代數(shù)無關(guān)性引論

前言

大學(xué)最重要的功能是向社會輸送人才。大學(xué)對于一個國家、民族乃至世界的重要性和貢獻(xiàn)度，很大程度上是通過畢業(yè)生在社會各領(lǐng)域所取得的成就來體現(xiàn)的。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)建校只有短短的五十年，之所以迅速成為享有較高國際聲譽的著名大學(xué)之一，主要就是因為她培養(yǎng)出了一大批德才兼?zhèn)涞膬?yōu)秀畢業(yè)生。他們志向高遠(yuǎn)、基礎(chǔ)扎實、綜合素質(zhì)高、創(chuàng)新能力強，在國內(nèi)外科技、經(jīng)濟、教育等領(lǐng)域做出了杰出的貢獻(xiàn)，為中國科大贏得了“科技英才的搖籃”的美譽。2008年9月，胡錦濤總書記為中國科大建校五十周年發(fā)來賀信，信中稱贊說：半個世紀(jì)以來，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)依托中國科學(xué)院，按照全院辦校、所系結(jié)合的方針，弘揚紅專并進(jìn)、理實交融的校風(fēng)，努力推進(jìn)教學(xué)和科研工作的改革創(chuàng)新，為黨和國家培養(yǎng)了一大批科技人才，取得了一系列具有世界先進(jìn)水平的原創(chuàng)性科技成果，為推動我國科教事業(yè)發(fā)展和社會主義現(xiàn)代化建設(shè)做出了重要貢獻(xiàn)。據(jù)統(tǒng)計，中國科大迄今已畢業(yè)的5萬人中，已有42人當(dāng)選中國科學(xué)院和中國工程院院士，是同期（自1963年以來）畢業(yè)生中當(dāng)選院士數(shù)最多的高校之一。其中，本科畢業(yè)生中平均每1000人就產(chǎn)生1名院士和七百多名碩士、博士，比例位居全國高校之首。還有眾多的中青年才俊成為我國科技、企業(yè)、教育等領(lǐng)域的領(lǐng)軍人物和骨干。在歷年評選的“中國青年五四獎?wù)隆鲍@得者中，作為科技界、科技創(chuàng)新型企業(yè)界青年才俊代表，科大畢業(yè)生已連續(xù)多年榜上有名，獲獎總?cè)藬?shù)位居全國高校前列。

內(nèi)容概要

本書著重講述超越數(shù)論中代數(shù)無關(guān)性理論的一些重要結(jié)果，包括Nesterenko方法及其對于Ramenujan函數(shù)和Mahler函數(shù)的應(yīng)用、零點重數(shù)估計、π和eπ的代數(shù)無關(guān)性、Philippon代數(shù)無關(guān)性判別法則等；還給出Liouville數(shù)、廣義Mahler級數(shù)以及代數(shù)系數(shù)缺項級數(shù)、三角級數(shù)和Mahler函數(shù)的值的代數(shù)無關(guān)性結(jié)果與相關(guān)的逼近方法和其他經(jīng)典方法。    本書適合大學(xué)數(shù)學(xué)系高年級學(xué)生、研究生及有關(guān)科研人員閱讀。

書籍目錄

總序前言主要符號表第1章  Liouville數(shù)的代數(shù)無關(guān)性  1.1  代數(shù)無關(guān)的Liouville數(shù)組  1.2  φLiouvme數(shù)  1.3  某些快速收斂數(shù)列的極限的代數(shù)無關(guān)性  1.4  代數(shù)系數(shù)缺項級數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性  1.5  廣義Mahler級數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性  1.6  某些三角級數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性  1.7  補充與評注  附錄1  Nishioka不等式第2章  Nesterenko方法的代數(shù)基礎(chǔ)  2.1  Chow形式與理想的特征量  2.2  多項式與素理想的Chow形式的“結(jié)式  2.3  理想的零點  2.4  補充與評注  附錄2  關(guān)于L消元理想第3章  代數(shù)微分方程的解的重數(shù)估計  3.1  D性質(zhì)  3.2  零點重數(shù)定理  3.3  Ramanujan函數(shù)的重數(shù)估計  3.4  補充與評注  附錄3  素理想的特征函數(shù)的上界估計第4章  Ramanu／ian函數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性  4.1  基本結(jié)果的敘述  4.2  輔助多項式的構(gòu)造  4.3  定理1和定理2的證明  4.4  定理3的證明  4.5  π，eπ和11（1／4）的代數(shù)無關(guān)性的直接證明  4.6  補充與評注第5章  Mahler函數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性  5.1  一類Mahler函數(shù)的代數(shù)無關(guān)性  5.2  某些Mahler函數(shù)在代數(shù)點上的值的代數(shù)無關(guān)性  5.3  一類Mahler函數(shù)的零點重數(shù)估計定理  5.4  某些Mahler函數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性度量  5.5  補充與評注  附錄4  線性遞推序列第6章  Geifond超越性判別法則的多變量推廣  6.1  代數(shù)預(yù)備  6.2  多項式理想的度量性質(zhì)  6.3  Philippon代數(shù)無關(guān)性判別法則  6.4  Nesterenko定理的另一個證明  6.5  補充與評注  附錄5  U消元理想與局部度量參考文獻(xiàn)索引

章節(jié)摘錄

插圖：第1章　Liouville數(shù)的代數(shù)無關(guān)性一個復(fù)數(shù)若不是代數(shù)數(shù)，亦即它不是任何非零多項式P∈z〔z〕的根，則稱為超越數(shù)。如果s個復(fù)數(shù)滿足某個非零多項式P∈z 〔z1，…，zs〕，則稱它們(在Q E)代數(shù)相關(guān)，否則稱（在Q上）代數(shù)無關(guān)。因此，一般說來，超越性和代數(shù)無關(guān)性的證明是通過反證法實現(xiàn)的，并且代數(shù)數(shù)及整系數(shù)多項式的基本性質(zhì)是重要的輔助工具。最早發(fā)現(xiàn)的超越數(shù)的具體例子是借助于丟番圖逼近論中的Liouville定理構(gòu)造的，這是一類重要的超越數(shù)即Liouville數(shù)。本章將研究它們的代數(shù)無關(guān)性。我們首先應(yīng)用較直接的推理構(gòu)造一些代數(shù)無關(guān)的Liouville數(shù)組，并利用一些逼近結(jié)果建立某些函數(shù)在Liouville數(shù)上的值的代數(shù)無關(guān)性，然后在這些實例的基礎(chǔ)上給出基于快速收斂逼近序列的數(shù)的代數(shù)無關(guān)性判別法則，最后給出這個法則的一些應(yīng)用，其中特別研究了代數(shù)系數(shù)缺項級數(shù)值的代數(shù)無關(guān)性，它們是上述Liouville數(shù)組相應(yīng)結(jié)果的自然推廣。本章具有引論性質(zhì)，通過本章將可初步領(lǐng)略代數(shù)無關(guān)性證明的某些特征。

編輯推薦

《代數(shù)無關(guān)性引論》共分6章。第1章研究Liouville數(shù)（以及代數(shù)系數(shù)缺項級數(shù)、三角級數(shù)等的值和某些廣義Mahler級數(shù)等）的代數(shù)無關(guān)性，給出一些常用的逼近（和初等）方法。第2，3，4章論述Nesterenko方法，包括該方法的代數(shù)基礎(chǔ)，對一類代數(shù)微分方程解的零點重數(shù)估計的應(yīng)用，并著重研究Ramanujan函數(shù)的值的代數(shù)無關(guān)性質(zhì)（定性和定量結(jié)果）。第5章研究某些Mahler函數(shù)在C（z）上的代數(shù)無關(guān)性以及它們的值在Q上的代數(shù)無關(guān)性，包括經(jīng)典方法和Nesterenko方法的應(yīng)用。第6章證明Philippon代數(shù)無關(guān)性判別法則。除第2，3，4章是一個整體，第5章后半部分依賴于第2章外，第1章、第6章及第5章前半部分相對獨立。每章最后一節(jié)“補充與評注”，是對正文一些論題的引申，以便讀者查閱進(jìn)一步的文獻(xiàn)，進(jìn)入某些前沿性課題。除第4章外，其余各章都有一個附錄，包含了與該章有關(guān)的某些材料，初學(xué)者可以暫時略去。

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