些同類教材，本教材的內(nèi)容在數(shù)學(xué)上略深和廣一些，以使不同需求的教師、學(xué)生和其他讀者有選擇余地，為方便讀者閱讀，對理論部分，我們盡量用較通俗的語言闡述，本教材5.5節(jié)和第6章，相對獨立，簡潔而不失一般性地介紹了廣義函數(shù)和變分法的基本內(nèi)容，推薦給有興趣的讀者閱讀。

內(nèi)容概要

本書根據(jù)編者在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)多年的教學(xué)經(jīng)驗編寫而成，通過對三類典型方程的討論，介紹求解偏微分方程定解問題的通解法，分離變量法，積分變換法，基本解方法和變分方法，以及相關(guān)的固有值問題，特殊函數(shù)和廣義函數(shù)簡介。本書還討論了一階線性和擬線性偏微分方程的特征線概念和求解方法。對涉及的數(shù)學(xué)理論，本書重在理解和應(yīng)用。全書材料豐富，結(jié)構(gòu)清晰，層次分明，便于不同需求的讀者使用。    本書適合于高等院校理工科非數(shù)學(xué)系本科生及有關(guān)科研、工程技術(shù)人員使用。

書籍目錄

第二版前言第一版前言第1章  偏微分方程定解問題  1.1  三個典型方程的導(dǎo)出    1.1.1  弦的橫振動    1.1.2  熱傳導(dǎo)問題    1.1.3  靜電場  1.2  定解問題及其適定性    1.2.1  通解和特解    1.2.2  定解條件    1.2.3  定解問題及其適定性  1.3  一階線性（擬線性）偏微分方程的通解法和特征線法    1.3.1  兩個自變量的一階線性偏微分方程    1.3.2  n個自變量的一階線性偏微分方程（n≥2）    *1.3.3  一階擬線性偏微分方程  1.4  波動方程的行波解    1.4.1  一維波動方程的通解和初值問題的達朗貝爾（d’Alembert）公式    1.4.2  半直線上的問題——延拓法    1.4.3  中心對稱的球面波  1.5  二階線性偏微分方程的分類和標(biāo)準(zhǔn)式    1.5.1  特征方程和特征線    1.5.2  方程的分類、化簡和標(biāo)準(zhǔn)形  1.6  疊加原理和齊次化原理    1.6.1  線性疊加原理    1.6.2  齊次化原理（沖量原理）  習(xí)題1第2章  分離變量法  2.1  兩個典型例子    2.1.1  兩端固定弦的自由振動    2.1.2  圓柱體穩(wěn)態(tài)溫度分布  2.2  一般格式，固有值問題    2.2.1  一般格式    2.2.2  固有值問題的施圖姆一劉維爾（Sturin-Liouville）定理    2.2.3  例題  2.3  非齊次問題    2.3.1  齊次邊界條件下非齊次發(fā)展方程的混合問題    2.3.2  一般的非齊次混合問題    2.3.3  非齊次穩(wěn)定方程的邊值問題  習(xí)題2第3章  特殊函數(shù)及其應(yīng)用  3.1  正交曲線坐標(biāo)系下的變量分離    3.1.1  Helmholtz方程在直角坐標(biāo)系下的變量分離及高維Fourier展開    3.1.2  Helmholtz方程在柱坐標(biāo)系下的變量分離及Bessel方程的導(dǎo)出    3.1.3  Helmholtz方程在球坐標(biāo)系下的變量分離及Legendre方程的導(dǎo)出  3.2  常微分方程的冪級數(shù)解    3.2.1  二階線性常微分方程的解析理論    3.2.2  Legendre方程的冪級數(shù)解及Legendre函數(shù)    3.2.3  Bessel方程的廣義冪級數(shù)解及Bessel函數(shù)  3.3  Legendre函數(shù)    3.3.1  Legendre多項式的表示和性質(zhì)    3.3.2  Legendre方程的固有值問題及正則奇點情況下的S-L定理    3.3.3  軸對稱Laplace方程球面邊值問題    3.3.4  伴隨Legendre方程和伴隨Legendre函數(shù)    3.3.5  一般情形下Laplace方程球面邊值問題及球函數(shù)  3.4  Bessel函數(shù)    3.4.1  Bessel函數(shù)的表示和性質(zhì)    3.4.2  Bessel方程的固有值問題    3.4.3  圓柱形區(qū)域上的混合問題和邊值問題，虛變量Bessel函數(shù)    3.4.4  球Bessel函數(shù)及其應(yīng)用    *3.4.5  可以化為Bessel方程的方程  習(xí)題3第4章  積分變換法  4.1  Fourier變換法    4.1.1  Fourier變換    4.1.2  用Fourier變換求解無界區(qū)間上的定解問題    4.1.3  Fourier正弦、余弦變換和半無界區(qū)間上的定解問題    4.1.4  高維問題  4.2  Laplace變換法    4.2.1  Laplace變換    4.2.2  用15aplace變換求解發(fā)展方程的定解問題  *4.3  一般積分變換簡介    4.3.1  分離變量法和積分變換法    4.3.2  一般積分變換原理和其他積分變換  習(xí)題4第5章  基本解方法    5.1  δ函數(shù)，廣義函數(shù)簡介    5.1.1  δ函數(shù)和廣義函數(shù)    5.1.2  δ函數(shù)和廣義函數(shù)的性質(zhì)和運算    5.1.3  高維δ函數(shù)和廣義函數(shù)  5.2  Lu=0型方程的基本解    5.2.1  基本解和解的積分表達式    5.2.2  基本解的求法  5.3  邊值問題的Green函數(shù)法    5.3.1  場位方程邊值問題的Green函數(shù)及解的積分公式    5.3.2  Green函數(shù)的求法    *5.3.3  Helmholtz方程邊值問題及其Green函數(shù)  5.4  初值問題的基本解方法    5 4.1  utt=Lu型方程初值問題的基本解    5.4.2  utt=Lu型方程初值問題的基本解    5.4.3  熱傳導(dǎo)方程的初值問題    5.4.4  波動方程的初值問題    *5.4.5  混合問題的Green函數(shù)法  *5.5  廣義函數(shù)    5.5.1  廣義函數(shù)的概念：    5.5.2  ε（R”），ψ（R”），D（R”）與ε’（Rn），ψ’（R”），D’（Rn）    5.5.3  廣義函數(shù)和廣義函數(shù)極限的幾個例子    5.5.4  廣義函數(shù)的局部性質(zhì)及廣義函數(shù)的支集    5.5.5  廣義函數(shù)的某些簡單運算    5.5.6  廣義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和對參變數(shù)的導(dǎo)數(shù)    5.5.7  廣義函數(shù)的FT和F-1T    5.5.8  廣義函數(shù)的卷積  習(xí)題5第6章  微分方程的變分方法  6.1  泛函和泛函極值    6.1.1  泛函和泛函極值    6.1.2  幾個例子  6.2  泛函的變分，Euler方程和邊界條件    6.2.1  變分法基本引理    6.2.2  一元函數(shù)泛函的變分、Euler方程和邊界條件    6.2.3  二元函數(shù)泛函和多元函數(shù)泛函的情況    6.2.4  混合積分型泛函的情況    6.2.5  兩個一元函數(shù)（y，（x），z（x））的泛函的情況    6.2.6  泛函中包含二階導(dǎo)數(shù)的情況    6.2.7  兩個二元函數(shù)泛函的情況    6.2.8  Hamilton原理和例子    6.2.9  活動區(qū)間問題和橫截條件  6.3  變分問題的直接法及微分方程的變分方法    6.3.1  變分問題的直接法    6.3.2  微分方程的變分方法    6.3.3  微分方程的廣義解  6.4  泛函的條件極值    6.4.1  條件極值    6.4.2  等周問題    6.4.3  等周問題和自共軛微分方程的固有值問題  習(xí)題6習(xí)題參考答案參考文獻

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：插圖：

編輯推薦

《普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材:數(shù)學(xué)物理方程(第2版)》為中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)叢書之一。

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