復(fù)分析及其在數(shù)值數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

內(nèi)容概要

　　匡蛟勛、田紅炯所著的這本本書(shū)主要介紹復(fù)分析的主要內(nèi)容及其應(yīng)用。全書(shū)共分15章和一個(gè)附錄，主要包括復(fù)函數(shù)的微分學(xué)與積分學(xué)，冪級(jí)數(shù)理論及Laurent展開(kāi)，殘數(shù)理論及幅角原理，解析函數(shù)的最大模原理及調(diào)和函數(shù)的極值原理，解析函數(shù)的唯一性定理及零點(diǎn)理論，整函數(shù)與半純函數(shù)，Riemann曲面及代數(shù)函數(shù)理論，復(fù)分析在矩陣分析、常微分方程及泛函微分方程的定性理論和上述方程數(shù)值方法穩(wěn)定性理論中的應(yīng)用等等。
　　本書(shū)可作為計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)的教學(xué)與參考用書(shū)，也可供相關(guān)科學(xué)與工程技術(shù)人員參考之用。

書(shū)籍目錄

前言
第1章 復(fù)數(shù)回顧
　1.1 復(fù)數(shù)
　1.2 復(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算
　1.3 共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模
　1.4 復(fù)數(shù)的幾何表示
　1.5 復(fù)數(shù)的冪與方根
　1.6 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)及Riemann球面
第2章 極限與連續(xù)
　2.1 平面點(diǎn)集
　2.2 聚點(diǎn)、開(kāi)集、閉集
　2.3 復(fù)數(shù)序列
　2.4 區(qū)域
　2.5 Jordan曲線
　2.6 復(fù)變量函數(shù)的極限與連續(xù)性
第3章 解析函數(shù)
　3.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
　3.2 導(dǎo)數(shù)的初步應(yīng)用
　3.3 Cauchy-Riemann方程
　3.4 Cauchy-Riemann方程的極坐標(biāo)形式
　3.5 Cauchy-Riemann方程的一些推論
　3.6 Laplace方程與調(diào)和函數(shù)
　3.7 單葉函數(shù)反函數(shù)
　3.8 冪級(jí)數(shù)
第4章 初等函數(shù)
　4.1 多項(xiàng)式及有理函數(shù)
　4.2 指數(shù)函數(shù)
　4.3 對(duì)數(shù)函數(shù)
　4.4 冪函數(shù)
　4.5 三角函數(shù)雙曲函數(shù)
第5章 復(fù)積分
　5.1 圍道
　5.2 圍道積分
　5.3 Cauchy-Goursat定理
　5.4 Cauchy-Goursat定理的推廣
　5.5 不定積分
　5.6 Cauchy積分公式
　5.7 導(dǎo)數(shù)的Cauchy積分公式
　5.8 Cauchy不等式
　5.9 Liouviile定理
　5.10 Morera定理
第6章 矩陣函數(shù)及其應(yīng)用
　6.1 向量與矩陣的范數(shù)、Gelfand定理
　6.2 矩陣的微分與圍道積分
　6.3 矩陣函數(shù)
　6.4 矩陣函數(shù)的Cauchy積分表示
　6.5 譜映象定理及其應(yīng)用
　6.6 矩陣函數(shù)的連續(xù)性定理
　6.7 矩陣冪An的一致有界性(Kreiss定理)
　6.8 Von-Nuemann定理及應(yīng)用
　6.9 Nevanlinna定理
第7章 保角映射
　7.1 初等函數(shù)的幾何面貌
　7.2 保角映射
　7.3 弧長(zhǎng)的微分關(guān)系
　7.4 p=p(z)的作用
　7.5 線性變換
　7.6 線性變換的例
　7.7 Riemann映射定理
　7.8 MSbius映射的一個(gè)應(yīng)用(von-Nuemann定理)
第8章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)的展開(kāi)
　8.1 函數(shù)序列
　8.2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
　8.3 Taylor展開(kāi)
　8.4 Laurent展開(kāi)式
　8.5 Taylor級(jí)數(shù)與Laurent級(jí)數(shù)之例
　8.6 (Log)的Laurent展開(kāi)
　8.7 解析函數(shù)的零點(diǎn)分布
　8.8 解析函數(shù)的最大模原理，調(diào)和函數(shù)的極值原理.
　8.9 一類(lèi)有理分式的最大模原理及Hurwitz定理
　8.10 解常微分方程的單步法
　8.11 解常微分方程的多步法
第9章 復(fù)函數(shù)奇點(diǎn)的分類(lèi)
　9.1 序言
　9.2 可去奇點(diǎn)
　9.3 極
　9.4 本性奇點(diǎn)Picard定理
　9.5 零點(diǎn)的聚點(diǎn)
　9.6 函數(shù)f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的性態(tài)
　9.7 有理函數(shù)的特性
　9.8 一類(lèi)特征函數(shù)的零點(diǎn)分布(I)
第10章 殘數(shù)及其應(yīng)用
　10.1 殘數(shù)及計(jì)算
　10.2 殘數(shù)定理
　10.3 輻角原理
　10.4 用殘數(shù)定理求定積分
　10.5 儒歇(Rouche)定理
　10.6 一類(lèi)滯后差分方程的穩(wěn)定性
　10.7 一類(lèi)特征函數(shù)的零點(diǎn)分布(II)
第11章 整函數(shù)及半純函數(shù)
　11.1 無(wú)窮乘積
　11.2 整函數(shù)
　11.3 半純函數(shù)
　11.4 半純函數(shù)的Cauchy分解法
第12章 解析開(kāi)拓
　12.1 解析開(kāi)拓的定義
　12.2 解析開(kāi)拓之唯一性定理
　12.3 完全解析函數(shù)
　12.4 解析開(kāi)拓的冪級(jí)數(shù)方法
　12.5 單值性定義及單值性定理
第13章 多值函數(shù)
　13.1 多值函數(shù)的概念
　13.2 Riemann曲面
　13.3 定義于Riemann曲面上的函數(shù)
　13.4 代數(shù)函數(shù)
第14章 一類(lèi)特征函數(shù)的零點(diǎn)分布Ⅲ
　14.1 序言
　14.2 特征函數(shù)P(s，T1，T2，，Td)的零點(diǎn)分布
　14.3 某些推論
　14.4 Runge-Kutta方法的NP穩(wěn)定性
　14.5 中立型微分代數(shù)方程的漸近性態(tài)
第15章 數(shù)值方法的L型穩(wěn)定性
　15.1 差分方程的性質(zhì)
　15.2 特征函數(shù)P(ζ)的零點(diǎn)分布
　15.3 θ方法的PL穩(wěn)定性(L型穩(wěn)定性)
　15.4 Runge-Kutta方法的GPL穩(wěn)定性
　參考文獻(xiàn)
附錄 多復(fù)變函數(shù)論初步
　A.1 多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)
　A.2 Cauchy-Riemann方程
　A.3 唯一性定理，開(kāi)映射定理，最大模原理
　A.4 多圓盤(pán)上的Cauchy積分公式
　A.5 Hartogs定理，Hartogs現(xiàn)象
　A.6 Reinhardt域上的全純函數(shù)
索引

章節(jié)摘錄

第1章 復(fù)數(shù)回顧 1.1 復(fù)數(shù) 在微積分學(xué)中，我們已經(jīng)熟悉了實(shí)數(shù)的許多性質(zhì)及運(yùn)算法則，19世紀(jì)40年代，數(shù)學(xué)家哈密頓(Hamilton)建立了復(fù)數(shù)的理論基礎(chǔ)，以后由它引出的復(fù)分析，或者復(fù)變函數(shù)論，不管在數(shù)學(xué)科學(xué)本身或者在各種各樣的應(yīng)用科學(xué)中都起著十分重要的作用。所謂復(fù)數(shù)是由一對(duì)實(shí)數(shù)a，b以及虛數(shù)i結(jié)合而成的數(shù)，一般記為a+bi，這里的i是方程x2 +1=0的一個(gè)根，它滿足一個(gè)基本性質(zhì)，即i2 = .1，所以記i=√.1。 對(duì)于上面規(guī)定的復(fù)數(shù)，當(dāng)我們建立其四則運(yùn)算法則時(shí)必須與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則相容，亦即幾個(gè)復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果，當(dāng)復(fù)數(shù)蛻化為實(shí)數(shù)時(shí)其結(jié)果兩者必須一致。設(shè)A=a+bi是一個(gè)復(fù)數(shù)，其中a，b為實(shí)數(shù)，i=√.1，那么我們稱a為A的實(shí)部，b為A的虛部，分別記為a=Re(A)及b=Im(A)。當(dāng)a=b=0時(shí)，稱A為零，記為A=0。1.2 復(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算 令A(yù)=a+bi，B=c+di，這里a，b，c和d為實(shí)數(shù)，i=√.1.A與B的和記為A+B，它們的定義為A+B=(a+c)+(b+d)i.(1.1) 這樣定義的加法滿足交換律和結(jié)合律，即假若A，B和C為復(fù)數(shù)，那么A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。類(lèi)似地，兩個(gè)復(fù)數(shù)的減法定義為 A.B =(a.c)+(b.d)i.(1.2) 兩個(gè)復(fù)數(shù)A與B的乘法定義為 AB=(a+bi)(c+di)=(ac. bd)+(ad+bc)i.(1.3) 顯然這樣定義乘法滿足交換律、結(jié)合律與分配律，即 AB=BA,(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC.

編輯推薦

匡蛟勛、田紅炯所著的這本《復(fù)分析及其在數(shù)值數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》主要介紹復(fù)變函數(shù)的基本知識(shí)，比如解析函數(shù)、初等函數(shù)、復(fù)積分、殘數(shù)定理、零點(diǎn)理論、唯一性定理、最大模定理、輻角定理保內(nèi)映射等。在此基礎(chǔ)上介紹本書(shū)的重點(diǎn)內(nèi)容解析開(kāi)拓、多值函數(shù)、黎曼曲面的構(gòu)造、代數(shù)函數(shù)理論等。最后給出復(fù)分析理論在數(shù)值數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的內(nèi)容和技巧，給出大量的成功的應(yīng)用復(fù)分析解決問(wèn)題的實(shí)例，是一本很實(shí)用的教學(xué)和科研參考用書(shū)。

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