微積分基礎(chǔ)

前言

21世紀(jì)是一個(gè)變幻莫測(cè)、催人奮進(jìn)的時(shí)代，科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，知識(shí)更新日新月異，希望、困惑、挑戰(zhàn)隨時(shí)都有可能出現(xiàn)在每一個(gè)社會(huì)成員的生活之中。20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼（Johny on Neumann，1903－1957）曾指出：“微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就，對(duì)它的重要性無(wú)論作怎樣的估計(jì)都不會(huì)過(guò)分?！蓖瑫r(shí)，他又被稱為計(jì)算機(jī)之父，他發(fā)明的“流程圖”溝通了數(shù)學(xué)語(yǔ)言與計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，因而誕生了世界上第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)，開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)發(fā)展的新時(shí)代。微積分是人類文明發(fā)展史上理性智慧的精華，它的出現(xiàn)，不僅徹底更新了數(shù)學(xué)的面貌，而且也促進(jìn)了整個(gè)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，目前，微積分的理論與方法已廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)乃至社會(huì)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，它提供給人們的不僅是一種高級(jí)的數(shù)學(xué)技術(shù)，而且是一種人類進(jìn)步所必需的文化素質(zhì)和能力。誠(chéng)然，學(xué)習(xí)和掌握一定程度的微積分知識(shí)，不僅是對(duì)理工類學(xué)生的要求，而且也是對(duì)經(jīng)濟(jì)管理、人文科學(xué)等各類學(xué)生的基本要求和必備要素，但是由于數(shù)學(xué)的抽象表達(dá)和符號(hào)語(yǔ)言與人們的實(shí)際生活距離較大，給微積分的教與學(xué)帶來(lái)了很大的障礙和困難，因此在大學(xué)的“微積分”教學(xué)過(guò)程中仍然存在許多不盡如人意的地方：抽象難教，枯燥難學(xué)，空洞難用，以致使本來(lái)生動(dòng)實(shí)用的一門課程成為學(xué)校中老師與學(xué)生的難點(diǎn)；以致使微積分這一近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就，難以為人們所普及、運(yùn)用，難以更好地服務(wù)于社會(huì)。

內(nèi)容概要

本書(shū)以微積分為核心，在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中結(jié)合使用數(shù)學(xué)軟件，通過(guò)參與“演示與實(shí)驗(yàn)”幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的一些抽象概念和理論，并方便、簡(jiǎn)捷地用計(jì)算機(jī)來(lái)解復(fù)雜的實(shí)際運(yùn)算問(wèn)題。本書(shū)引入國(guó)外先進(jìn)的教學(xué)模式和教學(xué)理念，注重知識(shí)的實(shí)用性、生動(dòng)性和趣味性，化解了過(guò)難過(guò)繁的運(yùn)算技巧，將學(xué)生從枯燥的公式和大量的運(yùn)算中解放出來(lái)。

書(shū)籍目錄

第一章  數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)  第一節(jié)  計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的關(guān)系    一、計(jì)算、計(jì)算方法和計(jì)算工具    二、計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件    三、Mathematica的特點(diǎn)  第二節(jié)  初等數(shù)學(xué)的計(jì)算機(jī)算法    一、Mathematica的啟動(dòng)和運(yùn)行    二、用Mathematica作算術(shù)運(yùn)算    三、用Mathematica作代數(shù)運(yùn)算    四、用Mathematica作函數(shù)運(yùn)算    五、用Mathematica解方程    六、用Mathematica作圖第二章  極限與連續(xù)  第一節(jié)  數(shù)列的極限    一、數(shù)列的概念    二、數(shù)列的極限  第二節(jié)  函數(shù)的極限    一、函數(shù)極限的定義    二、函數(shù)極限的性質(zhì)    三、函數(shù)極限的基本運(yùn)算  第三節(jié)  利用Mathematica計(jì)算極限  第四節(jié)  函數(shù)的連續(xù)性    一、f(x)在點(diǎn)x0的連續(xù)    二、間斷點(diǎn)的類型    三、f(x)在區(qū)間上的連續(xù)性第三章  一元函數(shù)微分學(xué)  第一節(jié)  導(dǎo)數(shù)的概念    一、導(dǎo)數(shù)概念實(shí)例    二、函數(shù)的變化率——導(dǎo)數(shù)    三、求函數(shù)y=f(x)的變化率(導(dǎo)數(shù))的方法    四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系    五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義  第二節(jié)  導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算    一、用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)    二、導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式    三、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    四、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式    五、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    六、利用Mathematica求導(dǎo)數(shù)  第三節(jié)  隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    二、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)  第四節(jié)  高階導(dǎo)數(shù)    一、高階導(dǎo)數(shù)的概念    二、高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則    三、利用Mathematica求高階導(dǎo)數(shù)  第五節(jié)  函數(shù)的微分    一、微分的定義    二、可導(dǎo)與微分的關(guān)系    三、微分的幾何意義    四、微分的運(yùn)算法則    五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用    六、利用Mathematica求微分第四章  導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用  第一節(jié)  利用導(dǎo)數(shù)求極限    一、中值定理簡(jiǎn)介    二、洛比達(dá)法則  第二節(jié)  函數(shù)的單調(diào)性  第三節(jié)  函數(shù)的極值與最值    一、函數(shù)的極值    二、函數(shù)的最大值與最小值第四節(jié)  導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用    一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中幾個(gè)常用函數(shù)    二、邊際函數(shù)  第五節(jié)  曲線的凹凸性  第六節(jié)  導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的Mathematica求解第五章  不定積分和定積分  第一節(jié)  不定積分    一、不定積分的概念    二、不定積分的基本公式    三、不定積分的性質(zhì)    四、基本積分方法    五、利用Mathematica計(jì)算不定積分  第二節(jié)  定積分    一、定積分的概念    二、定積分的性質(zhì)    三、微積分的基本是理    四、利用Mathematica計(jì)算定積分  第三節(jié)  廣義積分    一、無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分    二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分第六章  定積分的應(yīng)用  第一節(jié)  定積分在幾何上的應(yīng)用    一、利用定積分求平面圖形的面積    二、利用定積分求體積    三、利用定積分求平面曲線的弧長(zhǎng)  第二節(jié)  定積分在物理上的應(yīng)用    一、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程    二、變力沿直線所作的功    三、靜止液體的壓力    四、在電學(xué)上的應(yīng)用  第三節(jié)  定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用第七章  常微分方程  第一節(jié)  微分方程的基本概念    一、微分方程的發(fā)展    二、微分方程的基本概念  第二節(jié)  如何建立微分方程  第三節(jié)  微分方程的求解    一、可分離變量的微分方程    二、一階線性微分方程    三、二階常系數(shù)線性微分方程    四、可降階的高階微分方程  第四節(jié)  利用Mathematica求解微分方程    一、可以準(zhǔn)確求解的微分方程    二、微分方程(組)的數(shù)值解第八章  無(wú)窮級(jí)數(shù)  第一節(jié)  無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念    一、常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)    二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性    三、利用Mathematica軟件來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性  第二節(jié)  無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)與斂散性  第三節(jié)  正項(xiàng)級(jí)數(shù)  第四節(jié)  交錯(cuò)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)    一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)    二、絕對(duì)收斂與條件收斂  第五節(jié)  冪級(jí)數(shù)    一、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間    二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)  第六節(jié)  冪級(jí)數(shù)在函數(shù)逼近中的應(yīng)用    一、泰勒公式    二、泰勒級(jí)數(shù)    三、冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用第九章  Mathematica系統(tǒng)提高篇  第一節(jié)  表和表的使用  第二節(jié)  平面圖形的繪制    一、含參數(shù)的一元函數(shù)圖形的繪制    二、一元隱函數(shù)圖形的繪制  第三節(jié)  空間圖形的繪制    一、空間曲面的繪制    二、空間曲線的繪制    三、繪制空間曲面的平面截線    四、繪制空間曲面的平面截線族    五、根據(jù)曲面網(wǎng)格點(diǎn)繪制曲面    六、利用圖形考察多元函數(shù)的極值和最值  第四節(jié)  繪制微分方程的積分曲線    一、繪制微分方程的特解的積分曲線    二、繪制微分方程的通解的積分曲線族    三、繪制微分方程組的特解的相平面曲線  第五節(jié)  優(yōu)化問(wèn)題  第六節(jié)  插值與擬合    一、插值問(wèn)題    二、擬合問(wèn)題  第七節(jié)  冪級(jí)數(shù)與函數(shù)逼近  第八節(jié)  迭代算法習(xí)題附錄一  Mathematica軟件常用操作命令附錄二  微積分基本公式附錄三  初等數(shù)學(xué)部分公式附錄四  習(xí)題參考答案后記

章節(jié)摘錄

插圖：工具的發(fā)明和改進(jìn)，更好地體現(xiàn)算理的要求；但它反過(guò)來(lái)可以促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，使其內(nèi)容、方法更豐富，理論更完善，甚至促進(jìn)數(shù)學(xué)在新的領(lǐng)域里再充實(shí)提高。事實(shí)上，歷史上各種計(jì)算工具的演變，一方面是體現(xiàn)著如何更好地使數(shù)學(xué)的算理具體化和可操作化的過(guò)程；另一方面也是由于社會(huì)生產(chǎn)、發(fā)展而帶來(lái)的要求計(jì)算工具不斷提高其效能的過(guò)程。能體現(xiàn)這兩個(gè)要求的計(jì)算工具才是有生命力的，反之必然被淘汰。數(shù)學(xué)以適應(yīng)計(jì)算工具特點(diǎn)的機(jī)械化過(guò)程是通過(guò)算法來(lái)表達(dá)的。算法是算理和計(jì)算工具之間的橋梁，或者是相互關(guān)系的綜合體現(xiàn)。事實(shí)上，沒(méi)有不具備算法的計(jì)算工具，也不存在不適應(yīng)計(jì)算工具的算法。數(shù)學(xué)應(yīng)該適當(dāng)?shù)馗母镒陨硪赃m應(yīng)計(jì)算工具的特點(diǎn)，計(jì)算工具在數(shù)學(xué)中占有不可或缺的地位，起著特殊的作用。計(jì)算工具對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的巨大影響，也就是計(jì)算對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)計(jì)算具有如下重要的意義。（1）計(jì)算推動(dòng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展。（2）計(jì)算加快了科學(xué)的數(shù)學(xué)化。（3）計(jì)算促進(jìn)了純數(shù)學(xué)的發(fā)展。算法是由一系列有限的規(guī)則所組成的一個(gè)過(guò)程。一個(gè)算法實(shí)質(zhì)上就是解決一類問(wèn)題的一個(gè)處方，它包括一套指令，只要一步一步地按照指令進(jìn)行操作，就能引導(dǎo)到問(wèn)題的解決。

后記

微積分是高等院校最重要的基礎(chǔ)課程之一。各校歷來(lái)十分重視其教材的選用。作為上海市高校面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革發(fā)展計(jì)劃的一項(xiàng)內(nèi)容，我們?cè)诘谝话娴幕A(chǔ)上，認(rèn)真聽(tīng)取了各高職院校資深數(shù)學(xué)教師的意見(jiàn)、建議，經(jīng)過(guò)反復(fù)研討和修改，在比較復(fù)雜的運(yùn)算部分增加了快捷方法，并且制作了多媒體教學(xué)光盤，使得這本《微積分基礎(chǔ)》教材更加適合高職高專學(xué)生學(xué)習(xí)。本教材在編寫過(guò)程中既參照了國(guó)家教委頒布的“高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)基本要求”，又詳細(xì)地研究了國(guó)外一些相關(guān)教材。汲取了各方面的智慧，同時(shí)融人了許多新的探索。我們認(rèn)為高等教育中的教學(xué)應(yīng)該是各類相關(guān)內(nèi)容的有機(jī)組合，更應(yīng)該是教師和學(xué)生共同參與、學(xué)習(xí)和研究的綜合過(guò)程。要求學(xué)生學(xué)習(xí)如何解決實(shí)際問(wèn)題。以上的過(guò)程使這本教材具有很多新的特點(diǎn)，我們期望各個(gè)院校在使用過(guò)程中不斷地實(shí)踐、完善和發(fā)展。本書(shū)的選材注意在達(dá)到教學(xué)基本要求的基礎(chǔ)上拓寬范圍，以適應(yīng)不同專業(yè)的教學(xué)需要。教師在教學(xué)過(guò)程中可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行取舍。在此我們衷心感謝中國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)上海分會(huì)和市教委的領(lǐng)導(dǎo)和專家的熱情支持。

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