數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講

前言

　　本書(shū)的目的是誘導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，從而逐步培養(yǎng)自己的獨(dú)立研究能力，因此，本書(shū)僅將傳授知識(shí)作為次要目的，而將思維的訓(xùn)練作為首要的宗旨。　　本書(shū)的內(nèi)容編排十分注重思維的啟發(fā).我們?cè)噲D通過(guò)這些系統(tǒng)安排的內(nèi)容，使那些對(duì)思維訓(xùn)練有興趣的青年人漸漸習(xí)慣獨(dú)立思考，從而培養(yǎng)他們的思維習(xí)慣，逐步培養(yǎng)出他們獨(dú)立研究的能力。一些國(guó)際知名的教育家認(rèn)為：一種好的教育，應(yīng)該系統(tǒng)地給予學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)新事物的能力和機(jī)會(huì).因此要教育和培養(yǎng)青年人逐漸掌握以下方法：對(duì)于不熟悉的，學(xué)會(huì)與已熟悉的相聯(lián)系；對(duì)于不習(xí)慣的，訓(xùn)練與已習(xí)慣的相類(lèi)比；從特殊的、個(gè)別的現(xiàn)象，善于聯(lián)想地推廣到普遍的、一般性的結(jié)果（如同將一堆亂石通過(guò)智慧和勞動(dòng)創(chuàng)造出美麗的雕塑一樣）乃是最最重要的.當(dāng)然，這樣的教育在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中無(wú)疑比在其他科學(xué)領(lǐng)域更為重要，而且，這樣的教育在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的成效也顯得更加明顯和清晰，因此，年輕人通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)培養(yǎng)自己發(fā)現(xiàn)新事物的能力與機(jī)會(huì)，顯然是一個(gè)極好的途徑（當(dāng)然不是唯一的途徑），而本書(shū)正是試圖貫徹這種教育，給青年人一個(gè)訓(xùn)練與實(shí)踐的機(jī)會(huì).在這里，筆者還必須特別地提醒讀者，在閱讀本書(shū)或者自己思考問(wèn)題時(shí)，絕不要被可能遇到的困難所嚇倒而止步或放棄，應(yīng)該永遠(yuǎn)記住偉大的文學(xué)家羅曼.羅蘭的一句名言：“天才免不了有障礙，因?yàn)檎系K會(huì)創(chuàng)造天才。”　　本書(shū)所選擇的內(nèi)容大多是從人們十分熟悉或容易理解的事實(shí)或常理出發(fā)，然后通過(guò)一步一步地深入思考、邏輯推理，進(jìn)而引出一些非常巧妙、漂亮的結(jié)果（命題）例如，通過(guò)“瞎青蛙掉溝”這個(gè)栩栩如生的例子，我們抽象出了一個(gè)關(guān)于稠密性的有用的數(shù)學(xué)命題；通過(guò)傳統(tǒng)的智力游戲“如何用六根火柴棍搭出四個(gè)全等的正三角形”，我們給出了一個(gè)全新的思維方法，即“升空法”；通過(guò)“勢(shì)”，我們介紹了“左右為難”型歸謬法.我們所取的材料，有一些散布于某些書(shū)刊及論文中，有一些則是筆者自己在學(xué)習(xí)和科研中的心得，誠(chéng)然，數(shù)學(xué)分析的技巧與方法十分豐富，這里不能——涉及，本書(shū)只選取了一些有代表性的、典型的方法予以介紹，這也就是本書(shū)稱(chēng)為選講的原因?！　榱诉m合較廣泛的青年入學(xué)習(xí)，使青年人較早就能獲得獨(dú)立思考的訓(xùn)練與培養(yǎng)，本書(shū)所取的內(nèi)容一般均不需要很多的知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)過(guò)一般初等微積分（極限、微分、級(jí)數(shù)等）知識(shí)的讀者都可以看懂.本書(shū)第2章和第3章的后面幾節(jié)是加了*號(hào)的，讀者可以根據(jù)自己的實(shí)際情況有所選擇地閱讀。

內(nèi)容概要

本書(shū)主要介紹和討論了賦范、賦準(zhǔn)范和賦擬范空間及其上的線(xiàn)性算子的基本概念、所謂“線(xiàn)性泛函的三大原理”即：Hahn-Banach定理、開(kāi)映象與閉圖像定理以及共鳴定理（一致有界原理），Hilbert空間的基本內(nèi)容，著名的可分空間（改范）等價(jià)于C[a，b]以及嚴(yán)格凸空間，（作為上述空間推廣的）拓?fù)湎蛄靠臻g的基本而有用的一些概念和特性。本書(shū)的創(chuàng)新之處在于把賦范空間、賦準(zhǔn)范空間和賦擬范空間結(jié)合起來(lái)進(jìn)行深入討論（特別是創(chuàng)造了許多有趣的反例說(shuō)明它們的差異點(diǎn)）。　  本書(shū)適合高校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)師生及相關(guān)專(zhuān)業(yè)科研人員閱讀參考。

書(shū)籍目錄

前言第1章　有關(guān)稠密性的某些命題  1.1　單位圓周上取正整數(shù)弧度之點(diǎn)集的稠密性  1.2　某些無(wú)理數(shù)集的稠密性  1.3　數(shù)列在其上、下極限間的稠密性第2章  1-1對(duì)應(yīng)（基數(shù)相等）  2.1　關(guān)于無(wú)窮維基數(shù)f勢(shì)）的兩個(gè)基本定理  2.2　無(wú)限可數(shù)集與連續(xù)勢(shì)集  2.3　任意無(wú)限集基數(shù)的一些性質(zhì)第3章  數(shù)列的篩選法，線(xiàn)性空間的升空法及完備距離空間的綱推理方法  3.1　對(duì)角線(xiàn)法  3.2　截頭去尾法  3.3　升空法（擴(kuò)展空間維數(shù)法）  3.4　對(duì)于完備距離空間的綱推理方法第4章　次加函數(shù)  4.1　次加函數(shù)的例子  4.2　與函數(shù)｜x｜p（p>0）有關(guān)的一些重要不等式  4.3　次加函數(shù)的有界性  4.4　次加函數(shù)的增長(zhǎng)率  4.5　可取負(fù)值的次加函數(shù)  4.6　次加函數(shù)的各種導(dǎo)數(shù)第5章　半模（加法半群）  5.1　實(shí)數(shù)域R中的半模  5.2　實(shí)數(shù)域R2和R3中的角形半模參考文獻(xiàn)

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