組合學(xué)筆記

前言

組合數(shù)學(xué)（combina torial mathematics），或稱組合論（corn Lbina，torialtheory）、組合學(xué)（com bina torics），是一門既古老又年輕的數(shù)學(xué)分支，其淵源可以追溯到公元前2200年左右的大禹治水時(shí)代，中外歷史上許多著名的數(shù)學(xué)游戲是組合數(shù)學(xué)古典部分的主要內(nèi)容。20世紀(jì)中葉以來，計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)字通信、企業(yè)管理和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等方面的需求極大地推動(dòng)和刺激了組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，使它煥發(fā)了青春，以前所未有的速度發(fā)展和壯大起來，現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以分為兩大門類：一類是研究連續(xù)對(duì)象的連續(xù)數(shù)學(xué)，以數(shù)學(xué)分析為核心；另一類則是研究離散對(duì)象的離散數(shù)學(xué)，以組合數(shù)學(xué)為核心，由于離散對(duì)象的處理是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心，研究離散對(duì)象的組合數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后得到了迅猛的發(fā)展，按照當(dāng)代數(shù)學(xué)界的觀點(diǎn)，連續(xù)數(shù)學(xué)和離散數(shù)學(xué)這兩大門類中，后者的重要性正在上升，并將取代前者而成為主流，Birkhoff說：“對(duì)代數(shù)系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的研究終將讓位于對(duì)離散系統(tǒng)的關(guān)系結(jié)構(gòu)的研究?！盚almos說：“在不久的將來，離散數(shù)學(xué)對(duì)我們的研究工作，對(duì)了解世界將成為一個(gè)重要的工具，相反，分析（連續(xù)數(shù)學(xué)）則只會(huì)起到次要的作用了。”Gelfand則指出：“幾何學(xué)和組合數(shù)學(xué)將是21世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的前沿領(lǐng)域?！苯裉?，組合數(shù)學(xué)與許多數(shù)學(xué)分支已有了相當(dāng)多的聯(lián)系和交叉，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中的地位也越來越重要，不僅如此，組合數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物等學(xué)科中，以及企業(yè)管理、交通規(guī)劃、戰(zhàn)爭(zhēng)指揮、金融分析、城市物流等領(lǐng)域中也有著重要的應(yīng)用，它的思想、方法和理論已受到人們的高度關(guān)注，必將在科學(xué)技術(shù)與社會(huì)發(fā)展的諸多方面展現(xiàn)出更多的效應(yīng)，產(chǎn)生日益深刻的影響。吳文俊院士指出：“每個(gè)時(shí)代都有它特殊的要求，使得數(shù)學(xué)出現(xiàn)一個(gè)新的面貌，產(chǎn)生一些新的數(shù)學(xué)分支，”而以全球信息化為時(shí)代特征的2l世紀(jì)帶給數(shù)學(xué)的變革將是：作為信息技術(shù)、軟件產(chǎn)業(yè)基礎(chǔ)的組合數(shù)學(xué)勢(shì)必異軍突起，顯示出越來越重要的作用，近年來，組合數(shù)學(xué)在國(guó)際上頗受重視，發(fā)展十分迅速，相比之下，國(guó)內(nèi)尚力量較弱，急需大力培養(yǎng)人才，建設(shè)隊(duì)伍，提高水平，在教育界與學(xué)術(shù)界有識(shí)之士的合力推動(dòng)下，離散問題作為科學(xué)前沿問題已被列入“國(guó)家中長(zhǎng)期科學(xué)和技術(shù)發(fā)展規(guī)劃綱要（2006—2020）”中。

內(nèi)容概要

本書系統(tǒng)闡述組合學(xué)的經(jīng)典理論和方法，詳細(xì)介紹了遞歸關(guān)系、母函數(shù)、容斥原理等計(jì)數(shù)工具以及整數(shù)分拆、Hall定理和Ramsey理論，著重介紹了幾類重要的組合數(shù)和P61ya理論，并對(duì)線性不定方程、組合恒等式、圖標(biāo)號(hào)、幻方以及鋪砌、覆蓋與剖分等給出了相當(dāng)?shù)恼撌?。全書深入淺出、條理清晰、結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)，具有一定的廣度和深度，并選用了適量的趣味問題和應(yīng)用實(shí)例，列出了一些前沿性結(jié)論和有待探討的問題。    本書可作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級(jí)本科生、研究生及教師的教材或教學(xué)參考書，也可供相關(guān)專業(yè)的科研人員或廣大數(shù)學(xué)愛好者閱讀參考。

書籍目錄

前言　第1章  基本計(jì)數(shù)法則與公式  1.1  基本計(jì)數(shù)法則  1.2  基本計(jì)數(shù)公式Ⅰ：排列組合  1.3  基本計(jì)數(shù)公式Ⅱ：分配分派  1.4  基本計(jì)數(shù)公式Ⅲ：映射問題  1.5  計(jì)數(shù)方法與工具第2章　遞歸關(guān)系  2.1　差分與差分表  2.2　常系數(shù)線性遞歸關(guān)系  2.3　解遞歸關(guān)系的例  2.4　遞歸關(guān)系的應(yīng)用第3章　母函數(shù)  3.1　兩類母函數(shù)  3.2　母函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)  3.3　母函數(shù)的應(yīng)用  3.4　多重集的排列組合第4章　重要的組合數(shù)  4.1　二項(xiàng)式系數(shù)  4.2　多項(xiàng)式系數(shù)  4.3　Gauss二項(xiàng)式系數(shù)  4.4　Fibonacci數(shù)列  4.5　Catalan數(shù)  4.6　Stirlin9數(shù)  4.7　Lab數(shù)第5章　容斥原理及其應(yīng)用  5.1　容斥原理  5.2　廣容斥原理  5.3　容斥原理的應(yīng)用  5.4　更列數(shù)和相鄰禁位數(shù)  5.5　Euler函數(shù)與MSbius函數(shù)  5.6　廣義MSbius反演  5.7　一般限位排列與車多項(xiàng)式第6章　整數(shù)分拆　6.1　基本概念　6.2　無序分拆　6.3　無序分拆的特例　6.4　有序分拆第7章　Hall定理和集族的代表系  7.1　背景和定義  7.2　相異代表系  7.3　公共代表系  7.4　Hall定理的應(yīng)用  7.5　Hall定理的推廣第8章　鴿籠原理和Ramsey理論　8.1　鴿籠原理　8.2　Ramsey理論　8.3　幾個(gè)經(jīng)典定理  8.4　圖的Ramsey理論第9章　P61ya計(jì)數(shù)理論　9.1　作用在集合上的群　9.2　有關(guān)的群的運(yùn)算　9.3　置換群的輪換指標(biāo)　9.4　Burnside引理　9.5　P61ya計(jì)數(shù)定理　9.6　圈形排列問題　9.7　圖的計(jì)數(shù)多項(xiàng)式　9.8　P61ya定理的推廣　9.9　Pdlya定理的應(yīng)用第10章　線性不定方程　10.1　母函數(shù)解法　10.2　引入輔助參數(shù)　10.3　一個(gè)新方法　10.4　Na.b（n）的進(jìn)一步討論第11章　組合恒等式第12章　圖標(biāo)號(hào)問題第13章　其他組合問題參考文獻(xiàn)附錄　組合學(xué)有關(guān)名詞術(shù)語(yǔ)

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《組合學(xué)筆記》可作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級(jí)本科生、研究生及教師的教材或教學(xué)參考書，也可供相關(guān)專業(yè)的科研人員或廣大數(shù)學(xué)愛好者閱讀參考。

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