高等數(shù)學(xué)

前言

　　隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛躍發(fā)展，數(shù)學(xué)的作用越來(lái)越重要j從歷史角度考察，數(shù)學(xué)為物理描寫(xiě)現(xiàn)象與規(guī)律提供了語(yǔ)言與工具，反過(guò)來(lái)物理現(xiàn)象也為數(shù)學(xué)概念的建立提供了原型。如今數(shù)學(xué)的應(yīng)用早已超越了物理學(xué)的范圍。數(shù)學(xué)在化學(xué)上的應(yīng)用也早已不是過(guò)去說(shuō)的只有線性方程組。菲爾許爾斯特－珀?duì)柗匠毯吐逄乜ǎ譅柼├匠逃脕?lái)描述生物種群增長(zhǎng)的規(guī)律，可以幫助人們計(jì)算出人口增長(zhǎng)速度與人口密度的關(guān)系?，F(xiàn)代流行詞分子生物學(xué)的DNA的復(fù)雜結(jié)構(gòu)就與深?yuàn)W的數(shù)學(xué)拓?fù)鋵W(xué)的扭結(jié)理論密切相關(guān)。而經(jīng)濟(jì)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)從首屆授予計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的奠基人R.Fisher（挪威，1895-1979）和J Tinbergen（荷蘭，1903-1994.）以來(lái)，就與數(shù)學(xué)結(jié)下了不解之緣，歷屆經(jīng)濟(jì)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)獲得者均有厚重的數(shù)學(xué)功底，其中半數(shù)以上的人有直接從事數(shù)學(xué)研究的背景，更在核心數(shù)學(xué)的研究中有重大貢獻(xiàn)，如黎曼流形嵌入定理、Nashi.Moser疊代法等。社會(huì)科學(xué)中的管理科學(xué)、質(zhì)量控制、產(chǎn)品設(shè)計(jì)、運(yùn)籌優(yōu)化、金融投資分析、保險(xiǎn)業(yè)、市場(chǎng)預(yù)測(cè)、考古學(xué)和地質(zhì)學(xué)等都在大量地應(yīng)用著數(shù)學(xué)。隨著數(shù)字化信息技術(shù)對(duì)我們生活的快速滲透，數(shù)學(xué)概念和詞匯在文化創(chuàng)作和日常生活中的使用也愈加頻繁。數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)的結(jié)合更是產(chǎn)生了五花八門(mén)的新技術(shù)，從醫(yī)療手段到動(dòng)畫(huà)制作，從指紋或簽字的識(shí)別到自動(dòng)排版技術(shù)，從現(xiàn)代通信技術(shù)到信息安全處理等，它們應(yīng)用的不是過(guò)去傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)而是非?，F(xiàn)代的前沿?cái)?shù)學(xué)。因此，現(xiàn)在所謂的信息化時(shí)代，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)學(xué)時(shí)代。

內(nèi)容概要

　　《高職高專通用系列規(guī)劃教材：高等數(shù)學(xué)》主要內(nèi)容包括一元微積分、二元微積分、常微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模簡(jiǎn)介共13章?！陡呗毟邔Ｍㄓ孟盗幸?guī)劃教材：高等數(shù)學(xué)》適用于高職高專理工類各專業(yè)的教學(xué)，也可作為相關(guān)技術(shù)人員及大專類學(xué)生自學(xué)的教材和參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

第1章 預(yù)備知識(shí)1.1 數(shù)與集合1.2 初等函數(shù)1.3 平面解析幾何大意第2章 極限與連續(xù)2.1 函數(shù)的極限2.2 極限的運(yùn)算法則2.3 兩個(gè)重要極限2.4 無(wú)窮小與無(wú)窮大2.5 連續(xù)與間斷2.6 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第3章 導(dǎo)數(shù)與微分3.1 幾個(gè)問(wèn)題的解決3.2 導(dǎo)數(shù)3.3 函數(shù)的求導(dǎo)法則3.4 隱函數(shù)的求導(dǎo)3.5 高階導(dǎo)數(shù)3.6 微分及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用第4章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1 曲線的切線與法線4.2 牛頓迭代法4.3 拉格朗日中值定理4.4 洛必達(dá)法則4.5 函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值4.6 函數(shù)的凹凸性和曲線的漸近線4.7 函數(shù)圖形的描繪4.8 曲率第5章 定積分5.1 面積、路程和做功5.2 定積分的概念5.3 牛頓一萊布尼茨公式5.4 不定積分5.5 積分表的使用5.6 定積分的數(shù)值計(jì)算5.7 廣義積分第6章 微元法的應(yīng)用6.1 微元法6.2 定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用6.3 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用6.4 定積分在其他領(lǐng)域的應(yīng)用第7章 常微分方程初步7.1 需要解決的幾個(gè)問(wèn)題7.2 微分方程的概念7.3 直接積分法與可分離變量方程7.4 一階線性微分方程7.5 二階常系數(shù)微分方程7.6 常微分方程的數(shù)值解法第8章 三維向量與空間曲面8.1 空間直角坐標(biāo)系8.2 向量代數(shù)8.3 向量積與數(shù)量積8.4 平面8.5 直線8.6 空間曲面與曲線第9章 多元函數(shù)微分學(xué)9.1 多元函數(shù)及其極限和連續(xù)9.2 偏導(dǎo)數(shù)9.3 鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則9.4 全微分9.5 方向?qū)?shù)9.6 空間曲線的切線及空間曲面的切平面9.7 極值與最值第10章 多元函數(shù)積分學(xué)10.1 從曲頂柱體的體積到二重積分10.2 化二重積分為二次積分10.3 二重積分換元法：極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算10.4 體積與重心10.5 從變力做功到曲線積分10.6 積分與路徑無(wú)關(guān)的條件第11章 無(wú)窮級(jí)數(shù)11.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)11.2 收斂準(zhǔn)則11.3 冪級(jí)數(shù)11.4 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式11.5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用11.6 傅里葉級(jí)數(shù)及其應(yīng)用第12章 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)12.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)12.2 常用數(shù)學(xué)軟件簡(jiǎn)介12.3 MATLAB支持下的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)12.4 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)舉例第13章 數(shù)學(xué)建模及其CUMCM13.1 數(shù)學(xué)模型13.2 數(shù)學(xué)建模舉例13.3 數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與CUMCM簡(jiǎn)介附錄 簡(jiǎn)易積分表參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　解析幾何是數(shù)學(xué)中最基本的學(xué)科之一，也是科學(xué)技術(shù)中最基本的數(shù)學(xué)工具。它的產(chǎn)生和發(fā)展，曾在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中起著重要的作用。17世紀(jì)初，生產(chǎn)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，給數(shù)學(xué)不斷提出新的問(wèn)題，要求數(shù)學(xué)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)加以研究和解決，例如在變速運(yùn)動(dòng)中，如何解決速度、路程和時(shí)間的變化問(wèn)題，以及拋射體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律等等。只用初等數(shù)學(xué)的方法是無(wú)能為力的，因此要求突破研究常量數(shù)學(xué)的范圍和方法，而提供用以描述和研究物體運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程所需的新的數(shù)學(xué)工具變量數(shù)學(xué)。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬首先認(rèn)識(shí)到新的數(shù)學(xué)學(xué)科解析幾何學(xué)產(chǎn)生的必要和可能。其中笛卡兒是解析幾何的主要?jiǎng)?chuàng)建者，他認(rèn)為“數(shù)學(xué)絕不單是為了鍛煉人們的思考能力，主要是為了說(shuō)明自然現(xiàn)象”，因此必須給說(shuō)明靜止?fàn)顟B(tài)的數(shù)學(xué)以新的解釋。他于1637年發(fā)表了一篇著作《科學(xué)中正確運(yùn)用理性和追求真理的方法論》，在此書(shū)的附錄《幾何學(xué)》中，較全面地?cái)⑹隽私馕鰩缀蔚幕舅枷牒陀^點(diǎn)，并創(chuàng)造了一種方法，即引進(jìn)坐標(biāo)，首先建立了點(diǎn)與數(shù)組的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。進(jìn)而將曲線看做是動(dòng)點(diǎn)的軌跡，應(yīng)用變量所適合的方程來(lái)表示。費(fèi)馬也提出：凡含有兩個(gè)未知數(shù)的方程，總能確定一個(gè)軌跡，并根據(jù)方程，描繪出曲線。綜上所述，不難看出，解析幾何的基本內(nèi)涵和方法，是通過(guò)坐標(biāo)的建立，將幾何的基本元素（點(diǎn)）和代數(shù)的基本研究對(duì)象（數(shù)）對(duì)應(yīng)起來(lái)，然后在這個(gè)基礎(chǔ)上，建立起曲線或曲面與方程的對(duì)應(yīng)。如已知?jiǎng)狱c(diǎn)的某種運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即可建立動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；有了變量所適合的某個(gè)方程，就可作出它表示的幾何圖象，并根據(jù)方程討論一些幾何性質(zhì)。這樣就將幾何與代數(shù)緊密結(jié)合起來(lái)，利用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題，而且這種方法已成為研究和解決某些運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題的有利工具。由于變量數(shù)學(xué)的引進(jìn)，大大地推動(dòng)了微積分學(xué)的發(fā)展，使整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科有了重大進(jìn)步，因此解析幾何的產(chǎn)生，可以說(shuō)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次飛躍。有關(guān)這一點(diǎn)，恩格斯曾給予了極高的評(píng)價(jià)，他在《反杜林論》巾說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，……有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……”從解析幾何的產(chǎn)生到現(xiàn)在，經(jīng)過(guò)了一段很長(zhǎng)的發(fā)展歷程?，F(xiàn)在一般所講的還是屬于經(jīng)典解析幾何的范疇，所用的方法除上面講到的坐標(biāo)法外還引入了向量法，通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)討論曲線和曲面的一些幾何性質(zhì)，這給某些問(wèn)題的討論帶來(lái)很大方便。 　　……

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