交換調(diào)和分析I:總論，古典問題

前言

　　要使我國的數(shù)學事業(yè)更好地發(fā)展起來，需要數(shù)學家淡泊名利并付出更艱苦地努力。另一方面，我們也要從客觀上為數(shù)學家創(chuàng)造更有利的發(fā)展數(shù)學事業(yè)的外部環(huán)境，這主要是加強對數(shù)學事業(yè)的支持與投資力度，使數(shù)學家有較好的工作與生活條件，其中也包括改善與加強數(shù)學的出版工作。　　從出版方面來講，除了較好較快地出版我們自己的成果外，引進國外的先進出版物無疑也是十分重要與必不可少的。從數(shù)學來說，施普林格（springer）出版社至今仍然是世界上最具權(quán)威的出版社?？茖W出版社影印一批他們出版的好的新書，使我國廣大數(shù)學家能以較低的價格購買，特別是在邊遠地區(qū)工作的數(shù)學家能普遍見到這些書，無疑是對推動我國數(shù)學的科研與教學十分有益的事?！　∵@次科學出版社購買了版權(quán)，一次影印了23本施普林格出版社出版的數(shù)學書，就是一件好事，也是值得繼續(xù)做下去的事情。大體上分一下，這23本書中，包括基礎(chǔ)數(shù)學書5本，應用數(shù)學書6本與計算數(shù)學書12本，其中有些書也具有交叉性質(zhì)。這些書都是很新的，2000年以后出版的占絕大部分，共計16本，其余的也是1990年以后出版的。這些書可以使讀者較快地了解數(shù)學某方面的前沿，例如基礎(chǔ)數(shù)學中的數(shù)論、代數(shù)與拓撲三本，都是由該領(lǐng)域大數(shù)學家編著的“數(shù)學百科全書”的分冊。對從事這方面研究的數(shù)學家了解該領(lǐng)域的前沿與全貌很有幫助。按照學科的特點，基礎(chǔ)數(shù)學類的書以“經(jīng)典”為主，應用和計算數(shù)學類的書以“前沿”為主。這些書的作者多數(shù)是國際知名的大數(shù)學家，例如《拓撲學》一書的作者諾維科夫是俄羅斯科學院的院士，曾獲“菲爾茲獎”和“沃爾夫數(shù)學獎”。這些大數(shù)學家的著作無疑將會對我國的科研人員起到非常好的指導作用?！　‘斎?，23本書只能涵蓋數(shù)學的一部分，所以，這項工作還應該繼續(xù)做下去。更進一步，有些讀者面較廣的好書還應該翻譯成中文出版，使之有更大的讀者群。　　總之，我對科學出版社影印施普林格出版社的部分數(shù)學著作這一舉措表示熱烈的支持，并盼望這一工作取得更大的成績。

內(nèi)容概要

The first volume in this subseries of the Encyclopaedia 1S meant to familiarize the reader with the discipline Commutative Harmonic AnalysiS．  　The first article is a thorough introduction，moving from Fourier series to the Fourier transform，and on to the group theoretic point ofview．Numerous examples illustrate the connections to differential and integral equationS，approximation theory，nutuber theory， probability theory and physics．The development of Fourier analysis is discussed in a brief historical essay． 　 The second article focuses on some of the classical problems of Fourier series；it’S a"mini—Zygmund”for the beginner．The third article is the most modern of the three，concentrating on singular integral operators．It also contains an introduction to Calderon-Zygmund theory．

書籍目錄

IntroductionChapter 1.A Short Course of Fourier Analysis of Periodic Functions　§1.Translation-Invariant Operators　  1.1.The Set up　  1.2.Object ofInvestigation　  1.3.Convolution　  1.4.General Form oft.i.Operators　§2.Harmonics.Basic Principles of Harmonic Analysis on the Circle　　2.1.Eigenvectors and Eigenfunctions of t-i.Operators　  2.2.Basic Principles of Harmonic Analysis on the Circle T 　 2.3.Smoothing ofDistributions　  2.4.Weierstrass’Theorem　  2.5.Fourier Coefficients.The Main Theorem of Harmonic Analysis on the Circle　  2.6.Spectral Characteristics of the Classes * and *　  2.7.L2-Theory of Fourier Series　  2.8.Wirtinger’S Inequality　  2.9.The lsoperimetric Inequality.(Hurwitz’Proof)　  2.10.Harmonic Analysis on the TorusChapter 2.Harmonic Analysis in Rd　§1.Preliminaries on Distributions in Rd　  1.1.Distributions in Rd　§2.From the Circle to the Line.Fourier Transform in Rd(Definition)　  2.1.Inversion Formula(An Euristic Derivation)　  2.2.A Proofofthe Inversion Formula　  2.3.Another Proof　  2.4.Fourier Transform in Rd(Definition)　§3.Convolution(Definition). 　 3.1.Difficulties of Harmonic Analysis in Rd　  3.2.Convolution of Distributions(Construction)　  3.3.Examples　  3.4.Convolution Operators　§4.Convolution Operators as Object of Study(Examples)　  4.1.Linear Ditierential and Difference Operators.　  4.2.Integral Operators with a Kernel Depending on Difference of Arguments.　  4.3.Integration and Differentiation of a Fractional Order.　  4.4.Hilbert Transform　  4.5.Cauchy’S Problem and Convolution Operators　  4.6.Fundamental Solutions.The Newtonian Potential　  4.7 Distribution of the Sum of Independent Random Variables　  4.8 Convolution Operators in Approximation Theory　  4.9.The Impulse Response Function ofa System.　§5.Means of InVestigation—Fourier Transform(S′-Theory and L2-Theory　  5.1.Spaces S and S′  　5.2.S′-Theory of Fourier Transform.Preliminary Discussion　  5.3.S′-Theory of Fourier Transform(Basic Facts)　  5.4.L2 Theory.　  5.5.“x-Representation”and“ξ-Representation”　§6.Fourier Transform in Examples　  6.1.Some Formulae　  6.2.Fourier Transform and a Linear Change of Variable　  6.3 Digression：Heisenberg Uncertainty Principle　  6.4.Radially-Symmetric Distributions　  6.5 Harmonic Analysis of Periodic Functions　  6.6.The Poisson Summation Formula　  6.7.Minkowski’S Theorem on Integral Solutions of Systems of Linear Inequalities.　  6.8.Jacobi’s Identity for the θ-Function　  6.9.Evaluation ofthe Gaussian Sum.　§7.Fourier Transform in Action.Spectral Analysis of Convolution Operators　  7.1.Symbol　  7.2.Construction of Fundamental Solutions　  7.3.Hypoellipticity　  7.4 Singular Integral Operators and PDO　  7.5 The Law of Large Numbers and Central Limit Theorem  　  7.6.δ-Families and Summation of Diverging Integrals　  7.7.Tauberian Theorems　  7.8.Spectral Characteristic of a System.　……Chapter3 Harmonic Analysis on GroupsChapter4 A Historical SurveyChapter5 Spectral Analysis and Spectral Synthesis,Intrinsic ProblemsEpilogueBibliographical NoesReferences

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