基本關系與雙林格爾

內容概要

通過推廣Hall與Steinitz的工作，Ringel于1990年引入了finitary代數的
Hall代數。后經Ringel，Green，Imsztig等人的發(fā)展，Ringel-Hall代數成為量子群和Kac-Moody李代數的一個最佳實現模型。Ringel-Hall代數方法因此成為量子群研究中的一個重要工具。特別地，代數表示論的方法和技巧可以用來研究量子群和李代數的結構和表示。
陳江榮編寫的《基本關系和雙林格-霍爾代數》主要研究了Ringel-Hall
代數的基本關系以及仿射型Ringel-Hall代數的結構和表示。主要工作分為以下三個部分：
第一，Ringel的一個重要發(fā)現是，在Ringel-Hall代數中，兩個不同構的單模Si與Sj滿足所謂的基本關系。Ringel的證明是基于Ext
(sj，si)=0或 Ext
(sj，si)=0的假設。我們推廣了Ringel的結果，首先證明了沒有上述假設條件，基本關系仍然成立；進一步證明了Ringel-Hall代數滿足高階基本關系。通過定義扭Ringel-Hall代數，基本關系和高階基本關系剛好給出了量子Serre關系與高階量子SetTe關系。由此說明，量子Serre關系具有“范”
性。另外，作為高階基本關系的一個應用，我們證明了含有兩個點的循環(huán)箭圖上的合成半群代數(定義見§3.3)與其generic合成子代數(在q=0時)Pi
同構。
第二，《基本關系和雙林格-霍爾代數》研究了tame型Ringel-Hall代數的一類子代數(由合成代數與一個管上的模生成)，證明了這些子代數具有Hopf代數結構。當Q是一個A型非循環(huán)箭圖且管狀分支取為一個非齊次管或一個次數為l的齊次管時，我們給出了這類子代數的生成元和生成關系并證明了這類子代數與循環(huán)箭圖的Ringel-Hall代數同構。因此，我們可以用非循環(huán)箭圖上的Ringel-
Hall代數結構去研究循環(huán)箭圖上的Ringel-Hall代數。
第三，《基本關系和雙林格-霍爾代數》的第三部分研究了含有兩個點的循環(huán)箭圖△2的double Rin-
gel-Hall代數D(△2)的有限維表示。參考文獻[4]中，作者利用仿射量子群的Drinfeld實現刻畫了量子群Uv
(sl2)的有限維不可約表示，基于這項工作，我們構造了有限維不可約D(△2)-權模。確切地說，我們從兩個不同角度給出了不可約D(△2)-權模的刻畫，并建立了D(△2)-權模與有無限個變元的多項式代數C[z1
lZ≥1]一模之間的對應關系。

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