數(shù)學(xué)分析

前言

　　數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)各專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課，其重要性不言而喻．我們根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在吸取一些現(xiàn)有教材優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，編寫了本教材．　　現(xiàn)有的各種數(shù)學(xué)分析教材都有其優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)．本教材力求在可讀性、系統(tǒng)性和邏輯性上能具有特色，并將分層教學(xué)的理念貫穿全書．首先，在可讀性方面，對于重要概念只給一種定義形式，其他的等價定義一般放在思考題或習(xí)題中．例如，對數(shù)列極限，本書只引入了定義，目的是希望學(xué)生能吃透這個概念；數(shù)列極限的另一個等價定義放在習(xí)題中，方便基礎(chǔ)較好的學(xué)生學(xué)習(xí)．對定理的證明，盡量用樸素的方法證明．對書中的例題，表達(dá)盡量詳細(xì)，讓學(xué)生容易自學(xué)．對某些定理采取先用后證的方法講述．例如，在第7章，先給出區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定存在原函數(shù)這個結(jié)論，這樣就可以介紹求不定積分的各種方法；在第8章，先給出閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定在上可積這個結(jié)論，這樣可以使定積分的計算提前，然后在第8章后面再證明這兩個存在性定理．

內(nèi)容概要

本書介紹了數(shù)學(xué)分析的基本概念、基本理論和方法，包括一元(多元)函數(shù)極限理論、一元函數(shù)微積分學(xué)、級數(shù)理論和多元函數(shù)微積分學(xué)等，全書共分三冊，本冊內(nèi)容包括實(shí)數(shù)與數(shù)列極限、函數(shù)與函數(shù)極限、函數(shù)的連續(xù)性、微分與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、實(shí)數(shù)集的稠密性與完備性，本書在內(nèi)容的安排上深入淺出，表達(dá)清楚，系統(tǒng)性和邏輯性強(qiáng)，書中列舉了大量例題來說明數(shù)學(xué)分析的定義、定理及方法，并提供了豐富的思考題和習(xí)題，便于教師教學(xué)與學(xué)生自學(xué)，每章末都有小結(jié)，并配有復(fù)習(xí)題，對該章的主要內(nèi)容作了歸納和總結(jié)，方便學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)。    本書可作為高等師范院校數(shù)學(xué)各專業(yè)學(xué)生的教學(xué)用書，也可供相關(guān)專業(yè)的教師和科技工作者參考。

書籍目錄

第1章  實(shí)數(shù)與數(shù)列極限  1.0  預(yù)備知識    1.0.1  一些常用的記號    1.0.2  邏輯命題的否命題    1.0.3  特殊的數(shù)集  1.1  實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)與常用不等式    1.1.1  實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)    1.1.2  一些常用的不等式  1.2  數(shù)列與數(shù)列極限的概念    1.2.1  數(shù)列的定義    1.2.2  數(shù)列極限的定義  1.3  收斂數(shù)列的性質(zhì)    1.3.1  收斂數(shù)列的重要性質(zhì)    1.3.2  無窮小與無窮大數(shù)列  1.4  發(fā)散數(shù)列與子列的概念    1.4.1  發(fā)散數(shù)列    1.4.2  數(shù)列的子列的概念  1.5  確界原理    1.5.1  有界集、上確界和下確界的概念    1.5.2  確界的數(shù)列刻畫    1.5.3  數(shù)集確界的存在性與唯一性  1.6  數(shù)列收斂的判別法    1.6.1  迫斂性定理    1.6.2  單調(diào)有界定理    1.6.3  致密性定理與Cauchy收斂準(zhǔn)則    小結(jié)    復(fù)習(xí)題第2章  函數(shù)與函數(shù)極限  2.0  預(yù)備知識  2.1  映射與函數(shù)的概念    2.1.1  映射的概念    2.1.2  函數(shù)的概念    2.1.3  函數(shù)的四種特性    2.1.4  函數(shù)的基本運(yùn)算    2.1.5  反函數(shù)    2.1.6  初等函數(shù)  2.2  X→∞時函數(shù)極限的概念    2.2.1  引例    2.2.2  x趨于∞時的函數(shù)極限的定義    2.2.3  三種函數(shù)極限的關(guān)系    2.2.4  典型例子  2.3  X→Xo時函數(shù)極限的概念    2.3.1  引例    2.3.2  X趨于Xo時函數(shù)極限的定義    2.3.3  三種函數(shù)極限的關(guān)系    2.3.4  典型例子  2.4  函數(shù)極限的性質(zhì)  2.5  函數(shù)極限存在的判別法    2.5.1  迫斂性定理    2.5.2  歸結(jié)原則——tteine定理    2.5.3  函數(shù)的單調(diào)有界定理    2.5.4  Cauchy準(zhǔn)則  2.6  無窮小量和無窮大量    2.6.1  無窮大量與無窮小量的定義與性質(zhì)    2.6.2  無窮小量的比較  小結(jié)  復(fù)習(xí)題第3章  函數(shù)的連續(xù)性  3.1  連續(xù)函數(shù)的概念    3.1.1  函數(shù)在一點(diǎn)Xo連續(xù)的定義    3.1.2  函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)及區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)    3.1.3  典型例子  3.2  函數(shù)間斷的概念    3.2.1  間斷點(diǎn)的定義及其分類    3.2.2  典型例子  3.3  連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性    3.3.1  局部性質(zhì)    3.3.2  初等函數(shù)的連續(xù)性    3.3.3  應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限  3.4  連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)    3.4.1  有界性定理和最值定理    3.4.2  零點(diǎn)定理與介值定理    3.4.3  一致連續(xù)性定理  小結(jié)  復(fù)習(xí)題第4章  微分與導(dǎo)數(shù)  4.1  微分與導(dǎo)數(shù)的概念    4.1.1  微分的概念    4.1.2  導(dǎo)數(shù)的概念    4.1.3  可微與可導(dǎo)的關(guān)系    4.1.4  可微函數(shù)與可導(dǎo)函數(shù)  4.2  求導(dǎo)方法與導(dǎo)數(shù)公式    4.2.1  用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    4.2.2  導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則    4.2.3  反函數(shù)求導(dǎo)法則    4.2.4 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則  4.3  微分的計算與應(yīng)用    4.3.1  微分的運(yùn)算法則    4.3.2  微分在近似計算中的應(yīng)用  4.4  高階導(dǎo)數(shù)與高階微分    4.4.1  高階導(dǎo)數(shù)    4.4.2  高階微分  4.5  參數(shù)方程所表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    4.5.1  參數(shù)方程與函數(shù)    4.5.2  用參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    4.5.3  用極坐標(biāo)方程表示的曲線的切線    4.5.4  參數(shù)方程所表示的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)    小結(jié)    復(fù)習(xí)題第5章  導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用  5.1  Fermat定理和Darboux定理    5.1.1  極值的定義與Fermat定理    5.1.2  Darboux定理  5.2  中值定理    5.2.1  Rolle中值定理    5.2.2  Lagrange中值定理    5.2.3  Cauchy中值定理  5.3  不定式極限    5.3.1  L’Hospital法則    5.3.2  其他類型的不定式極限  5.4  Taylor公式    5.4.1  帶Peano型余項(xiàng)的Tylor公式    5.4.2  帶Lagrange型余項(xiàng)的Tkylor公式    5.4.3  若干初等函數(shù)的Maclaurin公式    5.4.4  Tkylor公式應(yīng)用舉例  5.5  函數(shù)的單調(diào)性與凸性    5.5.1  函數(shù)的單調(diào)性    5.5.2  函數(shù)的凸性    5.5.3  曲線的拐點(diǎn)    5.5.4  單調(diào)性與凸性的應(yīng)用——證明一些不等式  5.6  函數(shù)的極值與最值    5.6.1  函數(shù)的極值    5.6.2  函數(shù)的最值  5.7  函數(shù)作圖    5.7.1  漸近線    5.7.2  函數(shù)圖形的描繪    小結(jié)    復(fù)習(xí)題第6章  實(shí)數(shù)集的稠密性與完備性  6.1  實(shí)數(shù)集的稠密性    6.1.1  兩個實(shí)數(shù)的大小關(guān)系    6.1.2  實(shí)數(shù)集的稠密性  6.2  實(shí)數(shù)集的完備性    6.2.1  區(qū)間套定理    6.2.2 有限覆蓋定理    6.2.3  聚點(diǎn)定理    6.2.4  實(shí)數(shù)集完備性基本定理的等價性  6.3  上極限和下極限簡介    小結(jié)    復(fù)習(xí)題習(xí)題答案或提示參考文獻(xiàn)附錄索引

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