2014年考研數(shù)學(xué)精英計劃線性代數(shù)常考題型13問

前言

前言（一）如何使考研數(shù)學(xué)的備考復(fù)習(xí)更加高效，又如何將復(fù)習(xí)的成果盡快轉(zhuǎn)化為應(yīng)試實戰(zhàn)能力，這是每一位準備參加碩士研究生入學(xué)考試的朋友最為關(guān)心的問題。解決這個問題不是靠更多的資金投入，也不需要耗費更多的時間，而是靠對碩士研究生入學(xué)考試的內(nèi)在規(guī)律和內(nèi)容的把握，以及基于這種理解和把握下的對備考工作科學(xué)的規(guī)劃和行之有效的方法。精英計劃系列叢書的陸續(xù)出版，正是為廣大考生朋友的備考工作提供了一種新思路、新途徑和新方法?！犊佳袛?shù)學(xué)精英計劃?？碱}型X問》是考研數(shù)學(xué)精英計劃的一個重要組成部分，該系列叢書在綜合考試大綱和歷年考試分析的基礎(chǔ)上，將考研數(shù)學(xué)最終歸結(jié)為要集中解決的X個問題。這X問涵蓋了實際考試中最常見、最基本、也是最重要的內(nèi)容，深刻回答了考研數(shù)學(xué)要考什么的問題。與《考研數(shù)學(xué)精英計劃最?？颊婕倜}400條》相類似，《考研數(shù)學(xué)精英計劃?？碱}型X問》也是目前市場上首次出現(xiàn)的將考研數(shù)學(xué)歸納為若干問題講述的考研輔導(dǎo)書，書中體現(xiàn)了精英計劃系列叢書所要強調(diào)的另外一個思想和理念：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要突出重點、直達主題，提出問題、解決問題，帶著問題學(xué)。這就為我們的備考復(fù)習(xí)提供了一個量化指標和努力的方向。如同打仗一樣，踏踏實實地一個一個問題去復(fù)習(xí)，積小勝為大勝，攻城略地，最終達到全勝。還要說明的是，《考研數(shù)學(xué)精英計劃?？碱}型X問》不是簡單的一題一問，而是一個綜合類型，目的是引導(dǎo)大家學(xué)會綜合運用所學(xué)知識，快速解決數(shù)學(xué)問題，這一點恰恰是我們備考復(fù)習(xí)必須要突破的關(guān)鍵點。墩實基礎(chǔ)，強化綜合應(yīng)用能力是我們精英計劃系列叢書的兩個基本點，既是出發(fā)點，又是著力點。《考研數(shù)學(xué)精英計劃?？碱}型X問》和《考研數(shù)學(xué)精英計劃最?？颊婕倜}400條》相輔相承，共同構(gòu)成一個更具針對性、更貼近實戰(zhàn)和更加高效的考研數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)體系。將考研數(shù)學(xué)的內(nèi)容歸結(jié)為若干問題主要是基于以下幾點的考慮：首先，基于考試科目（高等數(shù)學(xué)或微積分，線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計）的學(xué)科特點。它們作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科，發(fā)展得已經(jīng)十分成熟，體系和內(nèi)容非常穩(wěn)定，而且與時事無關(guān)。其次，全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)考試開考以來，考試大綱歷經(jīng)多次變革已經(jīng)到位，從2011年開始，進入了卷庫命題時代，岀卷方式、考試類別、考試內(nèi)容、考試要求和考卷的結(jié)構(gòu)形式等都處在一個相對穩(wěn)定的時期。再次，近30年的考研真題說明，題型結(jié)構(gòu)、風(fēng)格特點等都很難有新的創(chuàng)意，可以預(yù)料，對以往試題的局部調(diào)整和重組，將是未來命題工作中的常態(tài)。最后，筆者從事考研輔導(dǎo)和輔導(dǎo)教材的編寫工作20余年，熟悉全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)考試的演變發(fā)展過程和背景，能準確把握考試的重點、難點、熱點和變化趨勢，因此也有能力對數(shù)學(xué)考試的內(nèi)容進行科學(xué)的歸納總結(jié)，從而確保以問題帶動備考復(fù)習(xí)方法的可靠性和有效性。（二）《考研數(shù)學(xué)精英計劃?？碱}型X問》的主要特色包括：每一問的問題在整個考研數(shù)學(xué)中的位置、趨勢、難易度，以及對該問題的復(fù)習(xí)建議；問題的核心內(nèi)容、重要內(nèi)容和外延，及問題之間的相互關(guān)系；問題所涉及的重要知識點的歸納、梳理、詮釋和必要的提示；重要題型的應(yīng)對思路、算法和注意事項等。在問題的分析和討論上，我們主要通過精選典型例題來說明問題的內(nèi)涵和外延、題型特點和難易度；在算法上，盡可能提供多種解法，對于重要方法和提示，以點撥方式列出。為了更貼近考研實際，選題盡可能以歷年真題為主，同時也補充必要的題型以便更全面地詮釋問題；在結(jié)構(gòu)上，我們綜合考研的命題趨勢、題型的典型性、重要性、問題的外延和發(fā)展，將例題分為A、B、C三級。A、B級題更典型、更符合當(dāng)前考研數(shù)學(xué)的命題趨勢，當(dāng)然也是大家復(fù)習(xí)的重點， C級通常是對題型可能出現(xiàn)的外延或擴展做最后的補充。在每個類型后都配以精妙的小結(jié)，進行綜合點評。（三）根據(jù)我們多年的輔導(dǎo)、教學(xué)經(jīng)驗，我們發(fā)現(xiàn)：對于每個參加數(shù)學(xué)考試的考生而言，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)固然重要，但考試成績的好壞關(guān)鍵還在于后期的復(fù)習(xí)是否到位?；A(chǔ)薄弱的考生只要踏實認真，同樣可以厚積薄發(fā)，取得優(yōu)異成績。我們深信《考研數(shù)學(xué)精英計劃?？碱}型X問》系列叢書的推出將會為你們的成功飛躍插上隱形的翅膀。（四）本書是在對考試大綱和歷年線性代數(shù)真題高頻考點分析研究的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出13個問題，并對其作系統(tǒng)的分析和介紹的。本書以矩陣為主線，以向量組的線性相關(guān)性的討論、求解線性方程組、矩陣的相似對角化和化二次型為標準形和正定性的判別為主要內(nèi)容，行列式、矩陣的運算和秩是討論以上主要內(nèi)容的工具和載體。其中有7個問題是與主要內(nèi)容有關(guān)，是構(gòu)成兩大解答題的主體，占考分的64．7%的權(quán)重，另外四個與矩陣內(nèi)容有關(guān)，一個與行列式有關(guān)，另一個是只對數(shù)學(xué)一考生要求的有關(guān)向量空間的內(nèi)容。從每年全國碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試閱卷情況看，要想在線性代數(shù)部分拿高分，不可忽視對這些矩陣及其相關(guān)知識的了解。筆者在編寫過程中，十分注意體現(xiàn)線性代數(shù)學(xué)科自身的特點，更注重從整體上把握每個問題中涵蓋的基本概念，注意把各個知識點縱向連接融合梳理，以解決算法和應(yīng)用問題。為了更好地發(fā)揮本書的效能，建議在使用本書前應(yīng)對相關(guān)的知識點進行較為系統(tǒng)的、全面的復(fù)習(xí)和了解。在閱讀本書時應(yīng)該重復(fù)多遍、溫故知新、熟能生巧，以增加悟性，在復(fù)習(xí)后還應(yīng)加強解題練習(xí)，尤其是做模擬試卷，體驗實戰(zhàn)。我們相信，只要合理、科學(xué)地安排備考復(fù)習(xí)，腳踏實地、循序漸進，必有回報，心想事成。

內(nèi)容概要

《跨考教育?2014精英書系:考研數(shù)學(xué)精英計劃線性代數(shù)?？碱}型13問》是在對考試大綱和歷年線性代數(shù)真題高頻考點分析研究的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出13個問題，并對其作系統(tǒng)的分析和介紹的?！犊缈冀逃?2014精英書系:考研數(shù)學(xué)精英計劃線性代數(shù)?？碱}型13問》以矩陣為主線，以向量組的線性相關(guān)性的討論、求解線性方程組、矩陣的相似對角化和化二次型為標準形和正定性的判別為主要內(nèi)容，行列式、矩陣的運算和秩是討論以上主要內(nèi)容的工具和載體。其中有7個問題是與主要內(nèi)容有關(guān)，是構(gòu)成兩大解答題的主體，占考分的64.7%的權(quán)重，另外四個與矩陣內(nèi)容有關(guān)，一個與行列式有關(guān)，另一個是只對數(shù)學(xué)一考生要求的有關(guān)向量空間的內(nèi)容。

作者簡介

嚴守權(quán)跨考考研研究院數(shù)學(xué)研究中心常務(wù)顧問，全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)閱卷組組長，中國頂級考研名師，中國人民大學(xué)教授、博士，被譽為“高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)第一人”；二十余年考研數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷，積累了極為豐富的考研輔導(dǎo)經(jīng)驗?！皵?shù)學(xué)閱卷人”書系主編，《求學(xué)·考研》雜志考研高級顧問。主講：高等數(shù)學(xué)徐兵跨考考研研究院數(shù)學(xué)研究中心常務(wù)顧問，全國考研數(shù)學(xué)試卷前閱卷組組長，北京航空航天大學(xué)教授、博士。在《北大數(shù)學(xué)研究》《數(shù)學(xué)研究》等刊物上發(fā)表論文三十余篇，并參與主編好學(xué)網(wǎng)考研《數(shù)學(xué)》輔導(dǎo)系列叢書?！皵?shù)學(xué)閱卷人”書系主編，《求學(xué)·考研》雜志考研高級顧問。主講：高等數(shù)學(xué)

書籍目錄

第1問 行列式有哪幾種常用計算方法？ 第2問 矩陣可逆有哪幾種等價關(guān)系？如何判別？ 第3問 有哪些必須了解的重要矩陣及題型？ 第4問 常見的向量組線性相關(guān)的討論有哪些基本類型、特點和對策？ 第5問 向量組和矩陣的秩有什么重要結(jié)論？ 第6問 如何進行方程組解的討論并求解？ 第7問 什么條件下，兩個方程組同解和有公共解？ 第8問 特征值有什么基本性質(zhì)和求法？ 第9問 什么叫矩陣的對角化？如何對角化？ 第10問 什么是二次型的標準形、規(guī)范性？如何化為標準形、規(guī)范形？ 第11問 什么是二次型的正定性？如何判別正定性？ 第12問 什么是矩陣的等價、相似、合同關(guān)系？如何區(qū)分？ 第13問 什么是n維向量空間的基、標準正交基及基變換和過渡矩陣？

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   三、問題評析與歸納 （1）兩個線性方程組解的討論是一個重要考點，由于它可能出現(xiàn)在解答題，故占分較多，而且它在大學(xué)教科書中很少涉及，考生比較生疏，容易忽略，因此要特別引起關(guān)注。 （2）兩個線性方程組解的討論，主要是兩個線性方程組同解關(guān)系的討論，兩個線性方程組有無公共解的討論和圍繞AB=O，方程組Ax=0與By=0（或BTy=0）之間解的關(guān)系的討論，相對而言，它要比單純求一個方程組更為復(fù)雜、更具綜合性，復(fù)習(xí)時，首先應(yīng)在理論上了解它們內(nèi)在的機理，進而從多個角度掌握思考解決問題的方法。 （3）線性方程組A1x=b1與A2x=b2同解關(guān)系的討論可以從以下幾個方面去理解，并有相應(yīng)的結(jié)論， ①兩個線性方程組的同解關(guān)系是一個雙向關(guān)系，即方程組A1x=b,的全部解都是A2X=b2的解，反之方程組A2x=b2的全部解也都是A1x=b1的解，具體討論時，均可從其中某一個方程組的解都是另一個方程組的解的角度人手，但不要忘記必須再驗證另一個方程組的解是都是這一個方程組的解。

編輯推薦

本書是我們獻給考研學(xué)子的一份高效且實用的禮物。這是一本全方位、有特色、有成效、高品質(zhì)的精品輔導(dǎo)書，本書特色如下：1綜合考研命題趨勢、題型的典型性和重要性，將問題分為A，B，C三級；2對重要解題技巧、典型運算錯誤以點撥形式列出；3在每個類型后都配以小結(jié)，進行綜合點評；4在問題的最后，是評析和歸納。本書必將開闊考生的視野，拓展考生的思維，為考生取得好成績提供保障。后續(xù)我們還會出版《考研數(shù)學(xué)精英計劃概率論與數(shù)理統(tǒng)計?？碱}型11問》（嚴守權(quán)徐兵）、《考研數(shù)學(xué)精英計劃高等數(shù)學(xué)?？碱}型36問》（徐兵嚴守權(quán)）、《考研數(shù)學(xué)精英計劃微積分?？碱}型30問》（徐兵嚴守權(quán)），讓你輕松學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)，自如對付考試，這套圖書將會讓你真切感受到學(xué)好數(shù)學(xué)其實是很輕松滴，遠沒有想象的那么困難。

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