常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)

前言

　　常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)是研究自然界、工程技術(shù)及社會(huì)中事物與現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)和演化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)理論。在物理、化學(xué)、生物、機(jī)電工程、控制技術(shù)、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融等領(lǐng)域中的許多問題都可以表示為適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠棠Ｐ停枋?、認(rèn)識(shí)和分析其規(guī)律，就要對相應(yīng)的微分方程進(jìn)行深入研究。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，尤其是非線性問題的重要性凸顯，常微分方程不僅需要通過解析方法或者數(shù)值方法求解，還需要根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)的理論和方法進(jìn)行定性分析。這三種處理途徑各有側(cè)重，既有本身的特點(diǎn)和使用范圍，又相互配合，共同發(fā)展，成為當(dāng)今常微分方程研究的發(fā)展趨勢?！　∥⒎址匠膛c動(dòng)力系統(tǒng)的理論和方法對于拓寬和加強(qiáng)理工科研究生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，增強(qiáng)他們運(yùn)用相應(yīng)知識(shí)去分析和解決科學(xué)技術(shù)問題的科研創(chuàng)新能力，提高研究生的培養(yǎng)質(zhì)量具有重要作用。常微分方程理論和應(yīng)用的研究歷史悠久，目前國內(nèi)外已有一些優(yōu)秀的專著，但主要是供專門從事常微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)方向研究的學(xué)者和研究生使用的，而在一般的常微分方程教材中，內(nèi)容基本上限于古典的求解方法，較少涉及定性分析方法，因此它們不能充分滿足廣大理工科研究生的教學(xué)和科研需要。為此，我們根據(jù)理工科專業(yè)特點(diǎn)，編寫了這本適用于理工科和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的教材。本教材基于動(dòng)力系統(tǒng)的思想，介紹常微分方程定性分析的基本理論和方法，涉及經(jīng)典和現(xiàn)代內(nèi)容，主要包括常微分方程的定性理論、穩(wěn)定性理論和分岔與混沌理論三大部分，還簡要論述了動(dòng)力系統(tǒng)的基本概念?！　?0世紀(jì)80年代，我們就開始從事理工科研究生的常微分方程課程的教學(xué)工作，其教材《常微分方程的定性方法和分叉》自1989年出版以來，已經(jīng)重印多次，印數(shù)達(dá)8 000冊。該教材一直在許多高等院校中使用，效果很好，深受廣大研究生和導(dǎo)師的好評(píng)?，F(xiàn)在我們按照研究生課程教學(xué)改革的要求，對國內(nèi)外近期出版的相關(guān)專著和教材進(jìn)行了認(rèn)真調(diào)研，并結(jié)合在長期從事科研和研究生教學(xué)工作中積累的經(jīng)驗(yàn)，廣泛征集廣大師生和讀者的意見，對原教材進(jìn)行了全面修訂和補(bǔ)充后，更名為《常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)》出版，以適應(yīng)我國21世紀(jì)理工科研究生培養(yǎng)和課程建設(shè)的需要。應(yīng)當(dāng)指出，本教材的前5章均進(jìn)行了大量的修改，第6章是完全改寫的，并新增了第7章?！　”窘滩牡木帉懢哂幸韵绿攸c(diǎn)。首先，根據(jù)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展精心選取內(nèi)容。以常微分方程為核心，重點(diǎn)論述非線性動(dòng)力系統(tǒng)的定性分析理論和方法，同時(shí)通過一些重要的應(yīng)用實(shí)例，適當(dāng)介紹其在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，以加強(qiáng)理論和應(yīng)用的密切聯(lián)系。

內(nèi)容概要

本書基于動(dòng)力系統(tǒng)的思想，較系統(tǒng)地介紹常微分方程定性分析的基本理論和方法及其在科學(xué)技術(shù)中的一些應(yīng)用。主要內(nèi)容有：常微分方程的基本概念和定理、線性系統(tǒng)的解的性質(zhì)和穩(wěn)定性、平面自治系統(tǒng)的定性理論和應(yīng)用、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和應(yīng)用、微分動(dòng)力系統(tǒng)基礎(chǔ)及常微分方程的分岔和混沌問題等。
本書可以作為高等學(xué)校理工科和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的研究生教材或參考書，也可供高年級(jí)大學(xué)生、教師和科學(xué)技術(shù)人員自學(xué)和參考。

書籍目錄

第1章 基本概念和定理
1.1 引 言
1.2 解的存在性和唯一性
1.3 解的延拓
1.4 解對初值和參數(shù)的連續(xù)性和可微性
1.5 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的概念
習(xí) 題
第2章 線性系統(tǒng)
2.1 基本定理
2.2 線性齊次和非齊次系統(tǒng)
2.2.1 線性齊次系統(tǒng)（方程）
2.2.2 線性非齊次系統(tǒng)（方程）
2.3 線性常系數(shù)系統(tǒng)
2.4 線性周期系數(shù)系統(tǒng)
2.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性
習(xí) 題
第3章 平面自治系統(tǒng)
3.1 基本概念
3.2 平面線性自治系統(tǒng)的奇點(diǎn)
3.3 平面非線性自治系統(tǒng)的奇點(diǎn)
3.4 雙曲奇點(diǎn)
3.5 中心和細(xì)焦點(diǎn)判定
3.6 平面奇點(diǎn)的指數(shù)
3.7 平面極限環(huán)
3.7.1 平面閉軌或極限環(huán)不存在的判定準(zhǔn)則
3.7.2 平面極限環(huán)存在的判定準(zhǔn)則
3.7.3 平面極限環(huán)的穩(wěn)定性
3.7.4 極限環(huán)的個(gè)數(shù)
3.8 無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)和全局結(jié)構(gòu)
3.8.1 無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)
3.8.2 平面系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)
3.9 在非線性振動(dòng)和控制問題中的一些應(yīng)用
3.9.1 保守系統(tǒng)的振動(dòng)
3.9.2 非保守系統(tǒng)的自激振動(dòng)
3.9.3 非線性控制問題
習(xí) 題
第4章 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性
4.1 基本概念
4.2 自治系統(tǒng)的李雅普諾夫第二方法
4.3 李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造
4.3.1 線性自治系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)
4.3.2 非線性自治系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)
4.4 穩(wěn)定性的第一近似方法
4.5 吸引域的估計(jì)
4.6 非自治系統(tǒng)的李雅普諾夫第二方法
4.7 周期解的穩(wěn)定性
習(xí) 題
第5章 微分動(dòng)力系統(tǒng)基礎(chǔ)
5.1 連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)——流
5.2 龐卡萊-班狄克遜定理及應(yīng)用
5.3 線性流與線性化流
5.4 雙曲平衡點(diǎn)、穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形
5.5 非雙曲平衡點(diǎn)中心流形定理
5.6 離散動(dòng)力系統(tǒng)——離散流
5.7 龐卡萊映射及應(yīng)用
5.8 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性
習(xí) 題
第6章 分 岔
6.1 基本概念
6.2 平衡點(diǎn)的靜態(tài)分岔
6.2.1 靜態(tài)分岔的必要條件
6.2.2 李雅普諾夫-施密特方法
6.2.3 常見的一維系統(tǒng)的單參數(shù)靜態(tài)分岔
6.2.4 向量場的開折和高余維靜態(tài)分岔
6.3 平衡點(diǎn)的動(dòng)態(tài)分岔
……
第7章 混 沌
附錄A
附錄B 部分習(xí)題答案和提示
參考文獻(xiàn)

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無

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