奧林匹克數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題

前言

　　數(shù)學(xué)奧林匹克是起步最早、規(guī)模最大、類型多種、層次較多的一項(xiàng)學(xué)科競賽活動．　　多年來的實(shí)踐表明：這項(xiàng)活動可以激發(fā)青少年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，煥發(fā)青少年的學(xué)習(xí)熱情，吸引他們?nèi)プx一些數(shù)學(xué)小冊子，促使他們尋找機(jī)會去聽一些名師的講座；這項(xiàng)活動可以使參與者眼界大開，跳出一個班、一個學(xué)校或一個地區(qū)的小圈子，去與其他“高手”互相琢磨，激勵并培養(yǎng)他們喜愛有挑戰(zhàn)性數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)與精神；這項(xiàng)活動可以使參與者求知欲望大增，使得他們的閱讀能力、理解能力、交流能力、表達(dá)能力等諸能力與日俱進(jìn)．這是一種有深刻內(nèi)涵的文化現(xiàn)象，因此，越來越多的國家或地區(qū)除組織本國或本地區(qū)的各級各類數(shù)學(xué)奧林匹克外，還積極地參與到國際數(shù)學(xué)奧林匹克中．　　我國自1986年參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克以來，所取得成績舉世公認(rèn)，十多年來一直　　保持世界領(lǐng)先的水平．其中，到2003年止，湖南的學(xué)生已取得9塊金牌、2塊銀牌的好成績，2004年又有一位國家隊(duì)隊(duì)員．這優(yōu)異的成績，是中華民族精神的體現(xiàn)，是國人潛質(zhì)的反映，是民族強(qiáng)盛的希望．為使我國數(shù)學(xué)奧林匹克事業(yè)可持續(xù)發(fā)展，一方面要繼續(xù)吸引越來越多的青少年參與，吸引一部分?jǐn)?shù)學(xué)工作者扎實(shí)地投入到這項(xiàng)活動中來，另一方面要深入研究奧林匹克數(shù)學(xué)的理論體系，要深入研究數(shù)學(xué)奧林匹克教育理論與教學(xué)方略，研究數(shù)學(xué)奧林匹克教育與中學(xué)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)在聯(lián)系．為此，在中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會領(lǐng)導(dǎo)的大力支持與熱情指導(dǎo)下，湖南師范大學(xué)成立了“數(shù)學(xué)奧林匹克研究所”．研究所組建近一年來，我們幾位教授都積極投身到研究所的工作中，除深入進(jìn)行奧林匹克數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)奧林匹克教育理論研究外，還將我們多年積累的輔導(dǎo)講座資料進(jìn)行了全面、系統(tǒng)的整理，以專題講座的形式編寫成了這套專題研究叢書，分幾何、代數(shù)、組合三卷．這些豐富、系統(tǒng)的專題知識不僅是創(chuàng)新地解競賽題所不可或缺的材料，而且還可直接激發(fā)解競賽題的直覺或靈感．從教育心理學(xué)角度上說，只有具備了充分的專題知識與邏輯推理知識，才能有目的、有方向、有成效地進(jìn)行探究性活動．　　由于這套叢書篇幅較大，有些部分整理欠完善，敬請專家、同行和讀者不吝指正．

內(nèi)容概要

　　《奧林匹克數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題》分為7章，每章重點(diǎn)討論和研究了一類在數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的組合問題。除了介紹必要的組合數(shù)學(xué)的有關(guān)知識外，著重介紹了解決這類問題的一些基本方法。在介紹解題方法時(shí)，配備了一些相當(dāng)于全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽水平的例題（個別例題為中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）和國際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）中較易的問題）。每章最后一節(jié)為典型例題解題分析，所配備的例題相當(dāng)于CMO和IMO的

作者簡介

　　冷崗松，男，1961年生，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院、上海大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所所長，中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會委員，美國《數(shù)學(xué)評論》評論員。從2000年起參加中國數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)隊(duì)的教練工作和上海市數(shù)學(xué)奧林匹克選手的培訓(xùn)工作。2001～2004年，多次參加國家集訓(xùn)隊(duì)，中國數(shù)學(xué)奧林匹克（cMO），西部數(shù)學(xué)競賽，女子數(shù)學(xué)競賽的命題工作。1991～2004年擔(dān)任湖南省數(shù)學(xué)奧林匹克培訓(xùn)主要教練，為湖南師大附中、長沙市一中前后已出版專著《高中數(shù)學(xué)競賽解題方法研究》，在國內(nèi)外重要數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)期刊發(fā)表論文30余篇。先后承擔(dān)國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目，教育部博士點(diǎn)基金項(xiàng)目等多項(xiàng)。曾獲湖南省教委科技進(jìn)步獎二等獎。　　沈文選， 男，1948年生，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所副所長，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練，全國初等數(shù)學(xué)研究協(xié)調(diào)組成員，全國高等師范院校數(shù)學(xué)教育研究會常務(wù)理事，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》編委，湖南省數(shù)學(xué)奧林匹克培訓(xùn)的主要組織者與授課者，湖南師大附中、長沙已出版圖書《中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法》、《競賽數(shù)學(xué)教程》等20余部，發(fā)表學(xué)術(shù)論文《奧林匹克數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)奧林匹克教育》等40余篇，發(fā)表數(shù)學(xué)思想方法研究和數(shù)學(xué)奧林匹克研究等文章200余篇。多年來為全國初、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，數(shù)學(xué)冬令營提供試題20余道，是1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，2002年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，2003年第18屆數(shù)學(xué)冬令營命題組成員。　　張垚， 男，1938年生，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練，湖南省數(shù)學(xué)奧林匹克主教練，美國《數(shù)學(xué)評論》評論員。1987～1999年任湖南省數(shù)學(xué)會副理事長兼普及工作委員會主任，負(fù)責(zé)全省數(shù)學(xué)競賽的組織及培訓(xùn)工作，并主持了1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽和1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的命題工作?！　∫殉霭鎴D書《數(shù)學(xué)奧林匹克評論、方法、技巧》等13部，發(fā)表學(xué)術(shù)論文70余篇。從1992年起享受國務(wù)院頒發(fā)的政府特殊津貼。曾榮獲湖南省優(yōu)秀教師，全國優(yōu)秀教師，曾憲梓教育基金高等師范院校教師獎三等獎，湖南省教委科技進(jìn)步獎二等獎等多項(xiàng)表彰和獎勵。所培訓(xùn)的學(xué)生有100余人進(jìn)入全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營，其中有40余人進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)，13人進(jìn)入國家隊(duì)，在國際中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（IM0）中，共奪得10枚金牌和2枚銀牌?！　√屏⑷A，男，華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)特級教師，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練員。曾榮獲第五屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獎一等獎、湖南省神箭英才導(dǎo)師獎、中國科協(xié)2000年國際學(xué)科競賽突出貢獻(xiàn)獎、湖南省優(yōu)秀教師等多項(xiàng)表彰和獎勵。所指導(dǎo)的學(xué)生中已有近20人獲全國高中聯(lián)賽特等獎和一等獎，11人次入選全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營，5人進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)，2人進(jìn)入國家隊(duì)，并榮獲2枚國際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌。在國內(nèi)、國外數(shù)學(xué)期刊發(fā)表學(xué)術(shù)論文60余篇。

書籍目錄

第一篇集合問題第一章集合中的對應(yīng)原理第二章集合中的最大、最小問題第二篇函數(shù)問題第三章函數(shù)值、值域的求解第四章多元函數(shù)的條件最(極)值求解第五章無理函數(shù)極(最)值的求解第六章函數(shù)不動點(diǎn)及應(yīng)用第七章廣義凸函數(shù)及簡單應(yīng)用第八章函數(shù)方程的求解第三篇數(shù)列問題第九章數(shù)列項(xiàng)的求值與通項(xiàng)公式的求解第十章數(shù)列一般項(xiàng)性質(zhì)問題的求解第十一章數(shù)列不等式的證明第四篇不等式問題第十二章不等式證明中的變形技巧第十三章幾個著名不等式與不等式證明第十四章數(shù)學(xué)歸納法與不等式證明第十五章　函數(shù)性質(zhì)與不等式證明第十六章構(gòu)作數(shù)表(矩陣)與不等式證明第十七章含參數(shù)的不等式問題第五篇多項(xiàng)式問題第十八章多項(xiàng)式的因式分解與求值第十九章多項(xiàng)式的根的性質(zhì)及應(yīng)用第二十章條件多項(xiàng)式的求解第二十一章一類三元三次齊次多項(xiàng)式的性質(zhì)及應(yīng)用第二十二章多項(xiàng)式f(x)=x”一1的根的性質(zhì)及應(yīng)用第二十三章多項(xiàng)式的拉格朗日公式及應(yīng)用第二十四章多項(xiàng)式的牛頓公式及應(yīng)用第二十五章多項(xiàng)式與母函數(shù)方法第二十六章差分方法與差分多項(xiàng)式第六篇數(shù)論問題第二十七章整數(shù)的p進(jìn)位制及應(yīng)用第二十八章整數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用第二十九章同余第三十章不定方程參考解答參考文獻(xiàn)

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