高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）

前言

隨著我國高等教育改革的不斷深入，根據(jù)2009年教育部關(guān)于要求全國高等學(xué)校認(rèn)真實(shí)施本科教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程的通知精神，為了更好地適應(yīng)21世紀(jì)對(duì)高等院校培養(yǎng)復(fù)合型高素質(zhì)人才的需要，北京大學(xué)出版社計(jì)劃出版一套對(duì)國內(nèi)高等院校本科大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革起到積極推動(dòng)作用的《21世紀(jì)高等院校數(shù)學(xué)規(guī)劃系列教材》。應(yīng)北京大學(xué)出版社的邀請(qǐng)，我們這些長期在教學(xué)第一線執(zhí)教的教師，經(jīng)過統(tǒng)一策劃、集體討論、反復(fù)推敲、分工執(zhí)筆編寫了這套教材，其中包括：《高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）》、《高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）》、《微積分》、《線性代數(shù)》、《新編概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第2版）》。在結(jié)合編寫者長期講授本科大學(xué)數(shù)學(xué)課程所積累的成功教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，本套教材緊扣教育部本科大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)大綱，緊緊圍繞21世紀(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與創(chuàng)新這一主題，立足大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革新的起點(diǎn)、新的高度狠抓了教材建設(shè)中基礎(chǔ)性與前瞻性、通俗性與創(chuàng)新性、啟發(fā)性與開拓性、趣味性與科學(xué)性、直觀性與嚴(yán)謹(jǐn)性、技巧性與應(yīng)用性的和諧與統(tǒng)一的“六突破”。實(shí)踐將會(huì)有力證明，符合上述先進(jìn)理念的優(yōu)秀教材，將會(huì)深受廣大學(xué)生的歡迎。本套教材的特點(diǎn)還體現(xiàn)在：在編寫過程中，我們按照本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課要“加強(qiáng)基礎(chǔ)，培養(yǎng)能力，重視應(yīng)用”的改革精神，對(duì)傳統(tǒng)的教材體系及教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了必要與精心的調(diào)整和改革，在遵循本學(xué)科科學(xué)性、系統(tǒng)性與邏輯性的前提下，盡量注意貫徹深入淺出、通俗易懂、循序漸進(jìn)、融會(huì)貫通的教學(xué)原則與直觀形象的教學(xué)方法。既注重?cái)?shù)學(xué)基本概念、基本定理和基本方法的本質(zhì)內(nèi)涵的辯證、多側(cè)面的剖析與闡述，特別是對(duì)它們的幾何意義、物理背景、經(jīng)濟(jì)解釋以及實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的剖析，又注意學(xué)生基本運(yùn)算能力的訓(xùn)練與綜合分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)，以達(dá)到便于教學(xué)與自學(xué)之目的；既兼顧教材的前瞻性，注意汲取國內(nèi)外優(yōu)秀教材的優(yōu)點(diǎn)，又注意到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課與相關(guān)專業(yè)課的聯(lián)系，為各專業(yè)后續(xù)課程打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。為了幫助各類學(xué)生更好地掌握本課程內(nèi)容，加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練和基本能力的培養(yǎng)，本套教材緊密結(jié)合概念、定理和運(yùn)算法則配置了豐富的例題，并做了深入的剖析與解答。每節(jié)配有適量習(xí)題，每章配有復(fù)習(xí)題或綜合例題，以供讀者復(fù)習(xí)、鞏固所學(xué)知識(shí)；書末附有習(xí)題答案與提示，以便讀者參考。本套規(guī)劃系列教材的編寫與出版，得到了北京大學(xué)出版社及廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院的大力支持與幫助，劉勇副編審與責(zé)任編輯曾琬婷為本套教材的出版付出了辛勤勞動(dòng)，在此一并表示誠摯的謝意。

內(nèi)容概要

本書是《21世紀(jì)高等院校數(shù)學(xué)規(guī)劃系列教材》之《高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）》。它是根據(jù)高等院校理工類本科高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)大綱的要求，結(jié)合編者多年在教學(xué)第一線積累的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的深入研究和透徹理解編寫而成的。本書旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、創(chuàng)新意識(shí)以及運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力。全書分上、下兩冊(cè)，上冊(cè)包含函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不定積分、定積分、定積分應(yīng)用以及微分方程等內(nèi)容。各節(jié)后均配有相應(yīng)的習(xí)題，書末附參考答案或提示，供讀者參考。    本書內(nèi)容取材適當(dāng)，邏輯清晰，重點(diǎn)突出，難點(diǎn)分散，通俗易懂，便于自學(xué)。每一章的最后設(shè)置了“綜合例題”一節(jié)，介紹各種重要的題型，博采眾長的解題方法。這對(duì)開闊解題思路，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力將是十分有益的。    本書可作為高等院校理工類本科學(xué)生高等數(shù)學(xué)課程的教材，也可作為考研學(xué)生的一本無師自通的參考書。

書籍目錄

第一章　函數(shù)與極限　1.1　初等函數(shù)　　一、鄰域　　二、兩個(gè)常用不等式　　三、函數(shù)　　四、初等函數(shù)　　習(xí)題1.1　1.2　數(shù)列的極限　　一、數(shù)列　　二、數(shù)列極限的定義　　三、收斂數(shù)列的性質(zhì)　　四、收斂數(shù)列的運(yùn)算法則　　習(xí)題1.2　1.3　函數(shù)的極限　　一、函數(shù)極限的定義　　二、函數(shù)極限的性質(zhì)　　習(xí)題1.3　1.4　無窮小與無窮大　　一、無窮小與無窮大的概念　　二、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)　　習(xí)題1.4　1.5　極限運(yùn)算法則　　一、極限的四則運(yùn)算　　二、復(fù)合函數(shù)的極限　　習(xí)題1.5　1.6　極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)　　重要極限　　一、極限存在準(zhǔn)則　　二、兩個(gè)重要極限　　習(xí)題1.6　1.7　無窮小比較　　一、無窮小比較的概念　　二、等價(jià)無窮小替代定理　　習(xí)題1.7　1.8　函數(shù)的連續(xù)性　　一、函數(shù)的連續(xù)性　　二、左、右連續(xù)　　三、連續(xù)函數(shù)　　四、函數(shù)的間斷點(diǎn)　　五、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算　　六、初等函數(shù)的連續(xù)性　　習(xí)題1.8　1.9　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)　　習(xí)題1.9　1.10　綜合例題　　一、函數(shù)　　二、極限　　三、連續(xù)性第二章　導(dǎo)數(shù)與微分　2.1　導(dǎo)數(shù)的概念　　一、導(dǎo)數(shù)概念的引進(jìn)　　二、導(dǎo)數(shù)的定義　　三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義　　四、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系　　習(xí)題2.1　2.2　求導(dǎo)法則與基本導(dǎo)數(shù)公式　　一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則　　二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則　　三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則　　四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題　　習(xí)題2.2　2.3　高階導(dǎo)數(shù)　　一、高階導(dǎo)數(shù)的概念　　二、幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式　　三、高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則　　習(xí)題2.3　2.4　隱函數(shù)與由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及相關(guān)變化率　　一、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則　　二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法　　三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則　　四、相關(guān)變化率　　習(xí)題2.4　2.5　微分及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用　　一、微分的概念　　二、微分的幾何意義　　三、基本微分公式與微分的運(yùn)算法則　　四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用　　習(xí)題2.5　2.6　綜合例題　　一、求分段函數(shù)與抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)　　二、已知函數(shù)可導(dǎo)，求某極限或確定其中的待定常數(shù)　　三、已知某極限，求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)　　四、關(guān)于導(dǎo)數(shù)存在的充要條件的討論　　五、函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算第三章　微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　3.1　微分中值定理　　一、羅爾定理　　二、拉格朗日中值定理　　三、柯西中值定理　　習(xí)題3.1　3.2　洛必達(dá)法則　　一、未定式　　二、未定式　　三、其他未定式　　習(xí)題3.2　3.3　泰勒公式　　一、問題的提出　　二、泰勒公式　　三、幾個(gè)常用的初等函數(shù)的泰勒公式　　習(xí)題3.3　3.4　函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性　　一、函數(shù)的單調(diào)性　　二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)　　習(xí)題3.4　3.5　函數(shù)的極值與最大值、最小值　　一、函數(shù)的極值　　二、函數(shù)的最值　　三、極值應(yīng)用的舉例　　習(xí)題3.5　3.6　函數(shù)圖形的描繪　　一、曲線的漸近線　　二、函數(shù)圖形的描繪　　習(xí)題3.6　3.7　曲率　　一、弧微分　　二、曲率及其計(jì)算公式　　三、曲率半徑與曲率圓　　習(xí)題3.7　3.8　綜合例題　　一、羅爾定理的推廣　　二、中值命題的證明　　三、函數(shù)不等式與數(shù)值不等式的證明　　四、用洛必達(dá)法則、中值定理與泰勒公式求極限　　五、用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性態(tài)　　六、用導(dǎo)數(shù)討論方程的根　　七、證明函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系第四章　不定積分　4.1　不定積分的概念與性質(zhì)　　一、原函數(shù)與不定積分　　二、不定積分的運(yùn)算法則與基本積分公式　　習(xí)題4.1　4.2　換元積分法　　一、第一換元法（湊微分法）　　二、第二換元法（代換法）　　習(xí)題4.2　4.3　分部積分法　　習(xí)題4.3　4.4　有理函數(shù)的不定積分　　一、有理函數(shù)的不定積分　　二、簡單無理函數(shù)與三角函數(shù)的不定積分　　習(xí)題4.4　4.5　綜合例題　　一、與原函數(shù)概念有關(guān)的問題　　二、用多種方法、技巧求　　不定積分第五章　定積分　5.1　定積分的概念與性質(zhì)　　一、定積分的概念　　二、定積分的性質(zhì)　　習(xí)題5.1　5.2　微積分基本定理　　一、積分上限函數(shù)　　二、微積分基本定理　　習(xí)題5.2　5.3　定積分的換元積分法和分部積分法　　一、換元積分法　　二、分部積分法　　習(xí)題5.3　5.4　反常積分與г函數(shù)　　一、無窮限的反常積分　　二、無界函數(shù)的反常積分　　三、г函數(shù)　　習(xí)題5.4　5.5　綜合例題　　一、與定積分概念性質(zhì)相關(guān)的例題　　二、與積分上限函數(shù)相關(guān)的例題　　三、定積分計(jì)算、證明的方法與技巧的例題第六章　定積分的應(yīng)用　6.1　定積分在幾何中的應(yīng)用　　一、平面圖形的面積　　二、立體的體積　　三、平面曲線的弧長　　習(xí)題6.1　6.2　定積分在物理中的應(yīng)用　　一、變力做的功　　二、水壓力　　三、引力　　習(xí)題6.2　6.3　綜合例題第七章　微分方程　7.1　微分方程的基本概念　　一、建立微分方程數(shù)學(xué)模型　　二、微分方程的基本概念　　習(xí)題7.1　7.2　可分離變量的微分方程　　一、可分離變量的微分方程　　二、齊次方程　　習(xí)題7.2　7.3　一階線性微分方程　　一、一階線性齊次微分方程的解法　　二、一階線性非齊次微分方程的解法　　三、伯努刺方程　　習(xí)題7.3　7.4　可降階的高階微分方程　　一、y（n）=f（x）型的微分方程　　二、不顯含未知函數(shù)y的　　三、不顯含自變量z的微分方程　　習(xí)題7.4　7.5　二階線性微分方程　　一、二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)　　二、二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)　　習(xí)題7.5　7.6　二階常系數(shù)線性齊次微分方程　　習(xí)題7.6　7.7　二階常系數(shù)線性非齊次微分方程　　一、f（x）=Pn（x）eux，其中μ是常數(shù)，Pn是n次多項(xiàng)式　　二、f（x）=eax［Pl（x）cosβx+P（x）sinβx］，其中α，β為常數(shù)，Pl，Pn分別為l，n次多項(xiàng)式　　習(xí)題7.7　7.8　綜合例題　　一、一階微分方程的求解　　二、有關(guān)二階微分方程解的　　例題習(xí)題參考答案與提示

章節(jié)摘錄

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