奧林匹克數(shù)學(xué)中的幾何問題

前言

　　數(shù)學(xué)奧林匹克是起步最早、規(guī)模最大、類型多種、層次較多的一項(xiàng)學(xué)科競賽活動(dòng)多年來的實(shí)踐表明：這項(xiàng)活動(dòng)可以激發(fā)青少年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，煥發(fā)青少年的學(xué)習(xí)熱情，吸引他們?nèi)プx一些數(shù)學(xué)小冊子，促使他們尋找機(jī)會(huì)去聽一些名師的講座；這項(xiàng)活動(dòng)可以使參與者眼界大開，跳出一個(gè)班、一個(gè)學(xué)?；蛞粋€(gè)地區(qū)的小圈子，去與其他“高手”互相琢磨，激勵(lì)并培養(yǎng)他們喜愛有挑戰(zhàn)性數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)與精神；這項(xiàng)活動(dòng)可以使參與者求知欲望大增，使得他們的閱讀能力、理解能力、交流能力、表達(dá)能力等諸能力與日俱進(jìn)．這是一種有深刻內(nèi)涵的文化現(xiàn)象，因此，越來越多的國家或地區(qū)除組織本國或本地區(qū)的各級(jí)各類數(shù)學(xué)奧林匹克外，還積極地參與到國際數(shù)學(xué)奧林匹克中．　　我國自1986年參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克以來，所取得成績舉世公認(rèn)，十多年來一直保持世界領(lǐng)先的水平．其中，到2003年止，湖南的學(xué)生已取得9塊金牌、2塊銀牌的好成績，2004年又有一位國家隊(duì)隊(duì)員．這優(yōu)異的成績，是中華民族精神的體現(xiàn)，是國人潛質(zhì)的反映，是民族強(qiáng)盛的希望．為使我國數(shù)學(xué)奧林匹克事業(yè)可持續(xù)發(fā)展，一方面要繼續(xù)吸引越來越多的青少年參與，吸引一部分?jǐn)?shù)學(xué)工作者扎實(shí)地投入到這項(xiàng)活動(dòng)中來，另一方面要深入研究奧林匹克數(shù)學(xué)的理論體系，要深入研究數(shù)學(xué)奧林匹克教育理論與教學(xué)方略，研究數(shù)學(xué)奧林匹克教育與中學(xué)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)在聯(lián)系．為此，在中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)領(lǐng)導(dǎo)的大力支持與熱情指導(dǎo)下，湖南師范大學(xué)成立了“數(shù)學(xué)奧林匹克研究所”．研究所組建近一年來，我們幾位教授都積極投身到研究所的工作中，除深入進(jìn)行奧林匹克數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)奧林匹克教育理論研究外，還將我們多年積累的輔導(dǎo)講座資料進(jìn)行了全面、系統(tǒng)的整理，以專題講座的形式編寫成了這套專題研究叢書，分幾何、代數(shù)、組合三卷．這些豐富、系統(tǒng)的專題知識(shí)不僅是創(chuàng)新地解競賽題所不可或缺的材料，而且還可直接激發(fā)解競賽題的直覺或靈感．從教育心理學(xué)角度上說，只有具備了充分的專題知識(shí)與邏輯推理知識(shí)，才能有目的、有方向、有成效地進(jìn)行探究性活動(dòng)．　　由于這套叢書篇幅較大，有些部分整理欠完善，敬請專家、同行和讀者不吝指正．

內(nèi)容概要

　　《奧林匹克數(shù)學(xué)中的幾何問題》分為7章，每章重點(diǎn)討論和研究了一類在數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的組合問題。除了介紹必要的組合數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)外，著重介紹了解決這類問題的一些基本方法。在介紹解題方法時(shí)，配備了一些相當(dāng)于全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽水平的例題（個(gè)別例題為中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）和國際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）中較易的問題）。每章最后一節(jié)為典型例題解題分析，所配備的例題相當(dāng)于CMO和IMO的水平。

作者簡介

　　沈文選，男，1948年生，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所副所長，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級(jí)教練，全國初等數(shù)學(xué)研究協(xié)調(diào)組成員，全國高等師范院校數(shù)學(xué)教育研究會(huì)常務(wù)理事，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》編委，湖南省數(shù)學(xué)奧林匹克培訓(xùn)的主要組織者與授課者，湖南師大附中、長沙市一中數(shù)學(xué)奧林匹克培訓(xùn)主要教練。曾任湖南省數(shù)學(xué)會(huì)初等數(shù)學(xué)委員會(huì)副主任?！　∫殉霭鎴D書《中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法》、《競賽數(shù)學(xué)教程》等20余部，發(fā)表學(xué)術(shù)論文《奧林匹克數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)奧林匹克教育》等40余篇，發(fā)表數(shù)學(xué)思想方法研究和數(shù)學(xué)奧林匹克研究等文章200余篇。多年來為全國初、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，數(shù)學(xué)冬令營提供試題20余道，是1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，2002年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，2003年第1 8屆數(shù)學(xué)冬令營命題組成員?！　垐?， 男，1938年生，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級(jí)教練，湖南省數(shù)學(xué)奧林匹克主教練，美國《數(shù)學(xué)評論》評論員。1987～1 999年任湖南省數(shù)學(xué)會(huì)副理事長兼普及工作委員會(huì)主任，負(fù)責(zé)全省數(shù)學(xué)競賽的組織及培訓(xùn)工作，并主持了1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽和1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的命題工作?！　∫殉霭鎴D書《數(shù)學(xué)奧林匹克評論、方法、技巧》等13部，發(fā)表學(xué)術(shù)論文70余篇。從1992年起享受國務(wù)院頒發(fā)的政府特殊津貼。曾榮獲湖南省優(yōu)秀教師，全國優(yōu)秀教師，曾憲梓教育基金高等師范院校教師獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)，湖南省教委科技進(jìn)步獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)等多項(xiàng)表彰和獎(jiǎng)勵(lì)。所培訓(xùn)的學(xué)生有1 00余人進(jìn)入全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營，其中有40余人進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)，13人進(jìn)入國家隊(duì)，在國際中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（1MO）中，共奪得10枚金牌和2枚銀牌?！　±鋶徦?， 男，1961年生，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院、上海大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所所長，中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)委員，美國《數(shù)學(xué)評論》評論員。從2000年起參加中國數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)隊(duì)的教練工作和上海市數(shù)學(xué)奧林匹克選手的培訓(xùn)工作。2001～2004年，多次參加國家集訓(xùn)隊(duì)，中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO），西部數(shù)學(xué)競賽，女子數(shù)學(xué)競賽的命題工作。1 991～2004年擔(dān)任湖南省數(shù)　　學(xué)奧林匹克培訓(xùn)主要教練，為湖南師大附中、長沙市一中前后1 O位同學(xué)在l MO獲取金牌做了大量培訓(xùn)工作。　　已出版專著《高中數(shù)學(xué)競賽解題方法研究》，在國內(nèi)外重要數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)期刊發(fā)表論文30余篇。先后承擔(dān)國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目，教育部博士點(diǎn)基金項(xiàng)目等多項(xiàng)。曾獲湖南省教委科技進(jìn)步獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。

書籍目錄

第一篇平面幾何問題／1第一章梅涅勞斯定理及應(yīng)用／1第二章塞瓦定理及應(yīng)用／17第三章托勒迷定理及應(yīng)用／34第四章斯特瓦爾特定理及應(yīng)用／52第五章張角定理及應(yīng)用／63第六章西姆松定理及應(yīng)甩／76第七章九點(diǎn)圓定理及應(yīng)用／83第八章相交兩圓的性質(zhì)及應(yīng)用／90第九章根軸的性質(zhì)及應(yīng)用／98第十章三角形內(nèi)心的性質(zhì)及應(yīng)用／107第十一章三角形外心的性質(zhì)及應(yīng)用／118第十二章三角形重心的性質(zhì)及應(yīng)用／130第十三章三角形垂心的性質(zhì)及應(yīng)用／142第十四章三角形旁心的性質(zhì)及應(yīng)用／158第十五章關(guān)聯(lián)三角形巧合點(diǎn)的性質(zhì)及應(yīng)用／172第十六章幾何變換的性質(zhì)及應(yīng)用／181第二篇立體幾何問題／193第十七章空間射影圖的性質(zhì)及應(yīng)用／193第十八章平行六面體的性質(zhì)及應(yīng)用／203第十九章一般四面體的性質(zhì)及應(yīng)用／212第二十章特殊四面體的性質(zhì)及應(yīng)用／239第二十一章三面角的性質(zhì)及應(yīng)用／270第三篇平面解析幾何問題／281第二十二章一般圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用／281第二十三章圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用／294第二十四章圓的解析性質(zhì)及應(yīng)用／304第二十五章橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用／314第二十六章雙曲線的性質(zhì)及應(yīng)用／326第二十七章拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用／337參考解答／350參考文獻(xiàn)／439

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