趣味小邏輯

前言

在我所收到的為數(shù)眾多、讓人著迷的那些關(guān)于我的第一本謎題書（我可能從來都記不得它的名字！）的信件當(dāng)中，有一封來自一個著名數(shù)學(xué)家（他是我以前的一個同學(xué)）的10歲的兒子。那封信里面有一個漂亮的原創(chuàng)謎題，它受到了他曾經(jīng)如饑似渴地閱讀的那本書當(dāng)中某些謎題的啟發(fā)。我馬上給男孩的父親打電話，祝賀他有一個聰明的兒子。在叫男孩來接電話之前，父親用柔和的、尋求同謀的語氣對我說：“他正在讀你的書，可喜歡它了！但是當(dāng)你和他通話時，不要讓他知道他正在讀的東西是數(shù)學(xué)！如果他哪怕有一點點意識到這實際上就是數(shù)學(xué)，那么他肯定會馬上停止讀那本書的！”    我提到這件事，因為它說明了一個最奇怪但也是最為普通的現(xiàn)象：我碰見如此之多的人宣稱他們憎恨數(shù)學(xué)，但是如果我把任意的邏輯或者數(shù)學(xué)問題以謎題的形式呈現(xiàn)出來的話，他們卻又會對這些問題產(chǎn)生極其強烈的興趣。如果可以證明好的謎題書是治療所謂“數(shù)學(xué)焦慮”的最好方法之一，那么我一點都不會對此感到驚奇。另外，所有數(shù)學(xué)論著其實都能夠以謎題書的形式寫出來！我有時候想知道，歐幾里得要是采用這樣的方式來撰寫他那經(jīng)典的《幾何原理》會怎么樣。譬如，不是把等腰三角形的底角相等表述為一個定理并且接著給出它的證明，而是這樣寫：    問題：假定一個三角形有兩邊相等，那么是否必然有其中的兩個角相等？為什么是，或者為什么不是？（答案參見××頁）    所有其他的定理也這樣來處理。這樣一本書也許早就成為歷史上最受歡迎的一本謎題書了！    一般而言，我自己的謎題書往往與眾不同，因為我首要關(guān)心的是那些跟邏輯和數(shù)學(xué)當(dāng)中深刻而且重要的結(jié)果有重大關(guān)聯(lián)的謎題。因此，我的第一本邏輯書的真正目的，在于讓公眾粗略了解哥德爾的偉大定理談?wù)摰氖鞘裁?。你現(xiàn)在拿著的這本書在這個方向走得更遠。我在一個名為“謎題與悖論”的課程里面采用了這本書的手稿，在那個課程當(dāng)中有一個學(xué)生對我說：“你知道，這整本書，特別是第三部分和第四部分，有太多數(shù)學(xué)小說的味道。我以前從來沒有見過這樣的東西！”    我認為“數(shù)學(xué)小說”這個短語用得特別貼切。這本書的大部分確實是以敘述的方式來寫的，并且因為本書的后半部分講的是，蘇格蘭場的探員克雷格必須要找到打開蒙特卡洛的一個保險箱的密碼來阻止一場災(zāi)難這樣一個案子，所以還可以給這本書另外起一個“蒙特卡洛之鎖謎案”這樣的好名字。當(dāng)這個探員發(fā)現(xiàn)剛開始破解箱子的努力不成功的時候，他回到倫敦，在那里他偶然碰上一個許久未見的熟人，而這個熟人恰恰是一個非常聰明但又古怪的數(shù)字機器發(fā)明家。他們和一個數(shù)理邏輯學(xué)家一起合作，很快三個人就意識到他們自己正身處那些奔向哥德爾偉大發(fā)現(xiàn)的核心地帶的、深不可測的水流之中。當(dāng)然，最后發(fā)現(xiàn)蒙特卡洛之鎖就是一把偽裝的“哥德爾”鎖，它的操作方法漂亮地反映了哥德爾的一個根本觀念，這個觀念在許多處理自我增殖這種引人注目的現(xiàn)象的科學(xué)理論當(dāng)中都有著一些基本應(yīng)用。    作為一個值得注意的意外收獲，克雷格和他的朋友們的調(diào)查牽扯出了一些迄今為止為公眾或者科學(xué)團體所不知的令人驚奇的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。這些發(fā)現(xiàn)就是在這里首次發(fā)表的“克雷格定律”和“弗格森定律”，對于外行人、邏輯學(xué)家、語言學(xué)家以及計算機科學(xué)家來說應(yīng)該具有同樣程度的吸引力。    整本書的寫作對于我來說一直是一個巨大的樂趣，而閱讀它也應(yīng)該會帶來同等的樂趣。我正在計劃幾部后續(xù)作品。我再次感謝我的編輯安·克婁斯以及制作編輯梅爾文羅森塔爾所給予我的那些美妙幫助。    雷蒙德·斯穆里安    紐約艾爾卡公園    1982年2月

內(nèi)容概要

　　作為一個值得注意的意外收獲，克雷格和他的朋友們的調(diào)查牽扯出了一些迄今為止為公眾或者科學(xué)團體所不知的令人驚奇的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。這些發(fā)現(xiàn)就是在這里首次發(fā)表的“克雷格定律”和“弗格森定律”，對于外行人、邏輯學(xué)家、語言學(xué)家以及計算機科學(xué)家來說應(yīng)該具有同樣程度的吸引力。
　　整本書的寫作對于我來說一直是一個巨大的樂趣，而閱讀它也應(yīng)該會帶來同等的樂趣。我正在計劃幾部后續(xù)作品。我再次感謝我的編輯安·克婁斯以及制作編輯梅爾文羅森塔爾所給予我的那些美妙幫助。

作者簡介

　　雷蒙德·斯穆里安生于1919年，至今年屆九旬。世界著名數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家，他還是一個鋼琴演奏師和舞臺魔術(shù)師。他先后在芝加哥大學(xué)的羅斯福學(xué)院教授鋼琴，在達特茅斯大學(xué)教授數(shù)學(xué)，在普林斯頓大學(xué)、印第安納大學(xué)、紐約城市大學(xué)的雷曼學(xué)院和研究生中心教授哲學(xué)和邏輯，后來又回到印第安納大學(xué)，應(yīng)聘為奧斯卡·尤因哲學(xué)教授，最后在那里榮譽退休。他撰寫了23本書，其中6本是學(xué)術(shù)專著，17本是通俗著作。

書籍目錄

第一部分 是女人還是老虎？
　第一章 老掉牙的和新嶄嶄的故事
　第二章 女人和老虎
　第三章 塔爾博士和費舍爾教授的瘋?cè)嗽?br />　第四章 克雷格探員造訪特蘭西瓦尼亞
第二部分 謎題和元謎題
　第五章 發(fā)問者之島
　第六章 夢之小島
　第七章 元謎題
第三部分 蒙特卡洛之鎖的秘密
　第八章 蒙特卡洛之鎖的秘密
　第九章 一臺古怪的數(shù)字機器
　第十章 克雷格定律
　第十一章 弗格森定律
　第十二章 插曲：讓我們來推廣吧！
　第十三章 其中的關(guān)鍵
第四部分 可解的還是不可解的？
　第十四章 弗格森的邏輯機器
　第十五章 可證明性和真
　第十六章 談?wù)撍鼈冏约旱臋C器
　第十七章 必死的數(shù)和不死的數(shù)
　第十八章 永遠不會建造出來的機器
　第十九章 萊布尼茲的夢想

章節(jié)摘錄

我們知道至少有一個人是老實人。讓我們從當(dāng)中挑選任意一個老實人，他的名字比如就叫弗蘭克，現(xiàn)在從剩下的99人當(dāng)中挑出任意一個人，就叫他約翰，根據(jù)第二個已知條件，弗蘭克和約翰這兩個人當(dāng)中至少有一個是騙子。既然弗蘭克不是騙子，那么那個騙子就是約翰。既然約翰代表剩下的99個人當(dāng)中的任意一個人，那么那99個人當(dāng)中的每一個人都是騙子。所以答案是1個老實人和99個騙子。    另外一個證明方法是這樣的：“給定任意兩人，至少一個是騙子”這個陳述不多不少，正好說的是“給定任意兩個人，他們并不都是老實人”，換句話說，沒有兩個人是老實人，這意味著至多有一個人是老實人，而根據(jù)第一個條件，至少有一個是老實人，因而正確答案是只有一個人是老實人。    你更喜歡哪一個證明呢？    3.常見的一個錯誤答案是1美元，現(xiàn)在，如果瓶子真的值1美元，那么酒就會因為比瓶子多值9美元而價值10美元了，因此酒和瓶子加起來就會價值11美元，正確的答案是，瓶子值0.5美元而酒值9.5美元，這樣兩者加起來才是10美元。    4.有一種像下面這樣的論證。在7美元買來那件東西然后8美元把它賣掉之時，他賺了1美元的利潤，而在8美元把它賣摔之后9美元把它買回來，他損失了1美元，所以到此時他不賠不賺，但是接著以10美元的價格賣掉又花9美元買來的東西，他重新賺了一美元，因此他總共利潤是1美元。    另外一個論證甚至得出那個經(jīng)銷商不賺不賠的結(jié)論。當(dāng)他在7美元買來那件東西后8美元把它賣掉，他賺了1美元。但是他后來花9美元把他自己當(dāng)初花7美元買來的東西買回來時，他損失了2美元，所以到此時他虧空了1美元。后來他把他最后支付了9美元的那件東西10美元賣掉，掙回來那1美元，因此現(xiàn)在他不賠不賺。    這兩個論證都是錯誤的，正確的答案是那個經(jīng)銷商賺了2美元。有幾種方法可以得出這個結(jié)論，其中一種方法如下所述。首先，在8美元賣掉他已經(jīng)支付了7美元的東西之后，很清楚，他賺了1美元。現(xiàn)在假設(shè)他不是9美元買回同一件東西然后10美元把它賣掉，而是9美元買了另外一件東西并以10美元的價格把它賣掉。從純粹的經(jīng)濟學(xué)觀點來看，這會有什么真正的不同嗎？當(dāng)然不會！他顯然會在第二件東西的買進賣出上賺取另外1美元。因此，他已經(jīng)賺了2美元。    另外一個證明非常簡單：經(jīng)銷商的總支出是7美元+9美元=16美元，而他的總收入是8美元+10美元；18美元，由此得出2美元的利潤。    對于那些無法信服上面這兩個論證的人來說，就讓我們和他們一起，假設(shè)那個經(jīng)銷商在那天剛開始的時候有一定數(shù)量的錢，比如說100美元，并且他只進行了那四筆交易，那么在那天結(jié)束的時候他有多少錢呢？好吧，首先他支付7美元買那件東西，剩下93美元，然后他8美元把那件東西賣掉，上漲為101美元。接下來他9美元把那件東西買回來，跌落到92美元。最后他10美元賣掉那件東西，從而以102美元結(jié)賬。所以，那天他開始有100美元，結(jié)果以102美元告終，那么他的利潤怎么可能是2美元之外的任何數(shù)呢？    5.我心中的解答是這樣的，首先喂食那1O只寵物各5枚餅干，這樣就只剩下6枚餅干?，F(xiàn)在貓們已經(jīng)得到它們的份額了！由此，6枚剩下的餅干是給那些狗的，而既然每只狗要再得到1枚餅干，那么就必定有6只狗，因而有4只貓。    當(dāng)然，我們可以檢驗這個解答。6只狗每一只得到6枚餅干就需要36枚餅干，4只貓每一只得到5枚餅干就需要20枚餅干。如此應(yīng)是：36+20-56。    6.既然每一只大烏的價值等于兩只小烏的價格，那么5只大烏的價值就等于10只小鳥的價格，從而5只大鳥加上3只小鳥的價錢就等于13只小烏的價格。另一方面，3只大鳥加5只小鳥的價格就等于11只小鳥的價值。所以買5只大鳥、3只小鳥和買3只大鳥、5只小鳥的差別就和買13只小烏和買11只小烏的差別相同，就差2只小烏，我們知道兩者的價格差異是20美元，所以兩只小鳥價值20美元，這也就意味著一只小鳥價值10美元。P8-9

媒體關(guān)注與評論

有兩種有趣的語言游戲都能讓人快樂：一種是迎合人們心中愚蠢念頭的搞芫，比如肥皂劇、低級笑話、小品和電視語言，人們在那些沒有智力水平的笑話中肯定了自己的愚蠢，從而獲得認同的快樂：另一種是開啟人們心中智慧的邏輯和幽默，人們通過分享邏輯和幽默的智力成就而肯定了自己的智慧，雷蒙德·斯穆里安的書屬于后者。斯穆里安這本《趣味小邏輯》最有趣的邏輯故事    ——趙汀陽（著名哲學(xué)家）    這是一本匯集了由有史以來最有趣的邏輯學(xué)家和集合論專家創(chuàng)作的出色難題和精彩悖論的妙趣橫生之書。閱讀每一本斯穆里安的奇妙謎題之書，你最后都會去探索位于數(shù)學(xué)之下的那片奇異的地下區(qū)域，其中哥德爾式的走廊四通八這，那些關(guān)于真和可證明性的漂亮定理在四面八方與它相通相連。    ——馬丁  加納德（美國科普大師）

編輯推薦

在我所收到的為數(shù)眾多、讓人著迷的那些關(guān)于我的第一本謎題書（我可能從來都記不得它的名字?。┑男偶?dāng)中，有一封來自一個著名數(shù)學(xué)家（他是我以前的一個同學(xué)）的10歲的兒子。那封信里面有一個漂亮的原創(chuàng)謎題，它受到了他曾經(jīng)如饑似渴地閱讀的那本書當(dāng)中某些謎題的啟發(fā)。我馬上給男孩的父親打電話，祝賀他有一個聰明的兒子。在叫男孩來接電話之前，父親用柔和的、尋求同謀的語氣對我說：“他正在讀你的書，可喜歡它了！但是當(dāng)你和他通話時，不要讓他知道他正在讀的東西是數(shù)學(xué)！如果他哪怕有一點點意識到這實際上就是數(shù)學(xué)，那么他肯定會馬上停止讀那本書的！”

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