微分幾何與拓撲學簡明教程

內容概要

由A.C.米先柯和A.T.福明柯編著的本書是俄羅斯數學教材選譯系列之一，是微分幾何教程的簡明闡述，在大學數學系兩個學期中講授。內容包含：一般拓撲，非線性坐標系，光滑流形的理論，曲線論和曲面論，變換群，張量分析和黎曼幾何，積分法和同調論，曲面的基本群，黎曼幾何中的變分原理。敘述中用大量的例子說明并附有習題，常有補充的材料。
本書適合數學、物理及相關專業(yè)的高年級本科生、研究生、高校教師和研究人員參考使用。

書籍目錄

第一章　微分幾何導引
　1.1　曲線坐標系最簡單的例子
　　1.1.1　引論
　　1.1.2　笛卡兒坐標和曲線坐標
　　1.1.3　曲線坐標系的最簡單例子
　1.2　在曲線坐標系中曲線的長
　　1.2.1　在歐氏坐標系中曲線的長
　　1.2.2　在曲線坐標系中曲線的長
　　1.2.3　在歐氏空間區(qū)域中黎曼度量的概念
　　1.2.4　不定度量
　1.3　球面和平面上的幾何
　1.4　偽球面和幾何
第二章　一般拓撲
　2.1　度量空間和拓撲空間的定義及最簡單性質
　　2.1.1　度量空間
　　2.1.2　拓撲空間
　　2.1.3　連續(xù)映射
　　2.1.4　商拓撲
　2.2　連通性分離公理
　　2.2.1　連通性
　　2.2.2　分離公理
　2.3　緊致空間
　　2.3.1　緊致空間
　　2.3.2　緊致空間的性質
　　2.3.3　緊致的度量空間
　　2.3.4　在緊致空間上的運算
　2.4　函數的可分離性1的分解
　　2.4.1　函數的可分離性
　　2.4.2　1的分解
第三章　光滑流形(一般理論)
　3.1　流形的概念
　　3.1.1　基本的定義
　　3.1.2　坐標變換函數光滑流形的定義
　　3.1.3　光滑流形微分同胚
3.2　用方程給出流形
　3.3　切向量切空間
　　3.3.1　簡單的例子
　　3.3.2　切向量的一般定義
　　3.3.3　切空間(M)
　　3.3.4　函數的方向導數
　　3.3.5　切叢
　3.4　子流形
　　3.4.1　廠光滑映射的微分
　　3.4.2　映射的局部性質和微分
　　3.4.3　流形在歐氏空間的嵌入
　　3.4.4　流形上的黎曼度量
　　3.4.5　Sard定理
第四章　光滑流形(例)
　4.1　平面曲線論和三維空間中的曲線論
　　4.1.1　平面曲線論Frenet公式
　　4.1.2　空間曲線論Frenet公式
　4.2　曲面第一和第二基本形式
　　4.2.1　第一基本形式
　　4.2.2　第二基本形式
　　4.2.3　超曲面上光滑曲線的初等理論
　　4.2.4　二維曲面的Gauss曲率和平均曲率
　4.3　變換群
　　4.3.1　變換群的簡單例子
　　4.3.2　矩陣的變換群
　　4.3.3　完全線性群
　　4.3.4　特殊線性群
　　4.3.5　正交群
　　4.3.6　酉群和特殊酉群
　　4.3.7　非緊致辛群和緊致辛群
　4.4　動力系統(tǒng)
4.5　二維曲面的分類
　　4.5.1　帶邊流形
　　4.5.2　可定向流形
　　4.5.3　二維流形的分類
4.6　作為二維流形的代數函數的黎曼曲面
第五章　張量分析與黎曼幾何
　5.1　流形上張量場的一般概念
　5.2　張量場的簡單例子
　　5.2.1　例
　　5.2.2　張量的代數運算
　　5.2.3　反對稱張量
　5.3　聯(lián)絡和共變微分
　　5.3.1　仿射聯(lián)絡的定義和性質
　　5.3.2　黎曼聯(lián)絡
　5.4　平行移動測地線
　　5.4.1　預先的觀察
　　5.4.2　平行移動的方程
　　5.4.3　測地線
　5.5　曲率張量
　　5.5.1　預先的觀察
　　5.5.2　曲率張量的坐標定義
　　5.5.3　曲率張量的不變的定義
　　5.5.4　黎曼曲率張量的代數性質
　　5.5.5　黎曼曲率張量的某些應用
第六章　同調論
　6.1　外微分形式的演算上同調
　　6.1.1　外微分形式的微分
　　6.1.2　光滑流形的上同調(DeRam上同調)
　　6.1.3　上同調群的拓撲性質
　6.2　外形式的積分
　　6.2.1　微分形式在流形上的積分
　　6.2.2　Stokes公式
　6.3　映射度及其應用
　　6.3.1　映射度
　　6.3.2　代數基本定理
　　6.3.3　形式的積分
　　6.3.4　超曲面的Causs映射
第七章　黎曼幾何的簡單變分問題
　7.1　泛函的概念  極值函數  Euler方程
　7.2　測地線的極值性
　7.3　極小曲面
　7.4　變分法和辛幾何
譯者后記

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無

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