現(xiàn)代分析基礎(chǔ)

前言

　　《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》是數(shù)學(xué)專業(yè)研究生一年級的基礎(chǔ)課程，編者已多次講授過該課程。本教材是在講義基礎(chǔ)上，反復(fù)征求意見和建議，并經(jīng)多次修改及更新而形成.本教材包含了現(xiàn)代分析的基本理論和基本方法，適應(yīng)面較寬，照顧到了數(shù)學(xué)領(lǐng)域各個專業(yè)研究生培養(yǎng)的需要，部分內(nèi)容可以根據(jù)專業(yè)特點(diǎn)選講，適用于一學(xué)期講授。　　全書共分七章.第一章中介紹的抽象測度和抽象積分知識在現(xiàn)代分析中是非常重要的，它們的應(yīng)用也貫穿于全書之中，第五節(jié)的廣義測度可作為選講內(nèi)容，但如果學(xué)習(xí)第五章第四節(jié)測度的導(dǎo)數(shù)和測度的Ra-don-Nikodym分解，本節(jié)內(nèi)容是需要的；第二章介紹Lp空間及其可分性和對偶空間，以及用連續(xù)函數(shù)逼近Lp空間元素，Lp空間理論的重要性自不待言，抽象Banach空間理論、Hilbert空間理論和偏微分方程中經(jīng)常會涉及到；第三章介紹Hilbert空間上線性變換的表示，Hilbert空間中的規(guī)范正交系。作為例子，本章還介紹了三角級數(shù)，它是逼近論、小波分析的基礎(chǔ)；第四章首先介紹了卷積的概念和恒等逼近算子，它們在現(xiàn)代分析中起著十分重要的作用。然后討論了n維歐氏空間上的Fou-rier變換的概念及基本性質(zhì)，F(xiàn)ourier變換是現(xiàn)代分析中最重要的工具之一，已廣泛應(yīng)用于偏微分方程、調(diào)和分析、復(fù)分析、概率論、小波分析及數(shù)值分析等眾多研究領(lǐng)域，本章中僅以Fourier變換在偏微分方程中的應(yīng)用為例作了說明；第五章微分學(xué)是將數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的微分概念推廣到映射和測度中去，分別介紹了映射的導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)和測度的導(dǎo)數(shù)；第六章介紹Banach空間中的五大定理；最后一章中介紹速降函數(shù)函數(shù)空間及其對偶空間（緩增廣義函數(shù)空間）。

內(nèi)容概要

　　《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》包含七章，第一章從Lebesgue測度和Lebesgue積分出發(fā)介紹抽象測度和抽象積分，以及可測函數(shù)的連續(xù)性；第二章介紹Lp空間及其可分性和對偶空間，以及用連續(xù)函數(shù)逼近Lp空間元素；第三章介紹Hilbert空間上線性變換的表示，Hibeert空間中的規(guī)范正交系；作為例子，本章還介紹了三角級數(shù)，它是逼近論、小波分析的基礎(chǔ)，另外，作為Riesz表示定理的應(yīng)用之一，這里還介紹了廣義測度的有關(guān)知識（這部分可作為選講內(nèi)容）；第四章主要討論n維歐氏空間上的Fourier變換的概念及基本性質(zhì)，以及Fourier變換在偏微分方程中的應(yīng)用；第五章微分學(xué)是將數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的微分概念推廣到映射和測度中去，分別介紹了映射的導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)和測度的導(dǎo)數(shù)；第六章介紹Banach空間中的五大定理；最后一章介紹了廣義函數(shù)。

書籍目錄

第一章 抽象測度與積分1 抽象測度2 測度的性質(zhì)3 可測涵數(shù)4 抽象積分5 廣義測度6 可測函數(shù)的連續(xù)性第二章 Lp空間1 凸函數(shù)和不等式2 Lp空間3 連續(xù)函數(shù)逼近4 Lp空間的可分性5 對偶空間第三章 Hilbert空間的初等理論1 Hilbert空間的基本概念2 線性算子3 規(guī)范正交系4 三角級數(shù)第四章 Fourier交換1 卷積2 Fourier變換的概念及基本性質(zhì)3 反演定理4 Plancheral定理5 Fourier交換在偏微分方程中的應(yīng)用6 Banach代數(shù)L1（Rn）第五章 微分學(xué)1 連續(xù)映射的導(dǎo)數(shù)2 中值定理及其應(yīng)用3 偏導(dǎo)數(shù)4 測度的導(dǎo)數(shù)第六章 Banach空間理論1 Banach空間概念2 開映射定理3 閉圖像定理4 一致有界定理5 Hahn-Banach定理第七章 廣義函數(shù)1 基本函數(shù)空間（Rn）及廣義函數(shù)2 基本函數(shù)空間（Rn）及緩增廣義函數(shù)參考文獻(xiàn)

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