高等數(shù)學

前言

　　20世紀90年代以來，隨著我國高等教育的不斷調(diào)整、改革，高等職業(yè)技術(shù)教育得到了迅猛發(fā)展，一大批以普通高中畢業(yè)生和中等職業(yè)技術(shù)學校畢業(yè)生為生源，以培養(yǎng)經(jīng)濟建設和社會發(fā)展急需的中高級應用型、技能型人才為目標的高等職業(yè)技術(shù)學院應運而生?！　「叩葦?shù)學作為高等職業(yè)技術(shù)教育的一門必修的公共基礎課，是學生學習有關專業(yè)知識、專門技術(shù)及獲取新知識和能力的重要基礎，具有很強的工具功能；同時，高等數(shù)學也對提高學生的文化素質(zhì)，培養(yǎng)其邏輯思維能力以及分析問題、解決問題的能力有著重要影響?！　”窘滩氖窃谡J真研究、領會教育部制定的《高職高專教育高等數(shù)學課程教學基本要求》的基礎上，結(jié)合我院多年高等數(shù)學教學的經(jīng)驗，并吸收其他同類教材的優(yōu)點，綜合考慮目前高職高專生源的具體狀況編寫而成的。本教材具有以下特點：　　1.每章前都有本章學習基本要求，使學習者學習時目標更明確。　　2.盡量從知識的實際背景出發(fā)引入知識，注重概念與定理的直觀描述，淡化了數(shù)學理論，邏輯推理做到適可而止。　　3.每節(jié)后配有相應的習題，供學習者練習。各章還都配有復習題和自測題，其中復習題分成A、B、應用題三部分，A部分的題為基礎題和難度適中的題，要求所有學生都會做；B部分的題是有一定難度和靈活性的題，為有能力并想進一步深造的學生留有接口；應用題是用來檢驗學生用所學知識解決實際問題的能力?！　?.教材中選編了部分數(shù)學史和某些數(shù)學知識應用性的閱讀材料，既能讓學生了解數(shù)學發(fā)展的歷程，又能增強學生應用數(shù)學知識的能力?！　?.在給學習者的建議部分，特別強調(diào)了非智力因素，如學習態(tài)度、學習方法等在高等數(shù)學學習過程中的重要性。　　本書引文、第1章、第2章和第7章由賈彪編寫，第3章由曹可編寫，第4章、第5章和第6章由劉萍編寫，劉一飛、王翠菁編寫了部分閱讀材料和習題，王文錦、劉連新、王慶云編寫、校對了書后部分習題以及附錄，全書由賈彪、劉萍統(tǒng)稿?！　≡诒緯帉戇^程中，我們參閱了國內(nèi)外高等數(shù)學的一些優(yōu)秀教材，并為體現(xiàn)內(nèi)容的典型性與廣泛性，書中部分例題與練習題引自這些教材，在此一并表示感謝?！　∮捎诰幷咚剿?，書中定有不盡如人意的地方，敬請讀者指正。

內(nèi)容概要

本書是依據(jù)教育部最新制定的《高職高專教育高等數(shù)學課程教學基本要求》和《高職高專教育人才培養(yǎng)目標及規(guī)格》編寫而成的。    本書汲取了部分一線優(yōu)秀教師實際教學中的教改成果和國內(nèi)外同類教材的優(yōu)點，更強調(diào)知識點引入的實際背景，突出知識的應用。全書內(nèi)容包括函數(shù)與極限、導數(shù)與微分、導數(shù)的應用、不定積分(常微分方程簡介)、定積分及其應用、多元函數(shù)微積分、無窮級數(shù)等。書中每小節(jié)都附有習題，每章還附有復習題和自測題，題型豐富、題量大，便于學生自學。書中還編寫了部分數(shù)學史知識和數(shù)學應用性閱讀材料，以期學生開闊視野，增加數(shù)學修養(yǎng)，增強應用數(shù)學知識的能力。    本書可作為三年制高職高專、成人高等學歷教育的數(shù)學教材，也可作為專升本或?qū)＾D(zhuǎn)本學生自學的參考教材。

書籍目錄

0  引文  0.1  感受微積分  0.2  給學習者的建議1  函數(shù)與極限  1.1  函數(shù)    1.1.1  函數(shù)的概念    1.1.2  函數(shù)的表示法    1.1.3  函數(shù)的基本性質(zhì)    1.1.4  基本初等函數(shù)    1.1.5  復合函數(shù)    1.1.6  初等函數(shù)    習題1.1  1.2  函數(shù)的極限    1.2.1  數(shù)列的極限    1.2.2  函數(shù)的極限    習題1.2  1.3  無窮小與無窮大極限運算法則    1.3.1  無窮小與無窮大    1.3.2  極限運算法則    習題1.3  1.4  兩個重要極限無窮小的比較    1.4.1  兩個重要極限    1.4.2  無窮小的比較    習題1.4  1.5  函數(shù)的連續(xù)性    1.5.1  連續(xù)函數(shù)    1.5.2  函數(shù)的間斷點    1.5.3  初等函數(shù)的連續(xù)性    1.5.4  閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)    習題1.5  復習題一  自測題一2  導數(shù)與微分  2.1導數(shù)    2.1.1  三個實例    2.1.2  導數(shù)的定義    2.1.3  導數(shù)的幾何意義    2.1.4  函數(shù)的可導與連續(xù)之間的關系    習題2.1  2.2  導數(shù)公式與函數(shù)和、差、積、商的求導法則    2.2.1  導數(shù)基本公式    2.2.2  函數(shù)和、差、積、商的求導法則    習題2.2  2.3  復合函數(shù)和反函數(shù)的導數(shù)    習題2.3  2.4  隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)    2.4.1  隱函數(shù)的導數(shù)    2.4.2  由參數(shù)方程確立的函數(shù)的導數(shù)    習題2.4  2.5  自然科學和社會科學中的變化率高階導數(shù)    2.5.1  在化學中的應用    2.5.2  在經(jīng)濟學中的應用    2.5.3  高階導數(shù)    習題2.5  2.6  函數(shù)的微分    習題2.6  復習題二    目測題二3  導數(shù)的應用  3.1  微分中值定理與洛必達法則    3.1.1  微分中值定理    3.1.2  洛必達法則    習題3.1  3.2  函數(shù)的單調(diào)性與極值    3.2.1  函數(shù)的單調(diào)性    3.2.2  函數(shù)的極值    習題3.2  3.3  函數(shù)的最值與應用    3.3.1  函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值    3.3.2  最值的應用（優(yōu)化問題）    習題3.3  3.4  函數(shù)的凹凸性、拐點及函數(shù)圖形的描繪    3.4.1  曲線的凹凸性與拐點    3.4.2  函數(shù)圖形的描繪    習題3.4  3.5  曲率    3.5.1  弧微分    3.5.2  曲率    習題3.5  復習題三  自測題三4  不定積分  4.1  不定積分與基本積分公式    4.1.1  原函數(shù)與不定積分的概念    4.1.2  基本積分公式    4.1.3  不定積分的性質(zhì)    習題4.1  4.2  積分的方法    4.2.1  第一類換元積分法（湊微分法）    4.2.2  第二類換元積分法    4.2.3  分部積分法    4.2.4  積分表的使用    習題4.2  4.3  常微分方程    4.3.1  微分方程的概念    4.3.2  可分離變量的微分方程    習題4.3  4.4  一階線性微分方程及應用    4.4.1  一階線性微分方程    4.4.2  一階微分方程的簡單應用    習題4.4  復習題四  自測題四5  定積分及其應用  5.1  定積分的概念    5.1.1  引例    5.1.2  定積分的定義    5.1.3  定積分的幾何意義    5.1.4  定積分的性質(zhì)    習題5.1  5.2  微積分基本公式    5.2.1  積分可變上限函數(shù)    5.2.2  微積分基本公式——牛頓-萊布尼茲公式    習題5.2  5.3  定積分的積分法    5.3.1  定積分的換元積分法    5.3.2  定積分的分部積分法    習題5.3  5.4  廣義積分    5.4.1  無窮區(qū)間上的廣義積分    5.4.2  界函數(shù)的廣義積分    習題5.4  5.5  定積分在幾何上的應用    5.5.1  微元法    5.5.2  平面圖形的面積    5.5.3  旋轉(zhuǎn)體的體積    習題5.5  5.6  定積分在物理上的應用    5.6.1  變力做功    5.6.2  液體的壓力    習題5.6  復習題五  自測題五6  多元函數(shù)微積分  6.1  多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的極限和連續(xù)性    6.1.1  多元函數(shù)的概念一    6.1.2    元函數(shù)的極限    6.1.3  二元函數(shù)的連續(xù)性’    習題6.1  6.2  偏導數(shù)    6.2.1  偏導數(shù)的概念    6.2.2  高階偏導數(shù)    6.2.3  多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的求導法則.    習題6.2  6.3  全微分及其應用    6.3.1  全微分的概念    6.3.2  全微分在近似計算中的應用    習題6.3  6.4  二元函數(shù)的極值與最值    6.4.1  二元函數(shù)的極值    6.4.2  元函數(shù)的最值    6.4.3  條件極值    6.4.4  最小二乘法    習題6.4  6.5  二重積分的概念與性質(zhì)    6.5.1  兩個相似問題    6.5.2  重積分的概念    6.5.3    重積分的性質(zhì)    習題6.5  6.6  二重積分的計算    6.6.1    重積分在直角坐標系中的計算    6.6.2    重積分在極坐標中的計算    習題6.6  6.7  二重積分的應用    6.7.1    重積分在幾何上的應用——體積    6.7.2    重積分在物理上的應用    習題6.7  復習題六  自測題六7  無窮級數(shù)  7.1  數(shù)項級數(shù)    7.1.1  數(shù)項級數(shù)的基本概念    7.1.2  級數(shù)收斂的必要條件    7.1.3  級數(shù)的基本性質(zhì)    7.1.4  級數(shù)的積分判別法與應用    習題7.1  7.2  數(shù)項級數(shù)斂散性判別法    7.2.1  正項級數(shù)及其斂散性判別法    7.2.2  交錯級數(shù)及其斂散性判別法    7.2.3  任意項級數(shù)斂散性判別法    習題7.2  7.3  冪級數(shù)    7.3.1  冪級數(shù)及其收斂域    7.3.2  冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)    習題7.3  7.4  函數(shù)展開成冪級數(shù)    7.4.1  泰勒（Taylor）公式與麥克勞林（Machaurin）公式    7.4.2  泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)    7.4.3  函數(shù)展開成冪級數(shù)    7.4.4  函數(shù)冪級數(shù)展開式的應用    習題7.4  復習題七  自測題七附錄Ⅰ  初等數(shù)學中的常用公式附錄Ⅱ  積分表參考答案參考文獻

章節(jié)摘錄

　　2　導數(shù)與微分　　一、學習基本要求　　1.理解導數(shù)的概念，了解導數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。　　2.了解導數(shù)作為函數(shù)變化率的實際意義?！　?.熟練掌握導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)求導法則和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。　　4.了解高階導數(shù)的概念，會求初等函數(shù)的二階導數(shù)?！　?.會求隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階（較簡單的）導數(shù)?！　?.了解一些實際問題中的相關變化率問題?！　?.理解微分的概念，了解微分概念中局部線性化的思想，了解微分的四則運算法則和一階微分形式不變性，熟練掌握微分基本公式?！　《?、應用能力要求　　能用導數(shù)的概念解釋自然科學和社會科學中的變化率問題?！　∪绻硞€變化過程能夠用一個函數(shù)來刻畫，應用前面的知識我們能夠?qū)瘮?shù)的一些基本性質(zhì)以及某種變化趨勢進行簡單的研究。但是，在現(xiàn)實世界中人們往往更關注在這個變化過程中一個量隨另一個量變化的快慢程度的特性，以及當一個量有微小改變時，如果另一個變量的改變量也是微小的，如何近似計算它。由一個量隨另一個量變化的快慢程度問題引出了函數(shù)的導數(shù)的概念；由函數(shù)改變量的近似計算問題引出了另一重要概念——函數(shù)的微分?！　?shù)和微分是微分學中兩個最重要的基本概念，也是高等數(shù)學的重點內(nèi)容之一。本章將從實際問題出發(fā)建立函數(shù)的導數(shù)和微分的概念，同時給出導數(shù)和微分的基本公式、運算法則，在學習時應熟練掌握它們。　　……

編輯推薦

　　《21世紀高等學校教材：高等數(shù)學》共分7個章節(jié)，主要對高等數(shù)學的基礎知識作了介紹，具體內(nèi)容包括函數(shù)與極限、導數(shù)與微分、導數(shù)的應用、不定積分、定積分及其應用等。該書可供各大專院校作為教材使用，也可供從事相關工作的人員作為參考用書使用。

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