沒(méi)有王者之路：幾何原本

內(nèi)容概要

　　《沒(méi)有王者之路：幾何原本》成書(shū)于公元前三百年左右，距離今天兩千三百年，《原本》的作者是亞歷山德拉的歐基里得（Euclid of Alexandria），他的生卒年根據(jù)推測(cè)大概是公元前330～260年，正是馬其頓英主亞歷山大開(kāi)始發(fā)展勢(shì)力，開(kāi)創(chuàng)希臘化文化的初期?！对尽肥且槐緮?shù)學(xué)著作，章節(jié)安排有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，全書(shū)由定義、公設(shè)、設(shè)準(zhǔn)、命題（定理）、證明，以及符號(hào)和圖像所構(gòu)成，全書(shū)共十三卷?！　　对尽菲鋵?shí)是歐基里得將古希臘數(shù)學(xué)集大成的著作，包括了希臘科學(xué)數(shù)學(xué)家：泰利斯、畢達(dá)哥拉斯、希波克拉提斯等人的成果。導(dǎo)讀者翁秉仁教授認(rèn)為《原本》之所以是經(jīng)典，是因?yàn)闅W基里得采用了非常特殊的編纂法，就是推理的方法或邏輯。歐基里得的原創(chuàng)性不是表現(xiàn)四百多個(gè)命題的敘述，因?yàn)樵S多命題在當(dāng)時(shí)是已知的知識(shí)。歐基里得的天才表現(xiàn)在他有精準(zhǔn)深刻的眼光，選擇恰當(dāng)?shù)墓O(shè)，又有驚人的推理能力，可以一步步將這許多命題整合成一個(gè)體系。引用笛卡兒的譬喻，歐基里得不是只找出一條鐵鏈，而是將許多條推理的長(zhǎng)練，編織成一張鐵鏈網(wǎng)，將所有的《原本》命題都固定在五個(gè)牢靠的首環(huán)上，亦即五個(gè)公設(shè)上，包括著名的“平行公設(shè)”。

作者簡(jiǎn)介

　　翁秉仁，1960年生，1991年美國(guó)加州大學(xué)博士。目前為臺(tái)灣大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授，研究興趣為拓樸學(xué)與幾何學(xué)。「數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)站」的負(fù)責(zé)人?！　kibo，藝術(shù)家、設(shè)計(jì)師。曾任實(shí)踐大學(xué)應(yīng)用美術(shù)系講師、國(guó)立臺(tái)灣師范大學(xué)駐校藝術(shù)家，現(xiàn)任臺(tái)北科技大學(xué)互動(dòng)媒體設(shè)計(jì)研究所講師，Akibo Works 負(fù)責(zé)人。曾為臺(tái)灣流行音樂(lè)創(chuàng)作許多令人矚目的經(jīng)典設(shè)計(jì)；同時(shí)他也創(chuàng)作許多機(jī)器人作品，從純藝術(shù)創(chuàng)作擴(kuò)及到商業(yè)品牌、表演藝術(shù)、公共藝術(shù)到等各個(gè)領(lǐng)域。

書(shū)籍目錄

02 他們這么說(shuō)這本書(shū)04 與作者相關(guān)的一些人06 這本書(shū)的事情08 這位作者的事情10 這本書(shū)要你去旅行的地方13 導(dǎo)讀 翁秉仁 63 隱藏在Akibo機(jī)器人幾何世界里的公設(shè)與命題Akibo81 原典選讀 歐幾里得原著116 這本書(shū)的譜系118 延伸的書(shū)、音樂(lè)、影像

章節(jié)摘錄

　　作為“經(jīng)典”的有力證明　　當(dāng)讀者知道這本經(jīng)典竟然是一本初高中程度的數(shù)學(xué)書(shū)時(shí)，也許覺(jué)得很泄氣又疑惑，納悶數(shù)學(xué)書(shū)怎么可以比得上《莊子》、《詩(shī)經(jīng)》或者莎士比亞的大著？在我們的教育里，數(shù)學(xué)或科學(xué)一向被塑造成困難又技術(shù)性的無(wú)聊學(xué)科，對(duì)一般人來(lái)說(shuō)，除了考試之外，根本和我們沒(méi)有什么關(guān)系，讀者如果這樣想其實(shí)并不奇怪。但是，《原本》到現(xiàn)在流傳一千多種版本，除了《圣經(jīng)》之外，這本書(shū)是現(xiàn)存版本最多的書(shū)籍，這表示它有極高的傳抄度與傳播價(jià)值?！妒ソ?jīng)》的重要性廣為人知，但為什么第二名竟然會(huì)是一本數(shù)學(xué)書(shū)呢？《原本》也是年代最久遠(yuǎn)、最成功、影響最深遠(yuǎn)的教科書(shū)──一本教科書(shū)可以跨越時(shí)空、擁有多達(dá)一千多種版本，當(dāng)然有著非常重要的意義在里頭。　　《原本》是西方到二十世紀(jì)之前，知識(shí)分子或是精英教育必讀的經(jīng)典，地位就像中國(guó)人的《四書(shū)》。中世紀(jì)時(shí)，西方大學(xué)有所謂的“四藝”，學(xué)生要學(xué)算術(shù)、幾何、音樂(lè)跟天文，研讀《原本》是當(dāng)時(shí)精英想掌握知識(shí)的基本訓(xùn)練。當(dāng)然這種教育和現(xiàn)代普及教育很不一樣，當(dāng)時(shí)的讀書(shū)人很少。　　讓我再舉一些知名《原本》讀者的話來(lái)佐證。愛(ài)因斯坦無(wú)疑是當(dāng)世最知名的物理學(xué)家，是大家談到“天才”一詞時(shí)的首選。愛(ài)因斯坦這樣說(shuō)過(guò)：　　十二歲剛開(kāi)學(xué)時(shí)，我經(jīng)歷了人生……奇妙的事，一本處理歐氏幾何的小書(shū)，上頭提到三角形的三高交于一點(diǎn)，這件事絕非顯然，但是書(shū)上卻以不容置疑的確定性，證明了這個(gè)命題。那種清澈與確定的感覺(jué)，讓我留下難以形容的印象?！　≡倥e個(gè)例，我拿到這本神圣幾何小書(shū)前，舅舅曾經(jīng)告訴我勾股定理，經(jīng)過(guò)一番奮斗后，我用相似三角形的方法“證明”了這個(gè)定理，任何人第一次經(jīng)歷這種事，都會(huì)覺(jué)得人類(lèi)竟然能夠達(dá)到這樣的確定性與純粹思考，實(shí)在是不可思議?！　∵@兩段話最重要的是后面的結(jié)論，理解《原本》價(jià)值的人都經(jīng)歷過(guò)類(lèi)似的心路歷程，突然意識(shí)到自己憑借著思考，就能在變化復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)世界中，推論出確定的知識(shí)，中間沒(méi)有任何遲疑、曖昧、模棱兩可的余地?！　⊥瑯拥母惺?，也見(jiàn)諸英國(guó)知名的知識(shí)分子羅素。羅素的散文清晰而睿智，是諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)的得主。他和數(shù)學(xué)的關(guān)系不深，但對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)與分析哲學(xué)卓有貢獻(xiàn)，他說(shuō)過(guò)：　　我十一歲開(kāi)始跟哥哥讀歐幾里得，這是我一生中的大事，宛如初戀，我從沒(méi)想到世上有如此甘美的事物?！　∮纱丝芍对尽酚幸环N魔力，讓這兩位智慧超絕的大師在年少時(shí)，就受到莫大的吸引?！　〗酉聛?lái)看看第十六任美國(guó)總統(tǒng)林肯的說(shuō)法：　　最后我對(duì)自己說(shuō)，林肯，如果你始終搞不懂“證明”是什么，就別當(dāng)律師了。所以我放棄春田市的工作，回到父親家，直到我能夠?qū)⑸磉厷W幾里得六卷中的命題都做出來(lái)，我才繼續(xù)回去研究法律?！　×挚鲜锹蓭煶錾?，他當(dāng)時(shí)在春田市剛開(kāi)始當(dāng)助理見(jiàn)習(xí)，受到挫折，因此回家躲起來(lái)練功，直到練完《原本》的前六卷，理解了證明的精義，才有信心繼續(xù)律師的事業(yè)。這是因?yàn)椤对尽返乃伎挤绞胶吐蓭熣撟C的方式一樣，需要嚴(yán)格的推理?！　　稁缀卧尽纷g者徐光啟是農(nóng)家子弟，四十二歲中進(jìn)士，跟利瑪竇學(xué)習(xí)西法，四十四歲開(kāi)始跟利瑪竇合譯《幾何原本》，他是西風(fēng)東漸早期，最能夠鑒賞西方思想的華人之一。底下段落節(jié)自《幾何原本》卷首之《幾何原本雜義》：　　此書(shū)有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得?！　∵@是對(duì)《原本》很高的推崇，表示《原本》的結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容知識(shí)確定，沒(méi)有可以懷疑和更動(dòng)的空間。接著下面這段話很有意思：　　有三至三能：似至晦，實(shí)至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實(shí)至簡(jiǎn)，故能以其簡(jiǎn)簡(jiǎn)他物之至繁；似至難，實(shí)至易，故能以其易易他物之至難。易生于簡(jiǎn)，簡(jiǎn)生于明，綜其妙在明而已?！　W(xué)過(guò)初中數(shù)學(xué)尤其是幾何證明的讀者，對(duì)他這段話必定感到心有戚戚焉。沒(méi)學(xué)懂的，覺(jué)得數(shù)學(xué)真是晦澀、繁雜、困難。但是偏偏那些學(xué)懂的，說(shuō)數(shù)學(xué)其實(shí)很明白、簡(jiǎn)單、容易，而且他們還不是嘴巴上說(shuō)說(shuō)而已，面對(duì)一堆數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，好像真的掌握了什么鑰匙，一通百通。徐光啟顯然也經(jīng)歷過(guò)這樣的震撼，然后他反省出中間的道理：我們之所以覺(jué)得容易，是因?yàn)槠渲械牡览砗?jiǎn)單，而之所以簡(jiǎn)單，則是因?yàn)樵砗苊靼?，是每個(gè)人直覺(jué)就知道的事情?！　⌒旃鈫⑹沁M(jìn)士，對(duì)漢學(xué)傳統(tǒng)中抽象思想的部分有一定的理解，中國(guó)思想中儒道釋都有玄談的一面，像這類(lèi)以至易御至難的文字并不少見(jiàn)，但是漢文化的玄學(xué)，通常以比附類(lèi)推這種“闡釋”型、后見(jiàn)之明思想居多。但是《原本》卻不是玄學(xué)，是真正有用的以簡(jiǎn)馭繁之學(xué)，徐光啟寫(xiě)這段話必定心中頗有感觸，想必是讓他把《原本》這門(mén)西學(xué)引入中國(guó)的原因之一。　　往圣先賢的數(shù)學(xué)知識(shí)　　《原本》有兩個(gè)基本要素。首先，它的內(nèi)容，也就是當(dāng)時(shí)已知的數(shù)學(xué)知識(shí)，部分是兩河流域文明、埃及文明已經(jīng)知道的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)；有些是希臘先賢發(fā)展的數(shù)學(xué)知識(shí)，大部分都不是歐幾里得的個(gè)人創(chuàng)見(jiàn)。　　經(jīng)驗(yàn)知識(shí)是從操作和觀察中所得到的知識(shí)，可能正確，也可能錯(cuò)誤。例如許多文明都知道圓“周三徑一”，也就是圓周長(zhǎng)是半徑的三倍，這是實(shí)用的錯(cuò)誤知識(shí)。又例如許多文明知道3、4、5構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)，這是實(shí)用的正確知識(shí)。重點(diǎn)是，他們?cè)瓉?lái)并不知道這些知識(shí)到底是對(duì)還是錯(cuò)。人類(lèi)的素樸數(shù)學(xué)知識(shí)，很像小學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探索　　方式。譬如說(shuō)我要看三角形內(nèi)角和是不是180度，可去剪幾個(gè)三角形量量看，這樣的結(jié)果當(dāng)然不可靠，因?yàn)楣饪繙y(cè)量結(jié)果所歸納的知識(shí)，可能只是近似的對(duì)，通常也只是孤立的知識(shí)。他們多半不知道手邊的知識(shí)，彼此之間是不是有關(guān)聯(lián)?！　”热绻庵?、4、5構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)，和確定知道任意直角三角形，兩短邊的平方加起來(lái)是最長(zhǎng)邊（斜邊）的平方（也就是勾股定理），這兩者的知識(shí)層級(jí)相去甚遠(yuǎn)。來(lái)自早期文明的素樸數(shù)學(xué)知識(shí)通常只是經(jīng)驗(yàn)有用的法則。　　不過(guò)《原本》的內(nèi)容倒不全是素樸知識(shí)，其中也有比較成熟的數(shù)學(xué)知識(shí)。歐幾里得并不是古希臘的第一個(gè)數(shù)學(xué)家，上文提過(guò)在他以前的很多先驅(qū)者，均是天文、數(shù)學(xué)或哲學(xué)上的大家。泰利斯經(jīng)常被稱(chēng)為“西方科學(xué)之父”，因?yàn)樗堑谝粋€(gè)用理性方式思考宇宙原理的人；畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立了畢氏學(xué)派，他有非常完整的數(shù)學(xué)哲學(xué)，認(rèn)為宇宙萬(wàn)物都是數(shù)，因此一定有辦法用數(shù)的學(xué)問(wèn)來(lái)理解這個(gè)宇宙。勾股定理一般認(rèn)為是畢達(dá)哥拉斯或畢氏學(xué)派的杰作，這表示他們至少能局部上證明數(shù)學(xué)定理。尤多瑟士的“窮盡法”是極限概念的先聲，他和后來(lái)的希累提特斯打造了無(wú)理數(shù)的理論，發(fā)展“不可公度量”的概念。這些都收錄在《原本》中?！　∈聦?shí)上，到了柏拉圖時(shí)代，希臘文化已經(jīng)十分尊崇幾何學(xué)。柏拉圖在雅典開(kāi)創(chuàng)的雅典學(xué)院，提供知識(shí)分子學(xué)術(shù)思辨與教育傳承的場(chǎng)所，號(hào)稱(chēng)史上第一所大學(xué)。據(jù)說(shuō)在學(xué)院入口的大門(mén)上刻著“不識(shí)幾何學(xué)不能入此學(xué)院”的教箴。柏拉圖甚至還說(shuō)過(guò)“上帝以幾何造世”（God ever geometrize）的名言。因此，身為雅典學(xué)院的傳人，歐幾里得在撰寫(xiě)《原本》時(shí)，面前已經(jīng)有許多已知的數(shù)學(xué)知識(shí)，因?yàn)橄闰?qū)者已經(jīng)提煉出許多經(jīng)過(guò)思考、成熟度不一的材料。他所面臨的問(wèn)題，是如何編纂這些數(shù)學(xué)知識(shí)。如果他只是將這些知識(shí)羅列起來(lái)，按照人名或領(lǐng)域來(lái)分門(mén)別類(lèi)或排序的話，那么《原本》就根本稱(chēng)不上偉大。《原本》之所以是經(jīng)典，就是因?yàn)闅W幾里得采用了非常特殊的編纂法，這就直接牽涉到《原本》背景的第二個(gè)基本要素。　　掌握邏輯推理的鑰匙《原本》的第二個(gè)要素，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是推理的方法或邏輯。柏拉圖時(shí)代的雅典社會(huì)，是基于奴隸制的民主城邦社會(huì)。雅典人喜歡議論或辯論，也讓他們從經(jīng)驗(yàn)里慢慢發(fā)展出嚴(yán)格的推理邏輯。希臘哲學(xué)家蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德號(hào)稱(chēng)“希臘三哲”，他們的思想是西方思想的源頭。我們從柏拉圖著作中所記載的蘇格拉底言論，還有柏拉圖、亞里士多德的著作中，知道希臘人掌握了這樣的思考方法?！　∷伎纪评淼姆椒撎ビ谌祟?lèi)的言語(yǔ)方式。只是希臘哲學(xué)家，從里面整理出推理的規(guī)則。比如柏拉圖非常重視敘述的真假、有效的推理、運(yùn)用定義的方法，而他的學(xué)生亞里士多德，更完成了第一個(gè)邏輯推理體系。推理方法是歐幾里得編纂《原本》的重要基礎(chǔ)。　　所謂推理方法，就是思考時(shí)，能夠從前面的敘述推出后面結(jié)論的正確方法。希臘哲學(xué)家看出一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：當(dāng)我們思考時(shí)，必須嚴(yán)格遵守推理的形式，不然思考就有陷入錯(cuò)誤的危險(xiǎn)；至于思考過(guò)程的正確與否，并不能依靠結(jié)論的真假來(lái)判斷。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，假設(shè)“所有動(dòng)物都會(huì)死亡”，那么因?yàn)椤叭耸莿?dòng)物”，所以你可以推論出“人會(huì)死亡”的結(jié)果，這是一個(gè)正確的推論形式。我們現(xiàn)在套用這個(gè)形式，假設(shè)“所有動(dòng)物都是卵生”，都要產(chǎn)卵孵育下一代，那因?yàn)椤叭耸莿?dòng)物”，所以“人是卵生”的。請(qǐng)注意，這個(gè)推論是正確的，因?yàn)樗袷亓苏_的推理形式。當(dāng)然，人是卵生動(dòng)物是荒謬的，但這并不表示推理過(guò)程的形式有誤，而是一開(kāi)頭的前提“所有動(dòng)物都是卵生”是錯(cuò)的。　　再舉一個(gè)反面的例子。假設(shè)“所有動(dòng)物都會(huì)死亡”，那么因?yàn)椤叭藭?huì)死亡”，所以“人是動(dòng)物”。這看起來(lái)好像很正確，因?yàn)榻Y(jié)論是對(duì)的，但即使上面三個(gè)敘述都是對(duì)的，其實(shí)這段推理仍然是錯(cuò)謬的。為什么呢？只要舉出一個(gè)反例就可以證明了。例如“蘭花也會(huì)死亡”，按照上面的“推理”方式，就應(yīng)該推論出“蘭花是動(dòng)物”，這當(dāng)然是荒謬的。我們從正確的前提，卻“推論”出錯(cuò)誤的結(jié)論，這表示這種推理形式是錯(cuò)誤的。所以，推論的重點(diǎn)在于形式，并不是其中牽涉到的敘述都對(duì)，推論就一定正確　　……

編輯推薦

　　《沒(méi)有王者之路：幾何原本》羅素曾經(jīng)這樣形容某本書(shū)給他的讀后感：“宛如初戀，我從沒(méi)想到世上有如此甘美的事物。”他說(shuō)的不是愛(ài)情小說(shuō)，而是由謎一般的歐幾里得所寫(xiě)的《原本》。理解《原本》價(jià)值的人，都經(jīng)歷過(guò)類(lèi)似的心路歷程：突然意識(shí)到自己憑借著思考，就能在變化復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)世界中，推論出確定的知識(shí)，中間沒(méi)有任何遲疑、曖昧、模棱兩可的余地。這就是《原本》的魔力。

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