計算方法

前言

　　隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的飛速發(fā)展，科學計算已成為科學實踐的重要手段之一，其應(yīng)用范圍已滲透到所有科學活動領(lǐng)域。作為科學與工程計算的數(shù)學工具，計算方法已成為各高等院校數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學、信息與計算科學、應(yīng)用物理學、計算機科學等本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課以及工科碩士研究生學位公共必修課?！　”緯容^全面地介紹了現(xiàn)代科學與工程計算中常用的數(shù)值計算方法，對這些數(shù)值計算方法的基本理論與實際應(yīng)用進行了較詳細的分析，同時簡要地分析了這些數(shù)值算法的計算效果、穩(wěn)定性、收斂效果、適用范圍以及優(yōu)劣性與特點。全書共9章，內(nèi)容包括引論、線性代數(shù)方程組求解方法、非線性方程求根、函數(shù)插值、函數(shù)逼近、矩陣特征值與特征向量的數(shù)值算法、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程初值問題的數(shù)值解法、自治微分方程穩(wěn)定區(qū)域的計算等。　　考慮到讀者的知識結(jié)構(gòu)和層次不同，我們在編排本書內(nèi)容時，盡量從涉及高等數(shù)學和線性代數(shù)的相關(guān)內(nèi)容出發(fā)，在對問題進行敘述和分析時，盡量使得語言簡單明了、通俗易懂，做到理論聯(lián)系實際。學習者只要具有高等數(shù)學和線性代數(shù)的基本知識就可以學習本書的內(nèi)容。本書基本概念敘述清晰，理論分析比較嚴謹，在分析問題時注重啟發(fā)性，例題選擇具有針對性，注重實際應(yīng)用效果。通過本書的學習，可給學習者建立一條思考問題的清晰思路。本書取材全面合理，問題處理觀點較新，既對經(jīng)典的數(shù)值方法如線性代數(shù)方程組的消元法及迭代方法、非線性方程（組）的迭代方法、函數(shù)插值和逼近方法、矩陣特征值與特征向量的計算方法、數(shù)值積分與數(shù)值微分等進行了較全面的介紹，同時也增加了一些方法的推廣和最新發(fā)展，包括微分方程波形松弛方法和穩(wěn)定域的計算等內(nèi)容，以適應(yīng)不同學習者的需要。本書各章附有一定數(shù)量的習題，供讀者學習時進行練習，書后附有部分習題的解答或參考答案。　　本書全部講完需要60學時左右，授課老師可根據(jù)學生的情況及實際學時，有選擇地講解部分內(nèi)容。

內(nèi)容概要

　　本書比較全面地介紹了科學與工程計算中常用的計算方法，具體介紹了這些計算方法的基本理論與實際應(yīng)用，同時對這些數(shù)值計算方法的計算效果、穩(wěn)定性、收斂效果、適用范圍以及優(yōu)劣性與特點也作了簡要的分析。全書共9章， 內(nèi)容包括引論、線性代數(shù)方程組求解方法、非線性方程求根、函數(shù)插值、函數(shù)逼近、矩陣特征值與特征向量的數(shù)值算法、數(shù)值積分與數(shù)值微分、 常微分方程初值問題的數(shù)值解法、自治微分方 程穩(wěn)定區(qū)域的計算等?！　”緯拍钋逦?，語言敘述通俗易懂，理論分析嚴謹，結(jié)構(gòu)編排由淺入深，在分析問題時注重啟發(fā)性，例題選擇具有針對性且注重實際應(yīng)用。前8章附有一定數(shù)量的習題，供讀者學習時進行練習?！　”緯勺鳛楦叩仍盒?shù)學與應(yīng)用數(shù)學、信息與計算科學、應(yīng)用物理學、計算機科學等專業(yè)的高年級本科生和工科碩士研究生使用，也可供從事科學與工程計算的科技工作者參考。

書籍目錄

第一章　引論　1.1　計算方法的研究內(nèi)容　1.2　誤差基礎(chǔ)知識　　1.2.1　誤差來源與分類　　1.2.2　絕對誤差和相對誤差　　1.2.3　有效數(shù)字　　1.2.4　數(shù)據(jù)誤差在運算中的傳播　1.3　數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題　　1.3.1　算法的數(shù)值穩(wěn)定性　　1.3.2　避免誤差危害的若干原則　習題1第二章　線性代數(shù)方程組求解方法　2.1　向量與矩陣基本知識　　2.1.1　引言　　2.1.2　向量和矩陣　　2.1.3　特殊矩陣　　2.1.4　向量與矩陣的范數(shù)　2.2　高斯消去法　　2.2.1　高斯順序消去法　　2.2.2　高斯主元消去法　2.3　矩陣的三角分解　　2.3.1　直接三角分解法　　2.3.2　平方根法　　2.3.3　解三對角方程組的追趕法　2.4　矩陣的條件數(shù)與方程組的性態(tài)　2.5　解線性代數(shù)方程組的迭代法　2.6　基本迭代法　　2.6.1　雅克比迭代法（J-駁-代法）　　2.6.2　高斯-踩-德爾迭代法（GS-駁-代法）　　2.6.3　逐次超松弛迭代法（SOR-駁-代法）　2.7　迭代法的收斂性　　2.7.1　一般迭代法的基本收斂定理　　2.7.2　J-駁-代法和GS-駁-代法收斂判定定理　　2.7.3　SOR-駁-代法收斂性判定定理　習題2第三章　非線性方程求根　3.1　二分法　3.2　迭代法　　3.2.1　不動點迭代法　　3.2.2　不動點迭代的一般理論　3.3　加速迭代收斂的方法　　3.3.1　兩個迭代值組合的加速方法　　3.3.2　三個迭代組合的加速方法　3.4　牛頓迭代法　3.5　弦割法與拋物線法　　3.5.1　弦割法　　3.5.2　拋物線法　3.6　非線性方程組零點的迭代方法　　3.6.1　實值向量函數(shù)的基本概念與性質(zhì)　　3.6.2　壓縮映射原理與不動點迭代法　　3.6.3　牛頓迭代法　習題3第四章　函數(shù)插值　4.1　多項式插值問題　　4.1.1　代數(shù)插值問題　　4.1.2　代數(shù)插值多項式的存在性與唯一性　　4.1.3　誤差估計　4.2　拉格朗日插值法　　4.2.1　拉格朗日插值基函數(shù)　　4.2.2　拉格朗日插值多項式　　4.2.3　拉格朗日插值法截斷誤差及其實用估計　　4.2.4　拉格朗日反插值方法　4.3　牛頓插值法　　4.3.1　差商的概念與性質(zhì)　　4.3.2　牛頓插值公式　4.4　等距節(jié)點插值公式　　4.4.1　差分的定義及運算　　4.4.2　差分與差商的關(guān)系　　4.4.3　等距節(jié)點插值公式　4.5　埃爾米（Hermit）插值公式　　4.5.1　一般情形的埃爾米插值問題　　4.5.2　特殊情況的埃爾米插值問題　4.6　分段低次插值　4.7　三次樣條插值方法　　4.7.1　三次樣條插值的基本概念　　4.7.2　三彎矩插值法　　4.7.3　樣條插值函數(shù)的誤差估計　習題4第五章　函數(shù)逼近　5.1　內(nèi)積與正交多項式　　5.1.1　權(quán)函數(shù)　　5.1.2　內(nèi)積定義及性質(zhì)　　5.1.3　正交性　　5.1.4　正交多項式系的性質(zhì)　5.2　常見正交多項式　　5.2.1　勒讓德(Legendre)多項式系　　5.2.2　第一類切比雪夫多項式系　　5.2.3　第二類切比雪夫多項式系　　5.2.4　拉蓋爾(Laguerre)多項式系　　5.2.5　埃爾米(Hermite)多項式系　5.3　最佳一致逼近　　5.3.1　最佳一致逼近概念　　5.3.2　最佳逼近多項式的存在性及唯一性　　5.3.3　最佳逼近多項式的構(gòu)造　5.4　最佳平方逼近　　5.4.1　最佳平方逼近的概念　　5.4.2　最佳平方逼近函數(shù)s*(x)的求法　　5.4.3　正交多項式作基函數(shù)的最佳平方逼近　5.5　曲線擬合與最小二乘法　　5.5.1　最小二乘曲線擬合問題的求解及誤差分析　　5.5.2　多項式擬合的求解過程　　5.5.3　正交函數(shù)系的最小二乘曲線擬合　　5.5.4　用最小二乘法求解超定方程組　習題5第六章　矩陣特征值與特征向量的數(shù)值算法　6.1　預(yù)備知識　6.2　乘冪法　　6.2.1　主特征值與主特征向量的計算　　6.2.2　加速收斂技術(shù)　6.3　反冪法　6.4　雅可比方法　習題6第七章　數(shù)值積分及數(shù)值微分　7.1　數(shù)值積分的基本概念　　7.1.1　數(shù)值求積的基本思想　　7.1.2　插值型求積公式　　7.1.3　代數(shù)精度　　7.1.4　收斂性與穩(wěn)定性　7.2　牛頓—柯特斯求積公式　　7.2.1　牛頓—柯特斯公式　　7.2.2　幾個低階求積公式　7.3　復(fù)化求積方法　　7.3.1　復(fù)化求積公式　　7.3.2　變步長求積公式　7.4　龍貝格求積公式　　7.4.1　龍貝格（Romberg）求積公式的推導(dǎo)　　7.4.2　龍貝格求積算法的計算步驟　7.5　高斯型求積公式　　7.5.1　高斯型求積公式的理論　　7.5.2　幾個常用高斯求積公式　7.6　二重積分的求積公式　7.7　數(shù)值微分　　7.7.1　計算數(shù)值微分的插值法　　7.7.2　計算數(shù)值微分的泰勒展開法　　7.7.3　計算數(shù)值微分的待定系數(shù)法　習題7第八章　常微分方程初值問題的數(shù)值解法　8.1　引言　8.2　歐拉方法及其改進　　8.2.1　歐拉公式　　8.2.2　單步法的局部截斷誤差和階　8.3　龍格—庫塔方法　　8.3.1　龍格—庫塔方法的基本思想　　8.3.2　龍格—庫塔方法的推導(dǎo)　8.4　線性多步法　　8.4.1　線性多步法的基本思想　　8.4.2　線性多步法的構(gòu)造　8.5　算法的穩(wěn)定性及收斂性　　8.5.1　算法的穩(wěn)定性　　8.5.2　算法的收斂性　8.6　一階常微分方程組與高階方程　　8.6.1　一階常微分方程組　　8.6.2　高階微分方程　8.7　解微分方程的波形松弛方法　　8.7.1　微分方程初值問題的波形松弛方法　　8.7.2　微分方程初值問題波形松弛方法的收斂問題　　8.7.3　微分方程邊值問題的波形松弛方法　8.8　微分方程邊值問題的數(shù)值方法　　8.8.1　打靶方法　　8.8.2　有限差分方法　習題8第九章　自治微分方程穩(wěn)定區(qū)域的計算　9.1　自治微分方程的概念　9.2　穩(wěn)定邊界上的平衡點　9.3　穩(wěn)定域邊界的特征　9.4　確定穩(wěn)定域的一個算法　9.5　幾個系統(tǒng)穩(wěn)定域的計算習題參考答案參考文獻　

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