流形的拓撲學

內(nèi)容概要

　　拓撲學的方法與結(jié)果在各個數(shù)學分支中有著廣泛的應用，因此適當選擇其中的內(nèi)容供各個分支的研究者與教師之用是一個很重要的工作。本書作者以微分流形為中心寫了這本書，涉及拓撲學的廣泛的領域并在分析數(shù)學、幾何學乃至理論物理學中均可得到重要的應用。本書的主要內(nèi)容是：微分流形、示性類理論、表示論大意、Hodge理論、Hirzebruch指標定理、Riemann-Roch定理、Atiyah-Singer指標定理和Gauss-Bonnet定理等。

書籍目錄

第1章 基本定義1.1 定義和例1.2 光滑函數(shù)與光滑映射1.3 字流形和隱函數(shù)定理1.4 技術(shù)性的問題參考文獻第2章 切叢2.1 流形的切叢2.2 內(nèi)在的描述2.3 切空間的幾何意義2.4 球面的切叢參考文獻第3章 矢量叢3.1 定義和例3.2 矢量叢上的運算3.3 叢的正合序列、分裂和一的分裂3.4 法叢3.5 仿緊性與一的分割第4章 流形上的微分學4.1 方向?qū)?shù)和矢量場4.2 矢量場的幾何，積分曲線4.3 括弧運算和Frobenius定理4.4 矢量場的拓撲學4.5 附錄參考文獻第5章 Lie群5.1 Lie群的Lie代數(shù)5.2 局部同構(gòu)，Sophus Lie的基本定理5.3 指數(shù)映射，較深的結(jié)果5.4 Lie群上的Taylor級數(shù)展開市，更多的應用5.5 解析結(jié)構(gòu)和存在性定理5.6 單連通Lie群參考文獻第6章 微分形式6.1 引言6.2 函數(shù)的微分與一次微分形式6.3 外代數(shù)的概述6.4 高次微分形式6.5 其它問題參考文獻第7章 積分7.1 引言7.2 單形7.3 矢量空間中的積分7.4 流形上的積分7.5 應用參考文獻第8章 de Rham 定理8.1 例和概述8.2 奇異同調(diào)和de Rham定理8.3 單純形同調(diào)8.4 de Rham定理的證明8.5 復流形和Dolbeault上同調(diào)，一個簡短的插曲參考文獻第9章 同調(diào)理論9.1 一般的代數(shù)知識9.2 正合性9.3 同倫，單純逼近9.4 切除和Mayer-Vietoris序列9.5 應用9.6 CW復形和進一步的計算參考文獻第10章 上同調(diào)10.1 引言10.2 Pontrjagin對偶性10.3 乘積空間和Kunneth公式10.4 “上”積（Cup Product）與“卡”積（Cup Product）10.5 Thom同構(gòu)定理10.6 Hopf不變量第11章 Poincare對偶性11.1 引言11.2 基本類11.3 Poincare對偶定理11.4 Thom-Pontrjagin構(gòu)造11.5 相交理論第12章 纖維叢通論12.1 引言12.2 具有構(gòu)造群的纖維叢12.3 主叢12.4 構(gòu)造群的改變12.5 萬有叢和分類空間12.6 覆蓋同倫性質(zhì)12.7 雜記參考文獻第13章 示性類13.1 圓群G=S和對合G=Z的示性類13.2 酉群U（n）的示性類（陳類）與正交群O(n)的示性類（Stiefel-Whitney類）13.3 計算13.4 其它的講法13.5 Pontrjagin 類13.6 K-群和陳特征標參考文獻第14章 表示論通論14.1 引言14.2 一般概念14.3 緊群和不變積分14.4 特權(quán)標與權(quán)14.5 極大環(huán)面與E.Cartan定理14.6 實表示14.7 根與Weyl定理14.8 E.Cartan定理14.9 其它評述參考文獻第15章 示性類緒論15.1 Borel-Hirzebruch格式15.2 齊性空間上的計算15.3 H*（BO（n）;Q）和H*(BSO(n);Q)的計算15.4 Pontrjagin數(shù)和配邊不變性參考文獻第16章 Hirzebruch指標定理16.1 流形的指標16.2 配邊環(huán)的構(gòu)造16.3 乘法序列16.4 Milnor的怪球參考文獻第17章 Laplace 方程和Hodge理論17.1 偏微分方程（PDE）概況17.2 調(diào)和函數(shù)17.3 Laplace-Beltrami算子17.4 Hirzebruch指標定理的另一表述17.5 Hodge 定理的證明，總的思路17.6 Hodge 定理的證明，一個特例17.7 Hodge定理的證明，一般情況17.8 澄清，微分幾何概述17.9 復情況第18章 Riemann-Roch定理18.1 亞純函數(shù)18.2 Cech構(gòu)造和層18.3 層的上同調(diào)18.4 Riemann-Roch定理18.5 Riemann-Roch定理的Hirzebruch推廣18.6 其它的評述參考文獻第19章 Atiyah-Singer指標定理19.1 矢量叢上的一般微分算子19.2 橢圓算子的解析指標，Hodge理論19.3 K理論概述19.4 Todd虧數(shù)和拓撲指標19.5 Atiyah-Singer指標定理參考文獻第20章 曲率和相關(guān)問題20.1 曲率20.2 曲面的Gauss-Bonnet定理20.3 曲率和示性類20.4 主從上的聯(lián)絡20.5 Yang-Mills泛函參考文獻

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