數(shù)學及其認識

內容概要

高隆昌、李偉的這本《數(shù)學及其認識(第2版)》從各種角度和方向上深入討論了數(shù)學中很豐富的思想觀點，并且通過獨特的抽象數(shù)學思維模式，將生活實際及各種社會現(xiàn)象通過數(shù)學觀念梳理了一遍。
全書共分十三章，主要內容包括：數(shù)學中的幾個基本特征，數(shù)學的邏輯范疇人事，周期數(shù)學及其認識，數(shù)學按其空間形式的發(fā)展等。

書籍目錄

第一章  緒論
第二章  數(shù)學一瞥
第三章  數(shù)學中的幾個基本特征
第四章  從“對偶空間”到“二象論”
第五章  數(shù)學的邏輯范疇人事
第六章  實數(shù)再認識
第七章  加乘數(shù)學：代數(shù)學認識
第八章  周期數(shù)學及其認識
第九章  數(shù)學按其描述特征的幾種類型
第十章  數(shù)學按其空間形式的發(fā)展
第十一章  數(shù)學按其空間形式的發(fā)展深入：無窮小論
第十二章  數(shù)學的二象機制揭示
第十三章  現(xiàn)代數(shù)學與社會科學的“聯(lián)姻”基礎

章節(jié)摘錄

版權頁：   插圖：   三、無窮認識小史簡述 （1）不難看出，當初畢達哥拉斯的有理數(shù)錯誤就出自對無窮小的起碼認識不足，盡管人們很快就看到了這點，但仍然無法認識無窮小，因此產生了窮竭法以回避無窮小，事實上，當時產生的公理化方法，從思想源流來看仍屬“窮竭法”思想，當然，窮竭法并不錯，至今仍不失為數(shù)學中的一種證明方法，只是它的運用“場合”極為有限，更不能把整個數(shù)學都建立在窮竭法上，若這樣就比直覺主義思想還要狹窄了。 （2）幾乎在窮竭法產生的同時，哲學上也產生了芝諾悖論（見第二章第一節(jié)），這仍然是對無窮小認識不足引起的謬論，其實“窮竭法”不能不說是在有理數(shù)錯誤和芝諾悖論兩件大事的共同作用下形成的，的確，“窮竭法”在當時不僅作為數(shù)學方法流行于數(shù)學中，也作為一種思維方法流行于哲學界。 （3） 17世紀微積分的誕生使得數(shù)學實在不能回避無窮小了，這時芝諾悖論重又被提了出來，此后，數(shù)學和哲學與其說是為著微積分的生存而整整爭論了兩百年，倒不如說是為著對“無窮小”的認識而爭論了兩百年，是極限論的“誕生”斬斷了這個曠日持久的爭辯，使微積分學獲得了“解放”，獲得了“新生”。 （4）在十八十九世紀，微積分方法迅速發(fā)展，無窮序列、無窮級數(shù)（如泰勒級數(shù)和傅里葉級數(shù)）理論的發(fā)展就是人類對“無窮”認識的一次進展，具體說是對有序無窮集的一種認識，比如，歐拉公式：eix=cos x+isin x的證明即少不了“無窮”（具體即無窮級數(shù)），特別是在19世紀后半葉，魏爾斯特拉斯（Weierstrass）運用無窮級數(shù)構造出有名的“點點連續(xù)卻點點不可導”奇例后，開啟了數(shù)學中“病態(tài)數(shù)學”的研究，加強了分析學的嚴格特征，對數(shù)學貢獻之大使得魏氏因此被譽為數(shù)學分析之父。

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《數(shù)學及其認識(第2版)》由西南交通大學出版社出版。

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