應用數(shù)值分析

前言

　　研究生教材建設是研究生教育的基礎工程，是提高研究生培養(yǎng)質量的重要環(huán)節(jié)。自1978年恢復研究生招生以來，我校先后編寫了供工科研究生使用的數(shù)學教材或教學參考書，其中一些教材出版后，不僅本校使用，許多兄弟院校也選作教材或教學參考書，受到讀者好評；另有一些教材則采用講義形式在校內印發(fā)、使用，為適應研究生教育事業(yè)迅速發(fā)展的需求，我校決定在原有“工科研究生用書”的基礎上，通過修訂和新編，出版“工科研究生教材·數(shù)學系列”?！　‖F(xiàn)代科學技術的發(fā)展，特別是計算機技術的高度發(fā)展，使得數(shù)學科學在人類生產、管理及科學研究中發(fā)揮越來越突出的促進作用，也使得人類社會生活的各個領域使用數(shù)學技術成為可能?！肮た蒲芯可滩摹?shù)學系列”作為工科碩士研究生和博士研究生公共課的選用教材，我們希望每本教材既要介紹該學科分支的歷史沿革與發(fā)展、基本理論和方法，又能反映該學科分支的最新成果。對于后者，主要是從基本思想和實際運用技巧方面進行概括和闡述．這就要求每本教材既要有嚴謹?shù)慕馕稣撟C，又要有概括性的分析和介紹，不宜過分追求教材內容的自我完備?！　∥倚Ｑ芯可滩慕ㄔO（特別是公共數(shù)學課程教材建設）還處在不斷完善過程中，限于學術水平和教學經驗，本系列教材難免有疏漏和不足之處，懇請讀者指正，以便日后修訂時加以更正。

內容概要

本書包括通用的數(shù)值分析（或稱計算方法）課程的8個基本論題：插值、函數(shù)逼近、數(shù)值微積分、矩陣特征值計算、線性代數(shù)方程組、非線性方程與方程組、常微分方程和偏微分方程的數(shù)值方法。    本書的取材著眼于工科研究生可能的應用需求，除了堅持內容的科學性、嚴謹性外，寫法上注意強調各類數(shù)值問題的提法，有助于研究生利用所學方法和理論去解決具體的應用問題；書中概念清晰，方法和公式的來龍去脈清楚，理論結果盡量深入淺出并聯(lián)系應用，較難理解或內涵較豐富的部分，適當增加例題或給出啟發(fā)式的引導；對每個論題劃分出“基本教學內容”和“較深入內容或參考材料”兩部分，給教學和學習（包括自學）提供了粗略指引。這是一本好教、好學并保證應有科學水平的研究生教材。    本書適合工科碩士生、非數(shù)學類的理科碩士生和工程碩士生作為一學期課程教材，也可供工學博士生和科學／工程計算工作者參考。

書籍目錄

1  數(shù)值分析基礎概念／備用數(shù)學材料　【基本教學內容】　　1.1　關于數(shù)值分析　　1.2　誤差基本概念與誤差分析初步    　1.2.1　絕對誤差／相對誤差    　1.2.2　有效數(shù)字（位數(shù)）    　1.2.3　截斷誤差／舍入誤差／數(shù)據誤差    　1.2.4  函數(shù)計算的誤差分析　　1.3　病態(tài)問題與條件數(shù)／數(shù)值穩(wěn)定性    　1.3.1　病態(tài)問題與條件數(shù)    　1.3.2　算法數(shù)值穩(wěn)定性　　1.4　數(shù)值算法設計與實現(xiàn)　【備用數(shù)學材料】　　1.5　數(shù)學分析中的幾個重要概念  　　1.5.1　Taylor（泰勒）公式  　　1.5.2  大O記號  　　1.5.3　上確界和下確界  　　1.5.4  函數(shù)序列的一致收斂性　　1.6　幾種重要矩陣及相關性質    　1.6.1　對稱正定矩陣    　1.6.2　正交矩陣／相似矩陣    　1.6.3　初等矩陣與初等變換    　1.6.4　矩陣特征值／矩陣譜半徑　　1.7　線性空間概要  　　1.7.1　線性空間  　　1.7.2  范數(shù)／賦范線性空間  　　1.7.3  內積／內積空間  　1.8　正交多項式    　1.8.1　正交多項式及正交化方法    　1.8.2　Legendre（勒讓德）多項式    　1.8.3　Chebyshev（切比雪夫）多項式（第一類）    　1.8.4　其他正交多項式    1.9　向量范數(shù)／矩陣范數(shù)   　 1.9.1  向量范數(shù)    　1.9.2　矩陣范數(shù)    1.10　附錄：計算機中數(shù)的表示和舍入誤差    　1.10.1　定點表示與定點數(shù)    　1.10.2　浮點表示與浮點數(shù)    　1.10.3　單精度與雙精度／舍入誤差    　1.10.4　計算機算術運算規(guī)則    習題12　函數(shù)插值方法  【基本教學內容】    2.1　插值問題的提法／多項式插值的存在惟一性    2.2　Lagrange插值公式    　2.2.1　線性插值／二次插值    　2.2.2　n次Lagrange插值    　2.2.3　余項公式    2.3　帶導插值：Hermite插值公式    　2.3.1  帶導插值的提法    　2.3.2　Hermite插值公式及其余項公式　　　2.3.3　Hermite插值的兩種常用情形　……3　典線擬／連續(xù)函數(shù)逼近4　數(shù)值微分／數(shù)值積分5　線性代數(shù)方程組數(shù)值解法——直接法6　線性代數(shù)方程組數(shù)值解法——迭代法7　非線性方程與方程組的數(shù)值解法8　矩陣特征值計算9　常微分方程數(shù)值解法10　偏微分方程的數(shù)值方法習題參考答案參考文獻

章節(jié)摘錄

　　1　數(shù)值分析基礎概念／備用數(shù)學材料　　1.1　關于數(shù)值分析　　（1）數(shù)值分析是數(shù)學的一個分支，是數(shù)學的近似、數(shù)值計算（處理）。正因為這樣，按處理對象歸類，數(shù)值分析中已形成了多類數(shù)值問題，并發(fā)展了求解相應數(shù)值問題的大量數(shù)值計算方法。也正因為這樣，“數(shù)值分析”也稱為“數(shù)值計算方法”，或簡稱為“數(shù)值方法”或“計算方法”，近年來還被稱為“科學與工程計算”?！　。?）在數(shù)值分析中，既要強調“數(shù)值問題的提法”，也要強調“數(shù)值方法、算法及其相關理論”是如何構建、如何應用的。兩者對于培養(yǎng)創(chuàng)新能力和實際處理問題的能力都是不可缺少的。一般來說，理工科研究生（除數(shù)學與計算數(shù)學專業(yè)研究生外）主要以“使用者”的角色來學習數(shù)值分析，但也不排除其中的優(yōu)秀生對數(shù)值算法的發(fā)展、創(chuàng)造作出重要的貢獻?！　。?）現(xiàn)代數(shù)值分析的特點是以現(xiàn)代計算機系統(tǒng)作為其處理平臺，因此，在現(xiàn)代數(shù)值分析應用中，非常重視將面向數(shù)學的“數(shù)值方法”設計成面向計算機的“計算機數(shù)值算法”，并討論其相關的理論和技術。這里，我們把“數(shù)值方法”與“計算機數(shù)值算法”（或簡稱“算法”）區(qū)別為兩個不同層次的概念。利用數(shù)值分析和計算機來解決科學／T程問題，通常稱為“科學／31程計算”或簡稱“科學計算”。由于科學計算的迅速發(fā)展及其不斷取得成就，使得“科學計算”與傳統(tǒng)的“理論研究”和“實驗研究”并列為當今科學發(fā)展的三大研究方法，相互促進，相輔相成。而科學計算與具體學科的交叉發(fā)展，又形成了諸如計算力學、計算物理、計算化學、計算生物等新的計算工程學科，這些學科的發(fā)展無疑給理工科研究生和相關專業(yè)工作者提供了誘人的發(fā)展空間?！　?。2　誤差基本概念與誤差分析初步　　既然數(shù)值分析實質上是數(shù)學求解的一種近似處理，就必然存在誤差問題，近似的好壞，以誤差衡量之。因此，誤差概念就成為數(shù)值分析中的基礎性概念。簡單地說，誤差就是一個量的準確值與其近似值之差。　　在這里，“誤差”用數(shù)值來表示（記錄）?！皵?shù)值”這個術語在數(shù)值分析中有時叫“數(shù)”，有時也叫“值”，指的就是我們熟知的實數(shù)值?！　≡跀?shù)值分析中，針對不同的討論對象，建立不同的、更具體的誤差概念，其中最基本又共同使用的主要有下列幾個：首先是刻畫近似值近似程度的“絕對誤差”、“相對誤差”和“有效數(shù)字（位數(shù)）”；其次是描述構造數(shù)值計算方法時產生的“截斷誤差”和進行實際數(shù)值計算時存在的“舍入誤差”；此外，還常使用所謂“初始數(shù)據誤差（或稱輸入數(shù)據誤差）”。下面分別討論之。

編輯推薦

　　《應用數(shù)值分析》適合工科碩士生、非數(shù)學類的理科碩士生和工程碩士生作為一學期課程教材，也可供工學博士生和科學／工程計算工作者參考。

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