流形拓撲學

前言

對于數(shù)學研究與培養(yǎng)青年數(shù)學人才而言，書籍與期刊起著特殊重要的作用。許多成就卓越的數(shù)學家在青年時代都曾鉆研或參考過一些優(yōu)秀書籍，從中汲取營養(yǎng)，獲得教益。20世紀70年代后期，我國的數(shù)學研究與數(shù)學書刊的出版由于文化大革命的浩劫已經破壞與中斷了10余年，而在這期間國際上數(shù)學研究卻在迅猛地發(fā)展著。1978年以后，我國青年學子重新獲得了學習、鉆研與深造的機會。當時他們的參考書籍大多還是50年代甚至更早期的著述。據(jù)此，科學出版社陸續(xù)推出了多套數(shù)學叢書，其中《純粹數(shù)學與應用數(shù)學專著》叢書與《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》更為突出，前者出版約40卷，后者則逾80卷。它們質量甚高，影響頗大，對我國數(shù)學研究、交流與人才培養(yǎng)發(fā)揮了顯著效用。《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》的宗旨是面向大學數(shù)學專業(yè)的高年級學生、研究生以及青年學者，針對一些重要的數(shù)學領域與研究方向，作較系統(tǒng)的介紹。既注意該領域的基礎知識，又反映其新發(fā)展，力求深入淺出，簡明扼要，注重創(chuàng)新。近年來，數(shù)學在各門科學、高新技術、經濟、管理等方面取得了更加廣泛與深入的應用，還形成了一些交叉學科。我們希望這套叢書的內容由基礎數(shù)學拓展到應用數(shù)學、計算數(shù)學以及數(shù)學交叉學科的各個領域。這套叢書得到了許多數(shù)學家長期的大力支持，編輯人員也為其付出了艱辛的勞動。它獲得了廣大讀者的喜愛。我們誠摯地希望大家更加關心與支持它的發(fā)展，使它越辦越好，為我國數(shù)學研究與教育水平的進一步提高做出貢獻。

內容概要

本書是一部關于流形的拓撲學專著，較全面和系統(tǒng)地介紹了拓撲學大多數(shù)重要領域中的理論與方法。內容涉及微分拓撲、同調論、同倫論、微分形式與譜序列、不動點理論、Morse理論，以及向量叢的示性類理論。同時，書中也介紹了作者新發(fā)展的流形共軛結構理論，主要結果包括共軛對稱性定理，上、下同調群的幾何化定理，最小共軛元球面定理。在這些定理基礎上，同調論和同倫論中許多重要定理與結果，如Poincare對偶，Lefschetz對偶，Kunneth公式，上、下同調群，以及Hurewicz定理等的實質及直觀意義變得更清楚了。    本書適合于數(shù)學、理論物理等相關專業(yè)的高年級大學生、研究生、教師及研究人員學習和參考。

書籍目錄

《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》序前言第1章  微分流形  1.1  基本概念    1.1.1  流形的概念    1.1.2  物理背景的流形    1.1.3  坐標系與微分結構    1.1.4  切空間與切映射    1.1.5  流形的定向    1.1.6  數(shù)學中的一些重要流形  1.2  流形的嵌入    1.2.1  反函數(shù)與隱函數(shù)定理    1.2.2  子流形的浸入與嵌入    1.2.3  到RN中的嵌入    1.2.4  Whitney嵌入定理  1.3  Frobenius定理    1.3.1  流形上的向量場與流    1.3.2  向量場的Poisson括號積    1.3.3  Frobenius定理    1.3.4  兩種等價的定理形式  1.4  正則值與橫截性    1.4.1  Sard定理    1.4.2  橫截性    1.4.3  Thom橫截性定理  1.5  向量叢與管形鄰域    1.5.1  向量叢    1.5.2  平凡叢的判別    1.5.3  向量叢的運算    1.5.4  萬有向量叢    1.5.5  管形鄰域定理  1.6  纖維叢    1.6.1  纖維叢的概念    1.6.2  球面的Hopf纖維化    1.6.3  主叢與萬有叢第2章  同調理論  2.1  同調群    2.1.1  同調群的實質    2.1.2  可剖分空間的單純復形    2.1.3  單純同調群    2.1.4  單純同調群的拓撲不變性    2.1.5  Euler示性數(shù)及Euler-Poincare公式    2.1.6  奇異同調群    2.1.7  單純同調群與奇異同調群的同構  2.2  流形的共軛結構與同調幾何化定理    2.2.1  流形的共軛元    2.2.2  正則流形    2.2.3  共軛元分類與同調類的幾何化    2.2.4  Kunneth公式與Leray-Hirsch定理    2.2.5  萬有系數(shù)定理    2.2.6  一些流形的同調群  2.3  上同調論    2.3.1  上同調的實質    2.3.2  上同調群    2.3.3  上同調幾何化定理的證明    2.3.4  同調環(huán)的結構  2.4  正合同調序列    2.4.1  相對同調群與切除定理    2.4.2  相關代數(shù)理論    2.4.3  同調序列    2.4.4  Mayer-Vietoris序列    2.4.5  正合序列的應用  2.5  流形的對稱性    2.5.1  引言    2.5.2  共軛結構的對稱性定理    2.5.3  Poincare對偶    2.5.4  帶邊流形的共軛結構及其對稱性    2.5.5  Lefschetz對偶    2.5.6  Alexander對偶定理第3章  譜序列及微分形式  3.1  過濾復形的譜序列    3.1.1  引言    3.1.2  Massey正合偶與譜序列的構造    3.1.3  雙復形及其譜序列  3.2  微分形式與de Rham復形    3.2.1  Rn中的微分形式    3.2.2  流形上的de Rham復形    3.2.3  微分形式的積分    3.2.4  Stokes公式    3.2.5  Poincare引理    3.2.6  關于de Rham上同調的注記  3.3  Cech-de Rham復形及譜序列的應用    3.3.1  背景介紹    3.3.2  層的概念    3.3.3  eech上同調    3.3.4  Cech-deRham復形    3.3.5  de Rham定理    3.3.6  de Rham上同調的幾何表示  3.4  微分形式的Hodge分解定理    3.4.1  介紹    3.4.2  Hodeg*算子    3.4.3  流形上的張量場    3.4.4  Riemann流形    3.4.5  Laplace-Beltrami算子    3.4.6  Hodge定理第4章  同倫論  4.1  同倫群    4.1.1  基本概念    4.1.2  一些基本性質    4.1.3  相對同倫群    4.1.4  同倫群的幾何表示    4.1.5  正合同倫序列    4.1.6  直和分解公式    4.1.7  一些流形的同倫群  4.2  一些重要性質    4.2.1  共軛元的球面定理    4.2.2  πn(Sn)的計算與Hopf同倫分類    4.2.3  Hurewicz定理    4.2.4  基本群的性質    4.2.5  Whitehead乘積    4.2.6  三聯(lián)組同倫群    4.2.7  道路空間ΩX(A，B)上的同倫群  4.3  障礙理論    4.3.1  映射的延拓問題    4.3.2  n單式空間    4.3.3  映射的障礙類    4.3.4  同倫延拓定理    4.3.5  (n-1)連通空間的同倫分類  4.4  纖維叢上的譜序列及其應用    4.4.1  Leray譜序列定理    4.4.2  奇異鏈的雙復形    4.4.3  一些應用    4.4.4  Gysin序列與王憲鐘序列    4.4.5  Hurewicz定理譜序列的證明  4.5  球面同倫群的計算    4.5.1  Eilenber-MacLane空間    4.5.2  Postnicov纖維化序列與π4(S3)的計算    4.5.3  Whitehead纖維化與π5(S3)的計算    4.5.4  球面同倫群的Serre定理    4.5.5  Freudenthal同緯像定理    4.5.6  部分πn+k(Sn)的結果第5章  奇點理論與指標公式  5.1  不動點及其指數(shù)    5.1.1  Brouwel不動點定理    5.1.2  Lefschetz數(shù)    5.1.3  映射的Brouwer拓撲度    5.1.4  流形上不動點指數(shù)  5.2  奇點的指標公式    5.2.1  Lefschetz不動點指數(shù)公式    5.2.2  緊流形上向量場的：Poincare-Hopf指標定理    5.2.3  向量場邊界奇點的指標    5.2.4  帶邊流形的向量場指標公式  5.3  不動點類理論    5.3.1  一般介紹    5.3.2  流形上的不動點類及Nielsen數(shù)    5.3.3  S1上映射的提升類    5.3.4  映射的提升類與Reidemeister數(shù)    5.3.5  姜伯駒群與Nielsen數(shù)的計算公式  5.4  Morse理論(I)    5.4.1  基本概念    5.4.2  Morse理論的基本定理    5.4.3  流形的Cw復形倫型    5.4.4  Morse不等式    5.4.5  最少臨界點數(shù)與流形分解    5.4.6  h配邊定理與n≥5的：Poincare猜想  5.5  Morse理論(II)    5.5.1  能量泛函及其臨界點的Morse指標    5.5.2  Riemann流形上的測地線    5.5.3  能量泛函的二次變分與Jacobi場    5.5.4  指標定理    5.5.5  ΩM的CW復型結構    5.5.6  Bott周期定理第6章  示性類  6.1  基本概念與框架    6.1.1  向量叢的示性類    6.1.2  Grassmann流形與示性類的關系    6.1.3  Thom同構定理    6.1.4  可定向Rm叢的Euler類  6.2  Stiefel-Whitney類    6.2.1  實向量叢上Z2系數(shù)示性類的構造    6.2.2  Stiefel-Whitney數(shù)與流形的配邊    6.2.3  Z2示性類的基本性質    6.2.4  流形M×M的對角上同調類    6.2.5  切叢上Stiefel-Whitney類的吳文俊公式    6.2.6  吳文俊公式的應用  6.3  陳省身示性類    6.3.1  Chern類的構造    6.3.2  Chern數(shù)與Euler示性數(shù)    6.3.3  復Grassmann流形的上同調環(huán)    6.3.4  一些Chern類的計算  6.4  Pontrjagin類    6.4.1  Rn叢的實系數(shù)示性類    6.4.2  Pontjagin數(shù)與可定向配邊環(huán)    6.4.3  Thom配邊理論    6.4.4  Hirzebruch符號定理    6.4.5  Hirzebruch-Riemann-Roch定理參考文獻《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》已出版書目

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