數(shù)學(xué)與頭腦相遇的地方

前言

　　有人情味的果實　　──柯爾　　無論什麼理由，在最基礎(chǔ)處，大自然寧愛美?！　　锢韺W(xué)者格羅斯（David Gross），加州大學(xué)聖巴巴拉分校理論物理學(xué)院院長　　數(shù)學(xué)似乎有一種令人驚異的能力，可以告訴我們東西是如何運轉(zhuǎn)的，為什麼事物是按它們現(xiàn)有的形態(tài)存在的，及宇宙能告訴我們些什麼（只要我們願意去學(xué)習(xí)及聆聽）。令人驚奇的是，這個本領(lǐng)來自一種似乎很抽象、客觀而無人情味的人類活動。　　可是，我們看待自己的方式，與我們所知的、或自認(rèn)為已知的大自然客觀樣貌之間，有非常密切的關(guān)係。數(shù)學(xué)非但告訴我們重力的運用（因而可以建造出更好的橋樑），也告訴了我們一些普遍性的真理，這些真理影響了我們?nèi)绾嗡伎技案惺埽梢杂脕碓斐龈玫纳鐣?。物理學(xué)家法蘭克．歐本海默[1]喜歡把這些看成科學(xué)中有「人情味」的果實。　　誠然，數(shù)學(xué)可以應(yīng)用在我們從學(xué)校學(xué)來的東西：造橋樑、結(jié)算支票本，及計算贏樂透獎的機率。可是它也可以闡明心中的迷惑，非但是科學(xué)家午夜冥思時的迷惑，還包括了藝術(shù)家及詩人、學(xué)校教師、心理學(xué)家、情侶、及為人父母者的迷惑︰我們怎樣能在大自然中尋出一個意義出來，包括人的本性？真理的本質(zhì)是什麼？　　人類從上帝及方程式中尋求這些答案（有時在二者中同時尋找），譬如透過寫劇本及研究螞蟻來尋找。奇怪的是，這些能協(xié)助闡明「光是一種上下起伏的電磁場」的思考渠道，同樣也能搜尋多種社會問題的成因。在審判辛普森[2]時，也用到了用來證明頂夸克（top quark，最基本的粒子之一）存在的同一步驟（請見第十三章）?！　∵@是一種使人興奮飄然的意識︰數(shù)學(xué)這看上去似乎枯燥無味的東西，與我們做為社會基礎(chǔ)的深奧哲學(xué)理念之間，居然有這麼緊密的關(guān)聯(lián)。藉由學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，我們可以把每件事物掌握得更好——從晦澀難解的物理問題，到如何在離婚案中定出公平的財產(chǎn)分配?！　∵@就是在本書中，我嘗試把數(shù)學(xué)理念與解決看似不相關(guān)的問題連接起來的原因——從火星上的外星生命到「學(xué)院炸彈案」之謎[3]。這是一種嘗試，去示範(fàn)數(shù)學(xué)如何能告訴人們哪些是真正該去思索及擔(dān)心的問題。如果我在本書中能完成一件事的話，那就是指出了，對生活品質(zhì)的興趣不會因為量化的論證而有所減。質(zhì)與量是不可分的。科學(xué)家及數(shù)學(xué)家，聖徙及哲學(xué)家，都在搜索「存在」的最基本問題，即怎麼樣和為什麼。雖然他們對於證明和證據(jù)都有不同的標(biāo)準(zhǔn)，可是量的洞察真的能幫我們?nèi)ゲt解質(zhì)方面的問題?！　‘?dāng)然，數(shù)學(xué)工具不能替代藝術(shù)家、演員、經(jīng)濟學(xué)家、心理學(xué)家、歷史學(xué)家、作家、宗教領(lǐng)袖的洞察，可是這些工具可以供應(yīng)急需的新透視。　　數(shù)學(xué)不是專管數(shù)字的工作　　這本書的結(jié)構(gòu)分成五個不等長短的部分。在第一章〈數(shù)學(xué)和事物到底有什麼關(guān)連？〉中，我表達(dá)出這個理念，即在許多方面數(shù)學(xué)不是專管數(shù)字的工作；它是一種思考的方法，一種擬出問題的方法，可以讓我們把事件的內(nèi)臟翻出，把藏在底下的翻上，因而可以得到對事物的真實本質(zhì)的意識。當(dāng)然數(shù)學(xué)家都知道這一點，可是大多數(shù)對這門科學(xué)不熟悉的門外漢都不知道。這一章要瀏覽一些不在冀望之中的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，從每日的頭條新聞到「金律」[4]。　　第一部〈心靈與數(shù)學(xué)相會的地方〉示範(fàn)了一些理由，說明為什麼我們需要數(shù)學(xué)來幫助從紛亂中篩出真相。第一點是，數(shù)字自己不會說話，因為我們的頭腦擋了路。對每一個人來說，某些關(guān)係應(yīng)當(dāng)是很明顯的，可是就是不能穿透生理和經(jīng)驗所擱下的、把智識和真理隔開的面紗。真的，這些心思過濾器使人的頭腦難以（或使其不可能）看到事物的真相，無論這真相是什麼。這些過濾器都是人類生理及心理上所需有的，因此不必去想如何「醫(yī)治」它們。可是，能知道它們在哪裡就可以幫上不少忙了，就如協(xié)助你開車一樣，如果知道你的車要向左偏去，就可以把方向盤向右扭，以資補償?！　〉诙俊磳ξ镔|(zhì)世界的解釋〉，我要探索及澄清一些因物質(zhì)實境投入視野而產(chǎn)生的障礙（我並不是說，能把我們頭腦中的那些混亂狀態(tài)，與凌亂的現(xiàn)實完全分開）。被不停的干涉及不斷改變場合混淆的訊號，在我們目視之下熔入「量」中的「質(zhì)」或熔入「質(zhì)」中的「量」，複雜到不可能解開的亂麻網(wǎng)絡(luò)，觀測的不可捉摸性，以及作預(yù)測的風(fēng)險性——這些都使得欲從資訊中得到一些見識的技藝，變成一種挑戰(zhàn)，即使對最熟練的數(shù)學(xué)家亦然?！　〉谌俊磳ι鐣澜绲慕忉尅狄o讀者一些「數(shù)學(xué)如何能闡明世人的某些問題」的滋味，如公平。例如，一門叫做「賽局理論」的數(shù)學(xué)建議道：遵守「金律」非但是道德性的行為準(zhǔn)繩，也是能得到好結(jié)果的有效策略?！　〉谒牟俊⒁彩亲铋L的一部〈真理的數(shù)學(xué)原理〉是本書宗旨的核心，描寫的是數(shù)學(xué)家能經(jīng)常顯露出的一些驚人的基礎(chǔ)關(guān)係——因和果之間的關(guān)係，例如，證據(jù)及證明，真理和美。最有趣及最刺激的部分（即高潮，至少對作者來說是如此），是一位姓諾塞（Emmy Noether）的年輕數(shù)學(xué)家如何想出一個能使愛因斯坦的廣義相對論成立的方法；她展示出對稱性與基本的、不變的自然律之間的連鎖關(guān)係。換句話說，這個能使雪花美觀的性質(zhì)，也彰顯了控制整個宇宙的定律。美與真理是同一枚硬幣的兩面。　　【注釋】　　[1]原注：法蘭克．歐本海默（Frank Oppenheimer）是舊金山探險博物館（Exploratorium）的創(chuàng)辦人。他是「原子彈之父」羅伯．歐本海默（J. Robert Oppenheimer, 1904-1967）之弟。麥卡錫（Joe McCarthy）時代，法蘭克由於和平主義的論調(diào)，也被列入黑名單，遭排斥於物理學(xué)界之外。（譯注︰麥卡錫是一九五○年代的美國參議員，信口開河，不論青紅皂白把許多人戴上紅帽子。有一度被人認(rèn)為是反共先鋒，後來其把戲被拆穿，名譽掃地。可是已經(jīng)有許多被害者，包括歐本海默兄弟。最後參議院投票表決，公開斥責(zé)麥卡錫的行為，認(rèn)為有辱參議員的身分。）　　[2]譯注：辛普森（O. J. Simpson），著名美式足球健將，在洛杉磯以殺妻罪被提起公訴，可是因為警方無能，把證據(jù)搞糟而被陪審員判無罪?！　3]譯注：美國自一九七九年以來，有一位不知名的人把炸彈郵寄到不同學(xué)院中的不相關(guān)的人去，炸死及炸傷二十餘人。警方把這案稱為「大學(xué)炸彈者」（university bomber，簡稱為 unabomber）。後來大學(xué)炸彈者在報上發(fā)表反對科技的「宣言」，被他的兄弟認(rèn)出，因而在蒙大拿州一處偏僻地方被找到，當(dāng)時他正隱居於一間自己搭的小屋中。大學(xué)炸彈者名為 Kazynski，為一天才，哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)博士，曾在加州大學(xué)柏克萊分校擔(dān)任助理教授。性格乖僻，教學(xué)不久後辭職，就此到被捕前皆不知去向。他認(rèn)為科技是罪惡之本，因而專向?qū)W院及科技相關(guān)人士寄匿名包裹炸彈。現(xiàn)被判終身隔離監(jiān)禁，不得保釋?！　4]譯注：「金律」（golden rule）源出基督教聖經(jīng)《新約》馬太福音７：12及路加福音６：31「你們願意人怎樣待你們，你們也要怎樣待人」，和孔子的哲學(xué)類似，可是倒過來說。孔子說「己所不欲，勿施於人」，而這金律說的是「己所欲，施於人」或「推己及人」。　　

內(nèi)容概要

　　經(jīng)濟學(xué)家說，金錢的數(shù)目愈大，花在討論怎樣去使用的時間愈少。為什麼人的腦袋瓜，對愈大的數(shù)字愈不敏感？　　科學(xué)家能預(yù)測哪一天哪個地方可看到日食，為什麼沒法預(yù)測哪一天哪個地方會發(fā)生地震？　　統(tǒng)計學(xué)家說，35歲以上受過大學(xué)教育的未婚女性，想找到如意郎君的機率，比遭恐怖份子刺殺的機會還小。真是這樣嗎？　　社會學(xué)家說，奇蹟發(fā)生了：紐約市的犯罪率原本是全世界最高，前幾年突然急劇下降。這是警方威力掃蕩的結(jié)果，還是歹徒集體良心發(fā)現(xiàn)？　　政治學(xué)家說，最高票當(dāng)選制是最壞的選舉制度，因為它能使一位不見得是最棒的候選人當(dāng)選。那麼還有更好的票選方式嗎？　　外交家說，誠意合作，以德報德，以直報怨，是最成功的外交手腕。這是老掉牙的口號教條吧？　　小朋友問：生日蛋糕該怎麼切，才能讓大家都?xì)g喜，大家都覺得公平？　　這些問題都可以藉由數(shù)學(xué)來解答。數(shù)學(xué)並不是不食人間煙火的學(xué)問，在「數(shù)學(xué)與頭腦相遇的地方」，會讓你的腦筋急轉(zhuǎn)彎，　　想清楚、瞧明白許許多多發(fā)生在生活周遭，以前只能霧裡看花的事物。

作者簡介

　　柯爾〈K. C. Cole〉 　　美國南加州大學(xué)安納堡傳播學(xué)院教授，《洛杉磯時報》科學(xué)專欄作家（1994年迄今），經(jīng)常在《紐約客》、《紐約時報》、《新聞週刊》、《華盛頓郵報》、《哥倫比亞新聞評論》等媒體發(fā)表文章?！　?995年、2004年、2005年三度獲得「美國最佳科學(xué)寫作獎」，2002年獲得「美國最佳科學(xué)與自然寫作獎」。由於頻頻獲獎，而有「科學(xué)寫作界之達(dá)文西」的封號。著有《數(shù)學(xué)與頭腦相遇的地方》（The Universe and the Teacup）、《物理與頭腦相遇的地方》（First You Build a Cloud）等書?？聽柵砍砷L於巴西首都里約熱內(nèi)盧、美國紐約州，曾在東歐待過數(shù)年，早年的寫作焦點在政治評論與女性議題。1980年代，與舊金山探險博物館（Exploratorium）創(chuàng)辦人法蘭克．歐本海默（Frank Oppenheimer）成為知交後，開始對科學(xué)產(chǎn)生濃厚興趣，從此鑽研科學(xué)，筆耕不輟。育有一女一子，目前定居在加州聖摩尼卡。

書籍目錄

導(dǎo) 讀 數(shù)學(xué)和人生問題及哲學(xué) 丘宏義——數(shù)學(xué)不再是象牙塔中供奉的偶像；數(shù)學(xué)已經(jīng)走到人間的塵世中。 前 言 有人情味的果實——數(shù)學(xué)不是專管數(shù)字的工作；它是一種思考的方法，一種擬出問題的方法。 第一章 數(shù)學(xué)和事物到底有什麼關(guān)連？——相對論已經(jīng)給了我們答案：我們只能觀測到關(guān)係。而量子理論給了另一個回答：我們只能觀測到機率。 第一部 心靈與數(shù)學(xué)相會的地方 第二章 指數(shù)式放大——以年息百分之七的複利增值，你的錢在十年後加一倍。 第三章 預(yù)估風(fēng)險——三十五歲以上、受過大學(xué)教育的未婚女性，想找到夫君的機遇比遭恐怖份子刺殺的機會還要小？ 第二部 對物質(zhì)世界的解釋 第四章 量度男人、女人、及事物——把一幅畢卡索的畫放在顯微鏡下，你就沒辦法欣賞了，你只能辨識粗點的圖樣。 第五章 尺度的問題——對蒼蠅而言，水更具有捕蠅紙的威力；一旦蒼蠅身上沾濕了，就會被黏到死。 第六章 突現(xiàn)的性質(zhì)︰多帶來不同——群眾歇斯底里癥不會發(fā)生在一個人身上，就如一個人的病不能稱為傳染病一樣。 第七章 預(yù)測的數(shù)學(xué)——這就是科學(xué)終歸要告訴我們的︰如何及為什麼，而不是在哪裡或什麼時候。 第八章 稻草堆中的訊號——科學(xué)家及藝術(shù)家都學(xué)會注意別人將要掃在地毯下的穢物，他們學(xué)會變成很好的注意者。 第三部 對社會世界的解釋 第九章 選舉︰吉尼爾是對的——她告訴人們的是他們不想聽的：我們的選舉制度既不公平亦不民主。 第十章 公平的分配：所羅門王的智慧——當(dāng)我的小孩說某事是不公平的時候，他們真正的意思是，他們得不到想要的東西。 第十一章 和藹體貼的數(shù)學(xué)原理︰數(shù)學(xué)證明了金律——從這些數(shù)學(xué)研究中冒出來的策略，聽上去很像老式的說教︰合作，原諒他人。 第四部 真理的數(shù)學(xué)原理 第十二章 事情因何發(fā)生？——灰最後還是回歸灰，塵回歸塵，可是在灰與灰、塵與塵之間，就有了人、狗及秋海棠。 第十三章 舉證的重?fù)?dān)——許多人把「若ＤＮＡ比對符合，辛普森就有罪」與「若ＤＮＡ比對不吻合，他就無罪」看成完全一樣…… 第十四章 諾塞與愛因斯坦：真理的不變性——和愛因斯坦一樣，諾塞看穿了把看似大不相同的事物聯(lián)繫在一起的隱匿結(jié)構(gòu)。 附 錄 延伸閱讀 

章節(jié)摘錄

　　第五章　尺度的問題　　你怎樣才能把五○○，○○○磅的水浮懸在空中，而不用到看得見的支架？　?。ù鸢俯U把它變成雲(yún)。）　　——藝術(shù)家米勒（Bob Miller）　　受邀去遊歷每一件事物都比我們世界中的要大許多或小很多的世界，似乎帶有一種迷人的魔力。去冥想海洋或天空的廣闊，或者在顯微鏡下觀看池溏中拿來的污水，或是去想像原子的內(nèi)在生活，這些行為都把我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)帶離到日常生活之外的領(lǐng)域，進(jìn)入一個只能依靠想像力才得跨入、極有異域情調(diào)的景色中去?！　∧荛L成巨人的滋味是什麼？變成一隻小蟲的大小呢？愛麗絲吃了一枚蘑菇，就脹大到如美西感恩節(jié)遊行隊的大氣球，從她的屋中爆出去；她再多吃一點，就縮小成「不可思議的不斷縮小的女人」，她永遠(yuǎn)的恐懼就是掉到洗手盆排水口裡[1]。從「小史都華」到「金剛」，從「親愛的，我把孩子變小了」到「姆指人」[2]，這種能把大小變化的觀念，對我們的心靈顯然有一股極強的吸引力?！　∮泻芎玫睦碛扇ハ胂?，不同尺度的世界也是截然不同的世界。一加一可能大於二；在量上面的改變，可以引起在質(zhì)方面極大的不同。　　當(dāng)物體的大小有了基本的改變時，就有不同的自然律去管理它，時間的滴答聲也因不同的鐘而異，新的世界自無中生出來，而舊的世界則完全溶化不見。舉個例子，有一個奇怪的巨人——當(dāng)然，毫無疑問的，他高大而強壯?？墒歉叽蟮纳聿膸砹孙@然的不便。按照霍登（J. B. S. Haldane, 1892-1964）在他的經(jīng)典散文〈大小要正好〉中說的，一位六十英尺高的巨人，每走一步就會把他的大腿骨碎裂?！　≡蚴呛芎唵蔚膸缀卧怼８叨戎话匆痪S增大，而表面積則按二維增大，可是體積則按三維增大。如果你把一個人的身高加倍，支持他抗拒重力的肌肉的截面積會變大四倍（二乘二），而他的體積，因此也等於重量，會增大為八倍。如果你把他的身高加為十倍，他的體重要增加為一千倍，可是支撐他的肌肉及骨骼的截面積只增為一百倍。結(jié)果是︰骨骼碎裂了?！　∫С诌@麼大的體重，需要結(jié)實而粗的腿。你可想一下大象或河馬吧。對牠們來說，跳躍完全是不可能的。超人一定只能是跳蚤的大小[3]?！　￠L得愈大，跌得愈重　　跳蚤當(dāng)然經(jīng)常表演超人的絕技，這就是現(xiàn)在幾乎已絕跡的跳蚤馬戲團的科學(xué)原理[4]。這些微不足道的小生物可以拉動比它們體重重了一六○，○○○倍的物件，可以跳到它們身高一百倍的高度。小生物的體重和它們的肌肉截面積相比起來，使得它們似乎無比強壯。雖然它們的肌肉比起我們的不知要微弱多少倍，可是它們要去拉動的質(zhì)量更加小很多很多，因而使每一隻螞蟻都成為超生物，跳過高建築似乎也不成問題[5]?！　【奕说挂膊恍?。這古老的諺語也是真的︰「長得愈大，跌得愈重」。而愈小，跌在地上也愈輕。這原因還是幾何。如果一隻大象從高樓跌下，重力把它的極大質(zhì)量重重拉下來，而牠那相對說來較小的表面積，對空氣的阻力則幾乎沒有。反過來說，一隻小老鼠的體積（及質(zhì)量）小到重力沒有什麼可以去拉的，而相對表面積大到就像它有一頂長在身上的降落傘一樣。　　霍登這麼寫道，一隻小老鼠可以從一千碼（約九百公尺）的懸崖跌下，毫髮無傷。大老鼠卻可能傷重致死。而人呢，必死無疑。而馬呢？霍登告訴我們：「血肉橫飛！」　　同樣的相對關(guān)係，也可以應(yīng)用在無生命的下墜物體，例如水滴。大氣中溼答答的充滿了水氣，即使水氣沒有我們能看見的雲(yún)的形象?？墒?，一旦一粒微小的水滴開始吸引其他水分子到它的邊上，事情就疾速發(fā)展了。當(dāng)這成長中的水滴直徑增加一百倍之際，它的表面積增加的倍數(shù)為一萬，而它的體積增加的倍數(shù)則為一百萬倍。大的表面積能反射更多的光，因而使雲(yún)層變成可以看得見。這個增加了不知多少倍的體積，最後大到能被重力拉下，墜到地面成為雨點?！　“凑昭芯侩?yún)的專家的說法，空氣中的水滴同時被靜電的吸引力拉住（這電力把水滴拉聚成群成為雲(yún)）以及被重力往下拉。當(dāng)這些水滴很小的時候，它們的表面積和體積相對來說極大，這時是電力在管事，因此水滴浮懸在空中。一旦水滴的大小大到某程度後，重力就一定贏?！　♂橆^大小的物體幾乎察覺不到重力。重力是只有大尺度的物體才能感覺到的力。把分子聚集在一起的電力，比重力強了近乎一兆倍。這就是為什麼只要在空氣中有一絲一毫的靜電力，就能使你的頭髮豎立起來?！　μ榇笮〉某藖碚f，這些電力會造成很大的問題。首先，如果他想要飛得比子彈還快的話，會遭遇到極大的困難，因為對他而言，空氣就像濃極了的分子湯，從任一方向都可把他攔住。那就像在濃稠的糖漿中游泳一樣困難?！　∩n蠅可以毫無困難的在天花板上倒著走，是因為把它們的腳黏在天花板上的分子膠的膠力，要比把它們微小的重量向下拉的重力強得多?？墒牵碾娏上翊攀粯游±ハx。如霍登指出的，水分子的電力使得昆蟲想去喝水的動作，成為一種危險的絕技。一隻彎下身去小水坑喝水的昆蟲遭遇到的危險性，就如一個人在懸崖邊上彎下腰去採灌木上的漿果一樣?！　∷亲罹唣ば缘奈镔|(zhì)之一。剛淋浴過的人身上帶了約有一磅重（○．五公斤）的水，可是這幾乎不能算是負(fù)荷。不過按照霍登的說法，一隻剛淋浴過的小老鼠身上帶的水，就幾乎相當(dāng)於它的體重。對蒼蠅而言，水更具有捕蠅紙的威力；一旦蒼蠅身上沾濕了，就會被黏到死。按霍登的說法，這就是為什麼昆蟲有長的針狀吻（嘴）的原因?！　∈聦嵣?，如果你變成昆蟲的大小，生活中的每件事幾乎都不同了。一個螞蟻般大小的人永遠(yuǎn)寫不出書來，因為一臺螞蟻大小的打字機的鍵盤都會黏在一起，一本書的書頁亦然。螞蟻永遠(yuǎn)不能生一團火，因為最小的火焰也要比它的身體大。

媒體關(guān)注與評論

　　這本書不像最近的許多數(shù)學(xué)書，只想解析、追究、壓制數(shù)學(xué)恐懼癥。它反倒大方的承認(rèn)數(shù)字與我們的腦袋、心思早已掛鉤，好也罷、壞也罷，甩都甩不掉，如此反而可以懷著輕鬆愉快的心情重新看待數(shù)學(xué)。柯爾的幽默和淵博知識，使得這本書充滿了睿智和開闊的視界。　　——梭貝爾，《尋找地球刻度的人》作者　　柯爾讓我們分享了數(shù)學(xué)心靈，發(fā)現(xiàn)抽象之美。你也會和她一樣，被數(shù)學(xué)的奇妙所振奮。　　——霍夫曼，1981年諾貝爾化學(xué)獎得主

圖書封面

評論、評分、閱讀與下載

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