幾何學(xué)概論

內(nèi)容概要

　　《幾何學(xué)概論》是順應(yīng)高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)幾何課程改革和中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的要求編寫而成?！稁缀螌W(xué)概論》分為三個(gè)部分，其中第一部分使學(xué)生了解幾何學(xué)發(fā)展簡史和非歐幾何的幾種經(jīng)典模型；第二部分主要講解歐氏幾何與二次曲線的度量性質(zhì)及分類，仿射坐標(biāo)系、仿射平面與仿射變換，從仿射平面到射影平面，射影坐標(biāo)系、射影平面與射影變換，二次曲線的性質(zhì)與分類，使學(xué)生理解和掌握仿射幾何和射影幾何的基本內(nèi)容；第三部分主要介紹“大學(xué)幾何”對(duì)“中學(xué)幾何”的指導(dǎo)意義以及“大學(xué)幾何”方法在“中學(xué)幾何”中的應(yīng)用，讓讀者通過本部分的學(xué)習(xí)為中學(xué)幾何教學(xué)更好地服務(wù)。　　《幾何學(xué)概論》既可作為高等師范院校本科數(shù)學(xué)教育專業(yè)的幾何教材，也可供在職中學(xué)數(shù)學(xué)教師作為參考讀本。

書籍目錄

第一部分 幾何學(xué)發(fā)展概述第1章 幾何學(xué)發(fā)展簡史1 歐幾里得與《原本》1.1 《原本》產(chǎn)生的歷史背景1.2 《原本》的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容1.3 《原本》的優(yōu)缺點(diǎn)1.4 《原本》對(duì)我國數(shù)學(xué)的影響2 解析幾何的誕生2.1 笛卡兒和費(fèi)馬在創(chuàng)立解析幾何中的貢獻(xiàn)2.1.1 笛卡兒的主要工作2.1.2 費(fèi)馬的主要工作2.2 解析幾何的發(fā)展2.3 解析幾何的重要性3 從透視學(xué)到射影幾何3.1 射影幾何的由來3.2 射影幾何的發(fā)展3.3 平面射影幾何公理體系4 非歐幾何的產(chǎn)生與非歐幾何公理體系4.1 非歐幾何的產(chǎn)生背景4.2 非歐幾何的形成4.3 非歐幾何的發(fā)展與確認(rèn)5 幾何學(xué)的統(tǒng)一與公理化思想5.1 幾何學(xué)的統(tǒng)一5.2 幾種幾何學(xué)的比較5.3 公理化思想方法6 幾何學(xué)的近現(xiàn)代發(fā)展簡介6.1 微分幾何6.2 拓?fù)鋵W(xué)練習(xí)1第2章 非歐幾何的幾種典型模型1 銳角假設(shè)與羅氏幾何1.1 銳角假設(shè)與雙曲幾何1.2 雙曲幾何的代表——羅氏幾何簡介1.3 真理性討論2 鈍角假設(shè)與球面幾何2.1 鈍角假設(shè)與橢圓幾何2.2 橢圓幾何的代表——球面幾何簡介2.2.1 球面上的基本圖形2.2.2 球面三角形3 非歐幾何的實(shí)現(xiàn)模型3.1 克萊因模型3.2 龐加萊模型練習(xí)2第二部分 歐氏幾何、仿射幾何與射影幾何第3章 歐氏幾何與二次曲線的度量性質(zhì)及分類1 直角坐標(biāo)系、歐氏平面、變換群與等距變換1.1 直角坐標(biāo)系與歐氏平面1.2 變換群1.2.1 映射與變換的定義1.2.2 ——維平面上的點(diǎn)變換及其代數(shù)表達(dá)式1.2.3 映射的乘積與逆1.2.4 變換的不動(dòng)元素與不動(dòng)子集1.2.5 變換群的概念1.3 等距變換1.3.1 等距變換的定義和代數(shù)表達(dá)式1.3.2 等距變換的直觀實(shí)現(xiàn)1.3.3 等距變換的性質(zhì)2 二次曲線的度量性質(zhì)2.1 歐氏平面上二次曲線的定義及基本概念2.2 二次曲線與直線的相關(guān)位置2.3 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線2.3.1 二次曲線的漸近方向2.3.2 二次曲線的中心與漸近線2.4 二次曲線的切線2.5 二次曲線的直徑2.5.1 二次曲線的直徑2.5.2 共軛方向與共軛直徑2.6 二次曲線的主直徑與主方向3 利用平面直角坐標(biāo)變換化簡二次曲線的方程與分類3.1 平面直角坐標(biāo)變換3.2 利用平面直角坐標(biāo)變換化簡二次曲線的方程與分類練習(xí)3第4章 仿射坐標(biāo)系、仿射平面與仿射變換1 仿射坐標(biāo)系與仿射平面1.1 平行射影1.2 仿射坐標(biāo)系與仿射平面2 仿射變換的相關(guān)問題2.1 仿射變換的代數(shù)表達(dá)式2.2 關(guān)于仿射變換的確定及其重要定理2.3 仿射平面上直線的幾個(gè)常用結(jié)論2.4 幾種重要的仿射變換2.5 仿射性質(zhì)練習(xí)4第5章 從仿射平面到射影平面1 擴(kuò)大的仿射平面1.1 中心射影和無窮遠(yuǎn)元素1.2 射影直線和射影平面以及它們的性質(zhì)1.3 射影平面的拓?fù)淠Ｐ?.4 圖形的射影性質(zhì)2 齊次仿射坐標(biāo)2.1 點(diǎn)的齊次仿射坐標(biāo)2.2 直線的齊次仿射坐標(biāo)方程2.3 齊次仿射線坐標(biāo)3 德薩格定理與平？對(duì)偶原理3.1 德薩格定理3.2 平面上的對(duì)偶原理4 交比與調(diào)和共軛4.1 點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比,4.2 線束中4條直線的交比練習(xí)5第6章 射影坐標(biāo)系與射影變換1 射影坐標(biāo)系1.1 直線上的射影坐標(biāo)系1.2 平面上的射影坐標(biāo)系2 射影變換2.1 透視對(duì)應(yīng)及其相關(guān)概念2.1.1 點(diǎn)列與線束的透視對(duì)應(yīng)2.1.2 點(diǎn)列與線束的射影對(duì)應(yīng)2.2 射影變換2.2.1 一維攝影變換2.2.2 一維射影變換有一種特殊情況——對(duì)合2.2.3 二維射影變換3 射影對(duì)應(yīng)（變換）的代數(shù)表達(dá)式和帕普斯定理3.1 一維射影對(duì)應(yīng)（變換）的代數(shù)表達(dá)式3.2 二維射影對(duì)應(yīng)（變換）的代數(shù)表達(dá)式3.3 帕普斯定理4 變換群與幾何學(xué)的關(guān)系4.1 平面上的幾個(gè)重要變換群4.2 歐氏幾何與歐氏群4.3 克萊因變換群觀點(diǎn)簡介4.4 射影幾何、仿射幾何和歐氏幾何間的比較練習(xí)6第7章 二次曲線的性質(zhì)與分類1 二次曲線的射影性質(zhì)1.1 二階曲線與二級(jí)曲線的定義1.2 二次曲線的射影定義1.3 二階曲線與二級(jí)曲線的關(guān)系1.4 帕斯卡和布利安桑定理1.5 二次曲線的極點(diǎn)與極線1.6 配極原則與配極對(duì)應(yīng)2 二次曲線的射影分類2.1 二階曲線的奇異點(diǎn)2.2 二次曲線的射影分類3 二次曲線的仿射性質(zhì)3.1 二次曲線與無窮遠(yuǎn)直線的相關(guān)位置3.2 二次曲線的中心3.3 二次曲線的直線與共軛直徑3.4 二次曲線的漸近線4 二次曲線的仿射分類練習(xí)7第三部分 “大學(xué)幾何”與“中學(xué)幾何”第8章 “大學(xué)幾何”對(duì)“中學(xué)幾何”的指導(dǎo)意義1 中學(xué)幾何的研究內(nèi)容及方法1.1 幾何學(xué)的研究對(duì)象及分類1.2 中學(xué)幾何的主要研究內(nèi)容1.3 中學(xué)幾何的基本研究方法2 “大學(xué)幾何”與“中學(xué)幾何”的聯(lián)系3 “大學(xué)幾何”對(duì)“中學(xué)幾何”教學(xué)的指導(dǎo)意義3.1 高等師范院校數(shù)學(xué)教學(xué)改革中幾何課程改革的重要性與必要性3.2 用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待“中學(xué)幾何”練習(xí)8第9章 “大學(xué)幾何”方法在“中學(xué)幾何”中的應(yīng)用1 “向量法”與“坐標(biāo)法”在中學(xué)幾何中的應(yīng)用1.1 用向量法證明共點(diǎn)（或共線）問題1.2 用向量法證明垂直（或平行）問題1.3 有關(guān)夾角或距離問題的例子1.4 有關(guān)面積、體積問題的例子2 仿射及射影幾何方法在中學(xué)幾何中的應(yīng)用2.1 仿射方法在中學(xué)幾何中的應(yīng)用2.2 射影方法在中學(xué)幾何中的應(yīng)用練習(xí)9參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　原子論學(xué)派的德謨克利特用原子法得到的結(jié)論：錐體體積是同底等高柱體的，后來也是《原本》中的重要命題?！　“乩瓐D學(xué)派的思想對(duì)歐幾里得無疑產(chǎn)生過深刻的影響，歐幾里得早年大概就是這個(gè)學(xué)派的成員。柏拉圖非常重視數(shù)學(xué)，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在訓(xùn)練智力方面的作用，而忽視其實(shí)用價(jià)值。他主動(dòng)通過幾何的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維能力，因而幾何能給人以強(qiáng)烈的直觀印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中。這個(gè)學(xué)派的重要人物歐多克斯創(chuàng)立了比例論，用公理法建立理論，使得比例也適用于不可通約量?！对尽返?卷比例論大部分采自歐多克斯的工作。　　柏拉圖的門徒亞里士多德是形式邏輯的奠基者，他的邏輯思想為日后將幾何整理在嚴(yán)密的體系之中創(chuàng)造了必要的條件?！　〉焦?世紀(jì)，希臘幾何學(xué)已經(jīng)積累了大量的知識(shí)，邏輯理論也漸臻成熟，由來已久的公理化思想更是大勢所趨。這時(shí)，形成一個(gè)嚴(yán)密的幾何結(jié)構(gòu)已是“山雨欲來風(fēng)滿樓”了?！　〗ㄖ煕]有創(chuàng)造木石磚瓦，但利用現(xiàn)有的材料來建成大廈也是一項(xiàng)不平凡的創(chuàng)造。公理的選擇，定義的給出，內(nèi)容的編排，方法的運(yùn)用以及命題的嚴(yán)格證明，都需要有高度的智慧并要付出巨大的勞動(dòng)。從事這宏偉工程的并不是個(gè)別的學(xué)者，在歐幾里得之前已有好幾個(gè)數(shù)學(xué)家做過這種綜合整理工作。其中有希波克拉底、勒俄、修迪奧斯等。但經(jīng)得起歷史風(fēng)霜考驗(yàn)的，只有歐幾里得的《原本》。在漫長的歷史歲月里，它歷經(jīng)滄桑而沒有被淘汰，表明它有頑強(qiáng)的生命力。 　　……

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