拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用

前言

眾所周知，拓?fù)鋵W(xué)（與分析學(xué)和代數(shù)學(xué)一起）是現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的三個關(guān)鍵領(lǐng)域之一，近幾十年來，拓?fù)鋵W(xué)在經(jīng)歷朝抽象方面發(fā)展的階段后，又在諸多應(yīng)用領(lǐng)域得到了廣泛的發(fā)展，本書就是為了適應(yīng)這一趨勢而推出的。本書適用于對拓?fù)鋵W(xué)及其應(yīng)用感興趣的各專業(yè)本科生與研究生，當(dāng)然還有教師和專業(yè)人員，這些專業(yè)領(lǐng)域包括數(shù)字圖像處理、遺傳工程、地理信息系統(tǒng)、機器人學(xué)、醫(yī)學(xué)（心臟搏動模型）、生物化學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、化學(xué)圖論、電子線路設(shè)計和宇宙學(xué)等，對于數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生、研究生和教師，本書也是很好的教材或教學(xué)參考書，此外，關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)改革的各界人士，也能從本書得到有益的啟示。本書可以分為兩大部分，前七章作為第一部分，是介紹拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)的核心部分，后七章是第二部分，其中的拓?fù)鋵W(xué)論題的結(jié)論大都來自前七章的結(jié)論。作者在展開內(nèi)容時，無論是理論還是應(yīng)用方面，都先提供一個簡短的、引人入勝的背景知識的介紹，為引進有關(guān)的概念作鋪墊，并激發(fā)讀者學(xué)習(xí)和以后進一步鉆研的興趣，為了減輕讀者的負(fù)擔(dān)，除了核心部分，作者還設(shè)法讓本書所討論的論題彼此獨立，在“前言”中，列表給出了這些論題之間的關(guān)系，借助這個表，讀者就可以采用最合理的途徑，盡快地實現(xiàn)自己的目標(biāo)。對應(yīng)用感興趣的讀者，可以按照“前言”中列表的提示選學(xué)有關(guān)的章節(jié)，為解決相關(guān)領(lǐng)域的問題，盡快奠定必要的拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。

內(nèi)容概要

本書通過大量例子和插圖，用生動的語言深入淺出地闡述了拓?fù)鋵W(xué)這門重要的、充滿魅力的數(shù)學(xué)課程。本書分為兩部分，前七章作為第一部分，介紹了拓?fù)鋵W(xué)這門重要的、充滿魅力的課程的基本內(nèi)容；后七章作為第二部分，論述了拓?fù)鋵W(xué)的概念在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域、科學(xué)以及工程方面的作用和意義?！　”緯鳛橥?fù)鋵W(xué)的入門課程，適用于對拓?fù)鋵W(xué)的應(yīng)用感興趣的各專業(yè)本科生與研究生。本書分為兩部分，前七章作為第一部分，介紹了拓?fù)鋵W(xué)這門重要的、充滿魅力的課程的基本內(nèi)容；后七章作為第二部分，論述了拓?fù)鋵W(xué)的概念在各領(lǐng)域的作用和意義，這些領(lǐng)域包括數(shù)字圖像處理、遺傳工程、地理信息系統(tǒng)、機器人學(xué)、醫(yī)學(xué)（心臟搏動模型）、生物化學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、化學(xué)圖論、電子線路設(shè)計和宇宙學(xué)等?！　”緯攸c　　在展開內(nèi)容時，先提供一個簡短的、引人入勝的背景知識介紹，為引進有關(guān)的概念作鋪墊，并激發(fā)讀者學(xué)習(xí)和以后進一步鉆研的興趣?！　√峁┝嗽S多例子和插圖，并用生動的語言深入淺出地闡述了這門通常被認(rèn)為是很抽象的、很艱深的、望而生畏的數(shù)學(xué)課程?！　∽⒅貑l(fā)學(xué)生的思維，有利于科學(xué)獨創(chuàng)性的培養(yǎng)?！　〕朔从惩?fù)鋵W(xué)廣泛應(yīng)用的動態(tài)外，還為數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供了范例。 　　

作者簡介

Colin Adams 1983年于美國威斯康星大學(xué)麥迪遜分校獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為美國威廉姆斯學(xué)院數(shù)學(xué)系Thomas T. Read教授。其研究領(lǐng)域包括紐結(jié)理論及其應(yīng)用、雙曲3維流形等，已經(jīng)發(fā)表了40多篇有關(guān)此領(lǐng)域的論文。

書籍目錄

譯者序 前言 第0章　引論 　0.1　拓?fù)鋵W(xué)是什么以及如何應(yīng)用　0.2　歷史一瞥 　0.3　集合及其運算 　0.4　歐幾里得空間 　0.5　關(guān)系 　0.6　函數(shù) 第1章　拓?fù)淇臻g 　1.1　開集與拓?fù)鋵W(xué)的定義 　1.2　拓?fù)涞幕?　1.3　閉集 　1.4　拓?fù)鋵W(xué)應(yīng)用舉例 第2章　內(nèi)部、閉包與邊界 　2.1　集合的內(nèi)部與閉包 　2.2　極限點 　2.3　集合的邊界 　2.4　在地理信息系統(tǒng)中的一個應(yīng)用 第3章　構(gòu)建新的拓?fù)淇臻g 　3.1　子空間拓?fù)?　3.2　積拓?fù)?　3.3　商拓?fù)?　3.4　有關(guān)商空間的更多例子 　3.5　構(gòu)形空間與相空間 第4章　連續(xù)函數(shù)與同胚 　4.1　連續(xù)性 　4.2　同胚 　4.3　機器人學(xué)的正向運動學(xué)映射 第5章　度量空間 　5.1　度量 　5.2　度量與信息 　5.3　度量空間的性質(zhì) 　5.4　可度量化 第6章　連通性 　6.1　建立連通性的第一種途徑 　6.2　用連通性區(qū)分拓?fù)淇臻g 　6.3　介值定理 　6.4　道路連通性 　6.5　自動導(dǎo)向裝置 第7章　緊致性 　7.1　開覆蓋與緊致空間 　7.2　度量空間中的緊致性 　7.3　極值定理 　7.4　極限點緊致性 　7.5　單點緊化 第8章　動力系統(tǒng)與混沌 　8.1　函數(shù)迭代 　8.2　穩(wěn)定性 　8.3　混沌 　8.4　復(fù)雜動力系統(tǒng)的簡單人口模型 　8.5　混沌蘊涵對初始條件的敏感依賴性第9章　同倫與度理論 　9.1　同倫 　9.2　圓函數(shù)、度與收縮 　9.3　在心臟搏動模型中的一個應(yīng)用 　9.4　代數(shù)學(xué)基本定理 　9.5　再論拓?fù)淇臻g的區(qū)分 　9.6　再論度 第10章　不動點定理及其應(yīng)用 　10.1　布勞威爾不動點定理 　10.2　在經(jīng)濟學(xué)中的一個應(yīng)用 　10.3　卡庫塔尼不動點定理 　10.4　博弈論與納什均衡 第11章　嵌入 第12章　紐結(jié) 第13章　圖論與拓?fù)鋵W(xué) 第14章　流形與宇宙學(xué) 進一步閱讀材料 參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：引論0.1 拓?fù)鋵W(xué)是什么以及如何應(yīng)用拓?fù)鋵W(xué)是所有數(shù)學(xué)學(xué)科中最活躍的一個領(lǐng)域。按照傳統(tǒng)的說法，拓?fù)鋵W(xué)（與代數(shù)學(xué)及分析學(xué)一起）被認(rèn)為是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的三大領(lǐng)域之一。近年來，由于許多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家把拓?fù)鋵W(xué)的概念用于模擬或理解現(xiàn)實世界的結(jié)構(gòu)和現(xiàn)象，拓?fù)鋵W(xué)又成了應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重要組成部分。在本書中，我們按以下兩個方面來介紹拓?fù)鋵W(xué)：一是作為一門基礎(chǔ)學(xué)科的傳統(tǒng)方法；二是作為應(yīng)用工具的一種有價值的來源。按照應(yīng)用的觀點，我們發(fā)現(xiàn)拓?fù)鋵W(xué)既對現(xiàn)實世界的問題產(chǎn)生影響，又影響著其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的種種成果。拓?fù)鋵W(xué)脫胎于幾何學(xué)，推廣了它的某些觀念，并拋棄了出現(xiàn)在其中的某些結(jié)構(gòu)。從字面上看，“拓?fù)鋵W(xué)”這個詞意味著關(guān)于配置與定位的研究。拓?fù)鋵W(xué)研究形狀及其性質(zhì)、變形和它們之間的映射，以及把它們組合起來的構(gòu)形。拓?fù)鋵W(xué)通常被稱為“橡皮膠布幾何學(xué)”。在傳統(tǒng)的幾何學(xué)中，把像圓周、三角形、平面和多面體這樣的物體當(dāng)作剛體，明確定義了點與點之間的距離，以及棱與面之間的角度。但是，拓?fù)鋵W(xué)與距離以及角度是不相關(guān)的。如果物體是由橡皮做的，能夠變形。我們允許物體彎曲、扭轉(zhuǎn)、拉伸、收縮，或者相互變形，但是我們不允許物體撕裂。在圖0.1中，我們看到4種形狀，從幾何透視來說它們是不同的。而在拓?fù)鋵W(xué)中卻認(rèn)為它們是等價的。其中任何一種，如果由橡皮制作，那么就可以變形為其余每一種。在圖0.2中，我們看到兩個物體（環(huán)面與球面）在拓?fù)鋵W(xué)中是不同的。按照拓?fù)鋵W(xué)的任何方式，都不能把一個球面變形為環(huán)面，因而按拓?fù)鋵W(xué)的眼光，這兩種曲面是不等價的。

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