數(shù)值分析

前言

　　隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)與工程計(jì)算愈來(lái)愈顯示出其重要性，與實(shí)驗(yàn)、理論三足鼎立，成為科學(xué)實(shí)踐的三大手段之一，其應(yīng)用范圍滲透到所有的科學(xué)活動(dòng)領(lǐng)域。作為科學(xué)與工程計(jì)算的數(shù)學(xué)工具，“數(shù)值分析”從20世紀(jì)80年代起，就逐漸成為各高等院校工科碩士研究生學(xué)位公共必修課?！　”窘滩目紤]到工科各專業(yè)對(duì)數(shù)值分析的實(shí)際需要，重點(diǎn)突出學(xué)以致用的原則，著重介紹在計(jì)算機(jī)上常用的數(shù)值計(jì)算方法的構(gòu)造和使用，同時(shí)對(duì)數(shù)值計(jì)算方法的計(jì)算效果、穩(wěn)定性、收斂性、誤差分析、適用范圍及優(yōu)缺點(diǎn)也作了必要的分析與介紹。教材中每章都配有難易程度不等的習(xí)題，有些習(xí)題必須通過(guò)上機(jī)實(shí)踐來(lái)完成。這樣，能讓學(xué)生通過(guò)習(xí)題來(lái)消化課堂內(nèi)容，結(jié)合實(shí)驗(yàn)課中上機(jī)實(shí)習(xí)的要求，可使學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)值方法有更深刻確切的理解?！　∮捎诰幷咚剿?，教材中難免有不妥之處，懇請(qǐng)讀者指正，以便今后做進(jìn)一步的修改。

內(nèi)容概要

　　《數(shù)值分析》結(jié)合作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)編寫(xiě)而成。書(shū)中詳細(xì)介紹了數(shù)值分析的基本理論，強(qiáng)調(diào)其思想方法的靈活應(yīng)用，提供大量的典型例題，理論完整，內(nèi)容豐富，具有廣泛的實(shí)際意義?！稊?shù)值分析》每章內(nèi)容都分為八章。前六章是數(shù)值分析的基本內(nèi)容；后兩章是作者的科研總結(jié)。 《數(shù)值分析》是為工科院校本科生高年級(jí)和研究生編寫(xiě)的公共課教材。內(nèi)容主要包括非線性方程和方程組的數(shù)值解法；線性代數(shù)方程組數(shù)值解法；插值方法和數(shù)值逼近；數(shù)值積分；矩陣特征值和特征向量的計(jì)算；常微分方程數(shù)值解法；小波分析在工程中的應(yīng)用；再生核空間中的數(shù)值分析?！稊?shù)值分析》還配有學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)，便于學(xué)生加深理解。

書(shū)籍目錄

緒論§0．1 研究數(shù)值分析的必要性§0．2 誤差概念§0．3 數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的若干問(wèn)題習(xí)題零第一章 線性代數(shù)方程組數(shù)值解法§1．1 向量范數(shù)、矩陣范數(shù)和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)§1．2 Gauss消元法§1．3 三角分解法§1．4 方程組的性態(tài)、條件數(shù)§1．5 線性方程組的迭代解法§1．6 梯度法習(xí)題第二章 非線性方程和方程組的數(shù)值解法§2．1 基本問(wèn)題§2．2 迭代法§2．3 單點(diǎn)迭代法§2．4 多點(diǎn)迭代法§2．5 重根上的迭代法§2．6 迭代加速收斂的方法§2．7 擬Newton法習(xí)題二第三章 插值和擬合§3．1 多項(xiàng)式插值§3．2 樣條插值§3．3 有理逼近§3．4 最佳平方逼近§3．5 周期函數(shù)逼近與快速Fourier變換習(xí)題三第四章 數(shù)值積分與微分§4．1 數(shù)值積分的一般問(wèn)題§4．2 等距節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes公式§4．3 Romberg積分法§4．4 Gauss求積公式§4．5 帶權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式§4．6 振蕩函數(shù)的求積公式§4．7 自動(dòng)變步長(zhǎng)Simpson方法和自適應(yīng)Simpson方法§4．8 數(shù)值微分法習(xí)題四第五章 矩陣特征值和特征向量的計(jì)算§5．1 乘冪法與反冪法§5．2 Jacobi方法§5．3 Householder方法§5．4 QR算法習(xí)題五第六章 常微分方程數(shù)值解法§6．1 初值問(wèn)題數(shù)值解法的一般概念§6．2 單步法的局部截?cái)嗾`差和階§6．3 Runge-Kutta法§6．4 單步法的收斂性與穩(wěn)定性§6．5 線性多步法§6．6 預(yù)測(cè)一校正方法§6．7 高階方程和方程組§6．8 Stiff方程簡(jiǎn)介習(xí)題六參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　§0.1研究數(shù)值分析的必要性　　數(shù)值分析是研究用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及有關(guān)理論?！　∫话愕模糜?jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)與工程計(jì)算時(shí)要經(jīng)歷如下過(guò)程：　　實(shí)際問(wèn)題=>數(shù)學(xué)建模=>提出數(shù)值問(wèn)題=>設(shè)計(jì)實(shí)用的數(shù)值計(jì)算方法=>軟件實(shí)現(xiàn)=>程序的執(zhí)行=>結(jié)果的分析驗(yàn)證及可視化。　　可見(jiàn)，數(shù)值分析是科學(xué)與工程計(jì)算過(guò)程中必不可少的環(huán)節(jié)。它以純數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，但不只研究數(shù)學(xué)本身的理論，而著重研究解決問(wèn)題的數(shù)值方法及效果，如怎樣使計(jì)算速度最快、存儲(chǔ)量最少等問(wèn)題，以及數(shù)值方法的收斂性、穩(wěn)定性、誤差分析。雖然有些方法在理論上還不夠完善與嚴(yán)密，但通過(guò)對(duì)比分析、實(shí)際計(jì)算和實(shí)踐檢驗(yàn)等手段，被證明是行之有效的方法，也可采用。因此，數(shù)值分析這門(mén)課程既帶有純數(shù)學(xué)高度抽象性和嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又具有應(yīng)用的廣泛性和實(shí)際試驗(yàn)的高度技術(shù)性特點(diǎn)，是一門(mén)與計(jì)算機(jī)密切相連的實(shí)用性很強(qiáng)的計(jì)算數(shù)學(xué)課程?！　±纾胏ramer法則解一個(gè)n階線性代數(shù)方程組需要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式。不計(jì)加減運(yùn)算，求解總共需要n?。╪+1）+n次乘除法。當(dāng)n很大時(shí)，這個(gè)計(jì)算量是相當(dāng)驚人的。比如解一個(gè)不算太大的20階線性方程組，大約要做9。7×1020。次乘除法，顯然，這樣的方法是毫無(wú)實(shí)用意義的。然而，如果采用數(shù)值分析中介紹的任何一種解線性方程組的數(shù)值方法，比如Gauss消元法，乘除法次數(shù)不超過(guò)3 000次，即使在微型計(jì)算機(jī)上，也只需幾秒鐘時(shí)間就能很容易地完成。這個(gè)例子說(shuō)明了研究實(shí)用的數(shù)值方法是非常有必要的。而數(shù)值分析研究的正是在計(jì)算效率上最佳的或近似最佳的方法。而不是像Gramer法則這樣的方法。評(píng)價(jià)一個(gè)算法的優(yōu)劣主要有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：計(jì)算結(jié)果的精度和得到這個(gè)精度結(jié)果需要付出的代價(jià)?！　　?.2　誤差概念　　對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值求解，求得的結(jié)果一般都包含有誤差。即數(shù)值計(jì)算絕大多數(shù)情況是近似計(jì)算，因此，誤差分析和估計(jì)是數(shù)值計(jì)算過(guò)程中的重要內(nèi)容，由它們可以確切地知道誤差的性態(tài)和誤差的界。

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