高等幾何

前言

　　“高等幾何”是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一。我們編寫的《高等幾何》（第一版），作為這門課程的教材，自從1983年出版以來，被許多兄弟院校所采用，我們表示衷心感謝。　　但是，應(yīng)該承認(rèn)第一版教材從數(shù)學(xué)理論來檢驗(yàn)是有缺陷的。因?yàn)槲覀儾捎玫捏w系是從歐氏空間出發(fā)，然后添加無窮遠(yuǎn)元素，于是得到射影空間的概念。因此，我們第一版教材中介紹的射影幾何不過是建立在歐氏幾何的基礎(chǔ)上的一種特殊的射影幾何模型。從純粹數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，應(yīng)該把敘述的順序倒過來，先給出射影幾何；然后去掉無窮遠(yuǎn)元素得到仿射幾何；最后再引進(jìn)度量得到歐氏幾何。　　高等幾何、高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析統(tǒng)稱“三高”，是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的三門基礎(chǔ)課程。但是，高等幾何與其他兩門課程，在數(shù)學(xué)專業(yè)中的地位就相形見絀了。其原因是多方面的，不過很重要的一個(gè)原因是：這門課程的內(nèi)容，基本上是19世紀(jì)的遺產(chǎn)，太陳舊了，跟不上時(shí)代發(fā)展的要求。因此，多年來我們在高等幾何課的教學(xué)過程中，不斷地在探索這門課程內(nèi)容的改革途徑?！　”窘滩牡谝话嫠捎玫臄⑹龇椒ㄊ墙馕龇?，也就是代數(shù)方法來討論幾何問題。因此，我們改革教材內(nèi)容的主要想法是：把高等幾何內(nèi)容的更新和高等代數(shù)的發(fā)展接軌。這一版的內(nèi)容我們從兩個(gè)方面作了更新：第一，線性代數(shù)是本世紀(jì)高等代數(shù)中發(fā)展得比較成熟的部分，在高等幾何中可以充分使用。因此我們可以直接討論高維的射影幾何和仿射幾何，沒有必要局限于低維；第二，傳統(tǒng)的射影幾何和仿射幾何的內(nèi)容都是在實(shí)數(shù)域上討論的，最多是擴(kuò)充一些復(fù)元素。

內(nèi)容概要

　　《高等幾何》是在《高等幾何》（第一版）（梅向明、劉增賢、林向巖編）的基礎(chǔ)上修訂而成，是對傳統(tǒng)的教材進(jìn)行更新和改革的有益嘗試，在國內(nèi)處于領(lǐng)先水平?！陡叩葞缀巍非?章介紹一維和二維的仿射幾何和射影幾何的基本內(nèi)容，第7、8章在向量空間的基礎(chǔ)上介紹了一般體和域上的高維射影幾何和仿射幾何。第9章介紹了公理化方法，并給出射影幾何和仿射幾何的公理體系。而Hibert的公理體系在附錄里作了介紹?！陡叩葞缀巍房晒└叩葞煼对盒?shù)學(xué)系用作教材。

書籍目錄

第一章 仿射坐標(biāo)與仿射變換§l透視仿射對應(yīng)§2仿射對應(yīng)與仿射變換§3仿射坐標(biāo)3．1 仿射坐標(biāo)系3．2 仿射變換的代數(shù)表示3．3 幾種特殊的仿射變換§4仿射性質(zhì)習(xí)題第二章 射影平面§1射影直線和射影平面1．1 中心射影與無窮遠(yuǎn)元素1．2 射影直線和射影平面1．3 圖形的射影性質(zhì)1．4 德薩格（Desargues）定理習(xí)題§2齊次坐標(biāo)2．1 齊次點(diǎn)坐標(biāo)2．2 齊次線坐標(biāo)習(xí)題二§3對偶原理3．1 對偶圖形3．2 對偶命題與對偶原則3．3 代數(shù)對偶習(xí)題三§4復(fù)元素4．1 二維空間的復(fù)元素4．2 二維共軛復(fù)元素習(xí)題四第三章 射影變換與射影坐標(biāo)§1交比與調(diào)和比1．1 點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比與調(diào)和比1．2 線束中四直線的交比與調(diào)和比1．3 完全四點(diǎn)形與完全四線形的調(diào)和性習(xí)題§2一維射影變換2．1 一維基本形的透視對應(yīng)2．2 一維基本形的射影對應(yīng)2．3 一維射影變換習(xí)題二§3一維射影坐標(biāo)3．1 直線上的射影坐標(biāo)系3．2 一維射影對應(yīng)（變換）的代數(shù)表示習(xí)題三§4二維射影變換與二維射影坐標(biāo)4．1 二維射影變換4．2 二維射影坐標(biāo)4．3 二維射影對應(yīng)的坐標(biāo)表示習(xí)題四第四章 變換群與幾何學(xué)§l變換群1．1 變換群的概念1．2 平面上幾個(gè)重要的變換群§2變換群與幾何學(xué)2．1 克萊因（F．Klein）的變換群觀點(diǎn)2．2 射影、仿射和歐氏三種幾何學(xué)的比較習(xí)題第五章 二次曲線的射影理論§1二次曲線的射影定義1．1 二次曲線的射影定義1．2 二階曲線與二級(jí)曲線的關(guān)系習(xí)題§2Pascal和Briancl30n定理習(xí)題二§3極點(diǎn)與極線，配極原則3．1 極點(diǎn)與極線3．2 配極原則3．3 配極變換習(xí)題三§4二階曲線的射影分類4．1 二階曲線的奇異點(diǎn)4．2 二階曲線的射影分類第六章 二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)§l二次曲線與無窮遠(yuǎn)直線的相關(guān)位置§2二次曲線的仿射性質(zhì)2．1 二次曲線的中心2．2 直徑與共軛直徑2．3 漸近線習(xí)題§3二次曲線的仿射分類習(xí)題二§4二次曲線的度量性質(zhì)4．1 圓點(diǎn)和迷向直線4．2 拉蓋爾（I,aguerre）定理4．3 二次曲線的主軸、焦點(diǎn)和準(zhǔn)線習(xí)題三§5二次曲線的度量分類第七章 一般體（域）上的射影幾何§1群、體和向量空間1．1 群1．2 體和域1．3 向量空間§2射影空間和射影幾何2．1 射影幾何的定義2．2 射影幾何中的結(jié)合關(guān)系2．3 齊次向量2．4 交比和調(diào)和點(diǎn)列§3射影變換和射影坐標(biāo)3．1 射影變換3．2 直射變換3．3 射影坐標(biāo)§4對偶原理4．1 對偶空間4．2 對偶原理4．3 對射變換§5二次曲面的射影理論5．1 雙線性形式5．2 對稱雙線性形式和內(nèi)積空間5．3 對稱雙線性形式的標(biāo)準(zhǔn)型5．4 二階超曲面及其射影分類5．5 配極變換習(xí)題第八章 一般體（域）上的仿射幾何§1仿射空間和仿射幾何§2仿射坐標(biāo)與仿射變換2．1 共線三點(diǎn)的單比2．2 仿射坐標(biāo)2．3 仿射變換§3二次超曲面的仿射理論_習(xí)題第九章 射影幾何與仿射幾何的公理體系§1公理法簡介§2射影幾何的公理體系§3仿射幾何的公理體系附錄實(shí)數(shù)域上的歐氏幾何1歐氏空間和歐氏幾何2笛卡兒坐標(biāo)系和正交變換3有向距離和單比4有心二次曲面的主軸和標(biāo)準(zhǔn)型5三維歐氏幾何的公理體系——Hilbert幾何公理體系

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