數(shù)學(xué)及其認(rèn)識(shí)

內(nèi)容概要

高隆昌、李偉的這本《數(shù)學(xué)及其認(rèn)識(shí)(第2版)》從各種角度和方向上深入討論了數(shù)學(xué)中很豐富的思想觀(guān)點(diǎn)，并且通過(guò)獨(dú)特的抽象數(shù)學(xué)思維模式，將生活實(shí)際及各種社會(huì)現(xiàn)象通過(guò)數(shù)學(xué)觀(guān)念梳理了一遍。
全書(shū)共分十三章，主要內(nèi)容包括：數(shù)學(xué)中的幾個(gè)基本特征，數(shù)學(xué)的邏輯范疇人事，周期數(shù)學(xué)及其認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)按其空間形式的發(fā)展等。

書(shū)籍目錄

第一章  緒論
第二章  數(shù)學(xué)一瞥
第三章  數(shù)學(xué)中的幾個(gè)基本特征
第四章  從“對(duì)偶空間”到“二象論”
第五章  數(shù)學(xué)的邏輯范疇人事
第六章  實(shí)數(shù)再認(rèn)識(shí)
第七章  加乘數(shù)學(xué)：代數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)
第八章  周期數(shù)學(xué)及其認(rèn)識(shí)
第九章  數(shù)學(xué)按其描述特征的幾種類(lèi)型
第十章  數(shù)學(xué)按其空間形式的發(fā)展
第十一章  數(shù)學(xué)按其空間形式的發(fā)展深入：無(wú)窮小論
第十二章  數(shù)學(xué)的二象機(jī)制揭示
第十三章  現(xiàn)代數(shù)學(xué)與社會(huì)科學(xué)的“聯(lián)姻”基礎(chǔ)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：   插圖：   三、無(wú)窮認(rèn)識(shí)小史簡(jiǎn)述 （1）不難看出，當(dāng)初畢達(dá)哥拉斯的有理數(shù)錯(cuò)誤就出自對(duì)無(wú)窮小的起碼認(rèn)識(shí)不足，盡管人們很快就看到了這點(diǎn)，但仍然無(wú)法認(rèn)識(shí)無(wú)窮小，因此產(chǎn)生了窮竭法以回避無(wú)窮小，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)產(chǎn)生的公理化方法，從思想源流來(lái)看仍屬“窮竭法”思想，當(dāng)然，窮竭法并不錯(cuò)，至今仍不失為數(shù)學(xué)中的一種證明方法，只是它的運(yùn)用“場(chǎng)合”極為有限，更不能把整個(gè)數(shù)學(xué)都建立在窮竭法上，若這樣就比直覺(jué)主義思想還要狹窄了。 （2）幾乎在窮竭法產(chǎn)生的同時(shí)，哲學(xué)上也產(chǎn)生了芝諾悖論（見(jiàn)第二章第一節(jié)），這仍然是對(duì)無(wú)窮小認(rèn)識(shí)不足引起的謬論，其實(shí)“窮竭法”不能不說(shuō)是在有理數(shù)錯(cuò)誤和芝諾悖論兩件大事的共同作用下形成的，的確，“窮竭法”在當(dāng)時(shí)不僅作為數(shù)學(xué)方法流行于數(shù)學(xué)中，也作為一種思維方法流行于哲學(xué)界。 （3） 17世紀(jì)微積分的誕生使得數(shù)學(xué)實(shí)在不能回避無(wú)窮小了，這時(shí)芝諾悖論重又被提了出來(lái)，此后，數(shù)學(xué)和哲學(xué)與其說(shuō)是為著微積分的生存而整整爭(zhēng)論了兩百年，倒不如說(shuō)是為著對(duì)“無(wú)窮小”的認(rèn)識(shí)而爭(zhēng)論了兩百年，是極限論的“誕生”斬?cái)嗔诉@個(gè)曠日持久的爭(zhēng)辯，使微積分學(xué)獲得了“解放”，獲得了“新生”。 （4）在十八十九世紀(jì)，微積分方法迅速發(fā)展，無(wú)窮序列、無(wú)窮級(jí)數(shù)（如泰勒級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)）理論的發(fā)展就是人類(lèi)對(duì)“無(wú)窮”認(rèn)識(shí)的一次進(jìn)展，具體說(shuō)是對(duì)有序無(wú)窮集的一種認(rèn)識(shí)，比如，歐拉公式：eix=cos x+isin x的證明即少不了“無(wú)窮”（具體即無(wú)窮級(jí)數(shù)），特別是在19世紀(jì)后半葉，魏爾斯特拉斯（Weierstrass）運(yùn)用無(wú)窮級(jí)數(shù)構(gòu)造出有名的“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)卻點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)”奇例后，開(kāi)啟了數(shù)學(xué)中“病態(tài)數(shù)學(xué)”的研究，加強(qiáng)了分析學(xué)的嚴(yán)格特征，對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)之大使得魏氏因此被譽(yù)為數(shù)學(xué)分析之父。

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《數(shù)學(xué)及其認(rèn)識(shí)(第2版)》由西南交通大學(xué)出版社出版。

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