2012年李永樂.李正元·考研數(shù)學(xué)1：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書習(xí)題全解（數(shù)學(xué)1）（理工類）

前言

本書出版、修訂多年來，深受全國廣大考生的好評和厚愛，受到專家同行的肯定，認為本書在編寫體例上有“特色”，在內(nèi)容講解、試題分析與解答上詳盡、透徹、易懂，較“適合考生的需要”。我們從反饋的信息中獲悉，除報考碩士研究生的考生將本書用作應(yīng)試復(fù)習(xí)參考書外，工科類在讀大學(xué)生也將本書作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)輔導(dǎo)資料，而教師則作為主要的教學(xué)參考用書之一。這既是對我們工作的肯定和鼓勵，也是一種鞭策，促使我們對本書進行一次全面修訂，以便及時反映當前研究生最新考試信息，更好地適應(yīng)和滿足廣大考生和讀者考試復(fù)習(xí)的需要。2011年《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書》將以更高的質(zhì)量和新的面貌呈現(xiàn)在廣大學(xué)生的面前。本書2011年版是在2010年版的基礎(chǔ)上進行修訂的，更加完善，更具有針對性和適用性。高等數(shù)學(xué)部分：按考試大綱的要求及絕大多數(shù)考生系統(tǒng)復(fù)習(xí)的需要，本書進行了調(diào)整，宗旨是重點內(nèi)容重點講解，如：求極限的方法，求積分（一元、多元函數(shù)）的方法，牛頓一萊布尼茲公式及其應(yīng)用，二重積分的計算與應(yīng)用，泰勒公式及其應(yīng)用，求冪級數(shù)的收斂域或收斂區(qū)間，冪級數(shù)的求和，求函數(shù)的冪級數(shù)展開式等單獨分離出來進行舉例講解，同時調(diào)換并增加了若干典型例題，并修改了部分例題的解法，使之更簡捷，更易掌握。線性代數(shù)部分：主要是針對一些重點概念和公式的運用，調(diào)換并增加了若干例題進行講解，使考生對這些重點概念和公式能徹底理解、吃透，對一些?？碱}型，如：抽象行列式的計算，有關(guān)伴隨矩陣的命題，n階矩陣的特征值和特征向量以及線性相關(guān)與無關(guān)的證明、基礎(chǔ)解系的證明等題型的解題方法和技巧進一步作了較詳盡的歸納總結(jié)，并給典型例題進行講解，消除考生對這些重要概念和公式的運用和?？碱}型解題方法的疑惑，以便考生在考試中應(yīng)對自如，提高應(yīng)試水平。概率統(tǒng)計部分：與高等數(shù)學(xué)部分一樣也進行了調(diào)整，調(diào)整后更適合考生進行系統(tǒng)復(fù)習(xí)，同時對重點概念、公式和?？碱}型從多角度命制典型例題進行講解，以提高考生運用概念、公式綜合分析能力，從而取得好成績。特別需要強調(diào)的是，本書題型訓(xùn)練試題均給出了詳細解答（見贈書）。本書高等數(shù)學(xué)部分由北京大學(xué)李正元修改完成，線性代數(shù)部分由清華大學(xué)李永樂修改完成，概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分由中國人民大學(xué)袁蔭棠修改完成。

內(nèi)容概要

為了使考研同學(xué)能在較短時間內(nèi)全面復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)，達到碩士學(xué)習(xí)階段應(yīng)具備的數(shù)學(xué)能力，提高考研應(yīng)試水平，以合格的數(shù)學(xué)成績?nèi)螄姨暨x，作者根據(jù)教育部制訂的《數(shù)學(xué)考試大綱》的要求和最新精神，深入研究了近年來考研命題的特點及動態(tài)，并結(jié)合作者多年來數(shù)學(xué)閱卷以及全國大部分城市“考研班”輔導(dǎo)的經(jīng)驗，編寫了這本《考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書》及其姊妹篇《考研數(shù)學(xué)全真模擬經(jīng)典400題》。在編寫時，作者特別注重與學(xué)生的實際相結(jié)合，注重與考研的要求相結(jié)合。    本書每章均由以下四個部分構(gòu)成：    一、內(nèi)容概要與重難點提示——編寫該部分的目的主要使考生能明確本章的重點、難點及?？键c，讓考生弄清各知識點之間的相互聯(lián)系，以便對本章內(nèi)容有一個全局性的認識和把握。    二、考核知識要點講解——本部分對大綱所要求的知識點進行了全面地闡述，并對考試重點、難點以及常考點進行了剖析，指出了歷屆考生在運用基本概念、公式、定理等知識解題時普遍存在的問題及常犯的錯誤，同時給出了相應(yīng)的注意事項，以加深考生對基本概念、公式、定理等重點內(nèi)容的理解和正確應(yīng)用。    三、?？碱}型及其解題方法與技巧——本部分對歷年統(tǒng)考中常見題型進行了歸納分類，歸納總結(jié)了各種題型的解題方法，注重一題多解，以期開闊考生的解題思路，使所學(xué)知識融會貫通，并能綜合、靈活地解決問題。    四、題型訓(xùn)練及參考答案——本部分精選了適量的自測題，并附有參考答案和解題提示。只有適量的練習(xí)才能鞏固所學(xué)知識，復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)必須做題。為了讓考生更好地鞏固所學(xué)知識，提高實際解題能力，作者特優(yōu)化設(shè)計了與真題相仿的實戰(zhàn)訓(xùn)練題編寫在《考研數(shù)學(xué)全真模擬經(jīng)典400題》一一書中，以供考生選用。    ．    特別需要強調(diào)的是，在’98北大百年校慶之際，我們北大數(shù)學(xué)系63屆校友聚會于北大燕園，暢談中得知我們當中許多同學(xué)都在從事本科及研究生數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)研究工作，并有多年考研輔導(dǎo)的經(jīng)驗以及參加研究生入學(xué)考試閱卷的經(jīng)歷，對各類院校的考生有廣泛的接觸與了解，深知考生在考研數(shù)學(xué)備考中所面臨的困惑。為了幫助考生全面系統(tǒng)并有針對性地復(fù)習(xí)，在大家的一致建議下，由我們執(zhí)筆編寫了這本《考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書》及其姊妹篇《考研數(shù)學(xué)全真模擬經(jīng)典400題》，期望對廣大考生備考能有所裨益。

書籍目錄

第一篇  高等數(shù)學(xué)　第一章　極限、連續(xù)與求極限的方法  　內(nèi)容概要與重難點提示  　考核知識要點講解    　一、極限的概念與性質(zhì)    　二、極限存在性的判別(極限存在的兩個準則)  　　  三、無窮小及其階　　  四、求極限的方法　　  五、函數(shù)的連續(xù)性及其判斷　　  ?？碱}型及其解題方法與技巧　　  題型訓(xùn)練　　  第二章　一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念及其計算　  內(nèi)容概要與重難點提示  　考核知識要點講解    　一、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分    　二、按定義求導(dǎo)數(shù)及其適用的情形　    三、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)表，導(dǎo)數(shù)四則運算法則與復(fù)合函數(shù)微分法則　    四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用——由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)出的微分法則　　  五、分段函數(shù)求導(dǎo)法　　  六、高階導(dǎo)數(shù)及n階導(dǎo)數(shù)的求法　　  七、一元函數(shù)微分學(xué)的簡單應(yīng)用　  ?？碱}型及其解題方法與技巧　  題型訓(xùn)練　第三章　一元函數(shù)積勢概念、計算及應(yīng)用  　內(nèi)容概要與重難點提示  　考核知識要點講解    　一、一元函數(shù)積分的概念、性質(zhì)與基本定理　    二、積分法則  　  三、各類函數(shù)的積分法   　 四、反常積分(廣義積分)    　五、積分學(xué)應(yīng)用的基本方法——微元分析法    　六、一元函數(shù)積分學(xué)的幾何應(yīng)用    　七、一元函數(shù)積分學(xué)的物理應(yīng)用　　  ?？碱}型及其解題方法與技巧　　  題型訓(xùn)練　第四章　微分中值定理及其應(yīng)用  　內(nèi)容概要與重難點提示  　考核知識要點講解    　一、微分中值定理及其作用    　二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的變化    　三、一元函數(shù)的最大值與最小值問題　  ?？碱}型及其解題方法與技巧  　題型訓(xùn)練　第五章　一元函數(shù)的泰勒公式及其應(yīng)用  　內(nèi)容概要與重難點提示  　考核知識要點講解    　一、帶皮亞諾余項與拉格朗日余項的n階泰勒公式    　二、帶皮亞諾余項的泰勒公式的求法    　三、一元函數(shù)泰勒公式的若干應(yīng)用　……第二篇　線性代數(shù)第三篇　概率論與數(shù)理統(tǒng)計

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：插圖：1.微積分中研究的對象是函數(shù)。函數(shù)概念的實質(zhì)是變量之間確定的對應(yīng)關(guān)系。變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，就看是否存在一種對應(yīng)規(guī)則，使得其中一個量或幾個量定了，另一個量也就被唯一確定，前者是一元函數(shù)，后者是多元函數(shù)。函數(shù)這部分的重點是：復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和分段函數(shù)、函數(shù)記號的運算及基本初等函數(shù)與其圖象(這部分內(nèi)容貫穿全書，不另行復(fù)習(xí)。2.極限是微積分的理論基礎(chǔ)。研究函數(shù)的性質(zhì)實質(zhì)上是研究各種類型的極限，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)等等。由此可見極限的重要性。本章的重點內(nèi)容是極限。既要準確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在的條件，又要能準確地求出各種極限。求極限的方法很多，綜合起來主要有①利用極限的四則運算與冪指數(shù)運算法則；②利用函數(shù)的連續(xù)性；③利用變量替換與兩個重要極限；④利用等價無窮小因子替換；⑤利用洛必達法則；⑥分別求左、右極限；⑦數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限；⑧利用適當放大縮小法；⑨對遞歸數(shù)列先證明極限存在(常用到“單調(diào)有界數(shù)列有極限”的準則)，再利用遞歸關(guān)系求出極限；⑩利用定積分求n項和式的極限；⑩利用泰勒公式；⑥利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限。

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