離散數(shù)學(xué)教程

前言

　　離散數(shù)學(xué)作為計算機科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科的一個標(biāo)志，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一門重要學(xué)科，主要以研究離散量為主，是研究離散量的結(jié)構(gòu)及相互關(guān)系的學(xué)科。隨著計算機的發(fā)明和發(fā)展，離散數(shù)學(xué)變得越來越重要，它在可計算性與計算復(fù)雜性理論、算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、程序設(shè)計語言、數(shù)值與符號計算、操作系統(tǒng)、軟件工程、數(shù)據(jù)庫與信息檢索系統(tǒng)、人工智能與機器人、網(wǎng)絡(luò)、計算機圖形學(xué)以及人機通信、管理、金融、工程等各個領(lǐng)域，都有著廣泛的應(yīng)用?！　∽鳛橐婚T重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，通過離散數(shù)學(xué)的教學(xué)，不僅能為學(xué)生的專業(yè)課學(xué)習(xí)及將來所從事的軟、硬件開發(fā)和應(yīng)用研究打下堅實的基礎(chǔ)，同時也能培養(yǎng)他們抽象思維和嚴格的邏輯推理能力?！　”緯险?、數(shù)理邏輯、代數(shù)系統(tǒng)和圖論四部分內(nèi)容?！　〖险撌菙?shù)學(xué)的基礎(chǔ)，現(xiàn)代集合論以公理為基礎(chǔ)，討論集合的理論和性質(zhì)。主要介紹集合的公理體系、關(guān)系的概念、序關(guān)系、函數(shù)等內(nèi)容。　　數(shù)理邏輯是邏輯學(xué)的一部分，它是用數(shù)學(xué)的方法研究數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)性質(zhì)以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也就是引進一些符號，用符號的方法來演繹推理規(guī)律，所以也稱為符號邏輯?！　〈鷶?shù)系統(tǒng)也稱代數(shù)結(jié)構(gòu)或近世代數(shù)，是代數(shù)學(xué)中研究的重要對象，是抽象的代數(shù)學(xué)，所以也稱為抽象代數(shù)。它是對“不相關(guān)的代數(shù)”抽象出共同的性質(zhì)，即它們是由一些元素組成的集合，它們滿足一個或幾個運算，運算的結(jié)果仍然在此集合中。在研究時，不考慮元素具體是什么，只考慮元素和結(jié)構(gòu)的性質(zhì)?！　D論從18世紀(jì)產(chǎn)生到現(xiàn)在，一直被其他應(yīng)用科學(xué)所重視，有很多膾炙人口的典型數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)應(yīng)用。隨著計算機的發(fā)展，這個學(xué)科有了更大的應(yīng)用空間。

內(nèi)容概要

離散數(shù)學(xué)是計算機科學(xué)相關(guān)專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，是計算機專業(yè)，信息相關(guān)專業(yè)，計算機系統(tǒng)軟、硬件開發(fā)專業(yè)以及數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，數(shù)學(xué)建模。工程，管理，金融等專業(yè)不可缺少的基礎(chǔ)知識。本書適合高等院校相關(guān)各專業(yè)作為離散數(shù)學(xué)課程的基本教材和參考書。    全書共分四章。分別介紹集合論、數(shù)理邏輯、代數(shù)系統(tǒng)和圖論四部分內(nèi)容，并附有教學(xué)大綱和模擬試題。本書內(nèi)容敘述嚴謹，推演詳盡，深入淺出，通俗易懂，大部分概念都用詳細的實例說明并配有習(xí)題。

書籍目錄

第1章　集合論  1.1　集合的概念與運算    1.1.1　集合的概念和表示法    1.1.2　集合論的公理系統(tǒng)    1.1.3　集合相等與包含    1.1.4　空集與基礎(chǔ)集    1.1.5　無限集與冪集    1.1.6　集合的并集    1.1.7　集合的交集    1.1.8　集合的補集    1.1.9　集合的對稱差集  1.2　關(guān)系的概念    1.2.1　笛卡兒積    1.2.2　關(guān)系    1.2.3　恒同關(guān)系    1.2.4　關(guān)系圖與關(guān)系矩陣  1.3　關(guān)系的性質(zhì)與運算    1.3.1　關(guān)系的性質(zhì)    1.3.2　關(guān)系的運算    1.3.3　復(fù)合關(guān)系    1.3.4　逆關(guān)系    1.3.5　關(guān)系的相關(guān)運算  1.4　關(guān)系的閉包    1.4.1　閉包的概念    1.4.2　閉包的計算    1.4.3　傳遞閉包的warshau計算方法  1.5　等價關(guān)系    1.5.1　集合的覆蓋與劃分    1.5.2　等價關(guān)系    1.5.3　相容關(guān)系  1.6　序關(guān)系    1.6.1　偏序關(guān)系    1.6.2　蓋住關(guān)系    1.6.3　哈斯圖    1.6.4　最（極）大（?。┰?   1.6.5　上（下）（確）界    1.6.6　全序集與良序集　1.7　函數(shù)    1.7.1　函數(shù)的概念    1.7.2　特殊的函數(shù)    1.7.3　逆函數(shù)    1.7.4　復(fù)合函數(shù)  1.8　基數(shù)    1.8.1　基數(shù)的概念    1.8.2　可數(shù)集  集合論習(xí)題第2章　數(shù)理邏輯  2.1　命題與聯(lián)結(jié)詞    2.1.1　命題的概念    2.1.2　命題符號    2.1.3　復(fù)合命題    2.1.4　常用的五個命題聯(lián)結(jié)詞  2.2　命題公式與真值表    2.2.1　命題變元    2.2.2　命題公式    2.2.3　真值表  2.3　等價及等價公式    2.3.1　等價或邏輯相等    2.3.2　等價公式表  2.4　重言式與蘊含式    2.4.1　重言式    2.4.2　蘊含    2.4.3　蘊含式的證明方法    2.4.4　蘊含公式表    2.4.5　其他聯(lián)結(jié)詞  2.5　范式    2.5.1　合取范式與析取范式    2.5.2　小項與主析取范式    2.5.3　大項與主合取范式    2.5.4　用真值表表示主范式  2.6　推理理論    2.6.1　推理規(guī)則    2.6.2　直接證法    2.6.3　反證法    2.6.4　CP規(guī)則法  2.7　謂詞與謂詞公式    2.7.1　謂詞的概念    2.7.2　命題函數(shù)與論域　　……第3章　代數(shù)系統(tǒng)第4章　圖論附錄參考文獻

章節(jié)摘錄

　　第1章 集合論　　集合論的創(chuàng)立到公理化系統(tǒng)集合論的過程，使集合論在數(shù)學(xué)發(fā)展史中產(chǎn)生了巨大的作用。集合論的產(chǎn)生與完備過程，集合論的思維方式對傳統(tǒng)思維模式的超越，集合論中悖論的出現(xiàn)及解決，這些開辟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的道路，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。　　我們原本生活在一個無窮的世界里，但我們的認識往往要從有限開始。無窮的世界里有著我們在有限的思維方式下認為不可思議的問題。例如：“從地球到月球的線段和一厘米長線段上的點一樣多?！蹦鷷嘈艈幔堪l(fā)現(xiàn)它并揭示其中奧秘的是20世紀(jì)初偉大的數(shù)學(xué)家、集合論的創(chuàng)始人——奧格爾·康托爾。他的理論把人們從有限帶進了無窮，把近代數(shù)學(xué)推向了現(xiàn)代數(shù)學(xué)。到了19世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家康托爾（1845—1909）才開始揭示其中的奧秘：自然數(shù)的集合與正整數(shù)的集合一樣大，而實數(shù)的集合不與正整數(shù)的集合一樣大。在1874年至1909年的30多年間，他系統(tǒng)地建立了關(guān)于無窮集合的理論，創(chuàng)立了超窮序數(shù)、基數(shù)新概念，并把近代的超窮基數(shù)賦予可數(shù)集，給連續(xù)系統(tǒng)更高的超窮數(shù)，還建立了一整套有關(guān)的基本定理。1901年勒貝格以測度論充實了集合論，康托爾的集合論到了20世紀(jì)初為人們所接受?！　〖险撝械拿苡蓴?shù)學(xué)家借一個鄉(xiāng)村理發(fā)師的典故揭示出來。一個鄉(xiāng)村只有一名理發(fā)師，鄉(xiāng)村規(guī)定稱：“凡是自己不能給自己理發(fā)的人，必須由理發(fā)師來理?！钡珕栴}出來了，理發(fā)師的頭發(fā)由誰來理？要是他自己不給自己理發(fā)，那么按照鄉(xiāng)村規(guī)定，他必須到理發(fā)師那里讓理發(fā)師給他理發(fā)，同樣因為他自己就是理發(fā)師；要是他自己給自己理發(fā)，那么按照鄉(xiāng)村規(guī)定，他就不應(yīng)該到理發(fā)師處理發(fā)，而他自己就是理發(fā)師；于是這個理發(fā)師陷入了邏輯的矛盾中。這個邏輯矛盾涉及了集合的概念、元素、屬于，在當(dāng)時產(chǎn)生了極大的震動。這就是著名的羅素悖論?！　≡诩险摦a(chǎn)生與發(fā)展的整個過程中，許多數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家從事了集合論的研究工作，并取得了令人振奮的成就，策墨羅和弗郎克爾通過對康托爾樸素集合論的研究，提出了zF公理系統(tǒng)，把集合論建立在一系列公理系統(tǒng)上，使樸素集合論完善為公理化集合論。它克服了康托爾樸素集合論引起的一些矛盾，推動了集合論的發(fā)展。后來在1937年至1954年間，建立了集合論的另一個公理系統(tǒng)，簡稱VNB系統(tǒng)。在1940年的專著《選擇公理、廣義連續(xù)系統(tǒng)假設(shè)與集合公理的協(xié)調(diào)性》中使用了VNB系統(tǒng)，將集合建立在一系列公理系統(tǒng)上，使樸素集合論發(fā)展為公理的集合論，克服了康托爾在集合論上引起的矛盾，推動了集合論的發(fā)展。

編輯推薦

　　《離散數(shù)學(xué)教程》包括集合論、數(shù)理邏輯、代數(shù)系統(tǒng)和圖論四部分內(nèi)容。集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，現(xiàn)代集合論以公理為基礎(chǔ)，討論集合的理論和性質(zhì)。主要介紹集合的公理體系、關(guān)系的概念、序關(guān)系、函數(shù)等內(nèi)容。數(shù)理邏輯是邏輯學(xué)的一部分，它是用數(shù)學(xué)的方法研究數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)性質(zhì)以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也就是引進一些符號，用符號的方法來演繹推理規(guī)律，所以也稱為符號邏輯。

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