應(yīng)用數(shù)值分析

前言

　　研究生教材建設(shè)是研究生教育的基礎(chǔ)工程，是提高研究生培養(yǎng)質(zhì)量的重要環(huán)節(jié)。自1978年恢復(fù)研究生招生以來(lái)，我校先后編寫(xiě)了供工科研究生使用的數(shù)學(xué)教材或教學(xué)參考書(shū)，其中一些教材出版后，不僅本校使用，許多兄弟院校也選作教材或教學(xué)參考書(shū)，受到讀者好評(píng)；另有一些教材則采用講義形式在校內(nèi)印發(fā)、使用，為適應(yīng)研究生教育事業(yè)迅速發(fā)展的需求，我校決定在原有“工科研究生用書(shū)”的基礎(chǔ)上，通過(guò)修訂和新編，出版“工科研究生教材·數(shù)學(xué)系列”?！　‖F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的高度發(fā)展，使得數(shù)學(xué)科學(xué)在人類生產(chǎn)、管理及科學(xué)研究中發(fā)揮越來(lái)越突出的促進(jìn)作用，也使得人類社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域使用數(shù)學(xué)技術(shù)成為可能?！肮た蒲芯可滩摹?shù)學(xué)系列”作為工科碩士研究生和博士研究生公共課的選用教材，我們希望每本教材既要介紹該學(xué)科分支的歷史沿革與發(fā)展、基本理論和方法，又能反映該學(xué)科分支的最新成果。對(duì)于后者，主要是從基本思想和實(shí)際運(yùn)用技巧方面進(jìn)行概括和闡述．這就要求每本教材既要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕馕稣撟C，又要有概括性的分析和介紹，不宜過(guò)分追求教材內(nèi)容的自我完備?！　∥倚Ｑ芯可滩慕ㄔO(shè)（特別是公共數(shù)學(xué)課程教材建設(shè)）還處在不斷完善過(guò)程中，限于學(xué)術(shù)水平和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本系列教材難免有疏漏和不足之處，懇請(qǐng)讀者指正，以便日后修訂時(shí)加以更正。

內(nèi)容概要

本書(shū)包括通用的數(shù)值分析（或稱計(jì)算方法）課程的8個(gè)基本論題：插值、函數(shù)逼近、數(shù)值微積分、矩陣特征值計(jì)算、線性代數(shù)方程組、非線性方程與方程組、常微分方程和偏微分方程的數(shù)值方法。    本書(shū)的取材著眼于工科研究生可能的應(yīng)用需求，除了堅(jiān)持內(nèi)容的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性外，寫(xiě)法上注意強(qiáng)調(diào)各類數(shù)值問(wèn)題的提法，有助于研究生利用所學(xué)方法和理論去解決具體的應(yīng)用問(wèn)題；書(shū)中概念清晰，方法和公式的來(lái)龍去脈清楚，理論結(jié)果盡量深入淺出并聯(lián)系應(yīng)用，較難理解或內(nèi)涵較豐富的部分，適當(dāng)增加例題或給出啟發(fā)式的引導(dǎo)；對(duì)每個(gè)論題劃分出“基本教學(xué)內(nèi)容”和“較深入內(nèi)容或參考材料”兩部分，給教學(xué)和學(xué)習(xí)（包括自學(xué)）提供了粗略指引。這是一本好教、好學(xué)并保證應(yīng)有科學(xué)水平的研究生教材。    本書(shū)適合工科碩士生、非數(shù)學(xué)類的理科碩士生和工程碩士生作為一學(xué)期課程教材，也可供工學(xué)博士生和科學(xué)／工程計(jì)算工作者參考。

書(shū)籍目錄

1  數(shù)值分析基礎(chǔ)概念／備用數(shù)學(xué)材料　【基本教學(xué)內(nèi)容】　　1.1　關(guān)于數(shù)值分析　　1.2　誤差基本概念與誤差分析初步    　1.2.1　絕對(duì)誤差／相對(duì)誤差    　1.2.2　有效數(shù)字（位數(shù)）    　1.2.3　截?cái)嗾`差／舍入誤差／數(shù)據(jù)誤差    　1.2.4  函數(shù)計(jì)算的誤差分析　　1.3　病態(tài)問(wèn)題與條件數(shù)／數(shù)值穩(wěn)定性    　1.3.1　病態(tài)問(wèn)題與條件數(shù)    　1.3.2　算法數(shù)值穩(wěn)定性　　1.4　數(shù)值算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)　【備用數(shù)學(xué)材料】　　1.5　數(shù)學(xué)分析中的幾個(gè)重要概念  　　1.5.1　Taylor（泰勒）公式  　　1.5.2  大O記號(hào)  　　1.5.3　上確界和下確界  　　1.5.4  函數(shù)序列的一致收斂性　　1.6　幾種重要矩陣及相關(guān)性質(zhì)    　1.6.1　對(duì)稱正定矩陣    　1.6.2　正交矩陣／相似矩陣    　1.6.3　初等矩陣與初等變換    　1.6.4　矩陣特征值／矩陣譜半徑　　1.7　線性空間概要  　　1.7.1　線性空間  　　1.7.2  范數(shù)／賦范線性空間  　　1.7.3  內(nèi)積／內(nèi)積空間  　1.8　正交多項(xiàng)式    　1.8.1　正交多項(xiàng)式及正交化方法    　1.8.2　Legendre（勒讓德）多項(xiàng)式    　1.8.3　Chebyshev（切比雪夫）多項(xiàng)式（第一類）    　1.8.4　其他正交多項(xiàng)式    1.9　向量范數(shù)／矩陣范數(shù)   　 1.9.1  向量范數(shù)    　1.9.2　矩陣范數(shù)    1.10　附錄：計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示和舍入誤差    　1.10.1　定點(diǎn)表示與定點(diǎn)數(shù)    　1.10.2　浮點(diǎn)表示與浮點(diǎn)數(shù)    　1.10.3　單精度與雙精度／舍入誤差    　1.10.4　計(jì)算機(jī)算術(shù)運(yùn)算規(guī)則    習(xí)題12　函數(shù)插值方法  【基本教學(xué)內(nèi)容】    2.1　插值問(wèn)題的提法／多項(xiàng)式插值的存在惟一性    2.2　Lagrange插值公式    　2.2.1　線性插值／二次插值    　2.2.2　n次Lagrange插值    　2.2.3　余項(xiàng)公式    2.3　帶導(dǎo)插值：Hermite插值公式    　2.3.1  帶導(dǎo)插值的提法    　2.3.2　Hermite插值公式及其余項(xiàng)公式　　　2.3.3　Hermite插值的兩種常用情形　……3　典線擬／連續(xù)函數(shù)逼近4　數(shù)值微分／數(shù)值積分5　線性代數(shù)方程組數(shù)值解法——直接法6　線性代數(shù)方程組數(shù)值解法——迭代法7　非線性方程與方程組的數(shù)值解法8　矩陣特征值計(jì)算9　常微分方程數(shù)值解法10　偏微分方程的數(shù)值方法習(xí)題參考答案參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　1　數(shù)值分析基礎(chǔ)概念／備用數(shù)學(xué)材料　　1.1　關(guān)于數(shù)值分析　?。?）數(shù)值分析是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是數(shù)學(xué)的近似、數(shù)值計(jì)算（處理）。正因?yàn)檫@樣，按處理對(duì)象歸類，數(shù)值分析中已形成了多類數(shù)值問(wèn)題，并發(fā)展了求解相應(yīng)數(shù)值問(wèn)題的大量數(shù)值計(jì)算方法。也正因?yàn)檫@樣，“數(shù)值分析”也稱為“數(shù)值計(jì)算方法”，或簡(jiǎn)稱為“數(shù)值方法”或“計(jì)算方法”，近年來(lái)還被稱為“科學(xué)與工程計(jì)算”?！　。?）在數(shù)值分析中，既要強(qiáng)調(diào)“數(shù)值問(wèn)題的提法”，也要強(qiáng)調(diào)“數(shù)值方法、算法及其相關(guān)理論”是如何構(gòu)建、如何應(yīng)用的。兩者對(duì)于培養(yǎng)創(chuàng)新能力和實(shí)際處理問(wèn)題的能力都是不可缺少的。一般來(lái)說(shuō)，理工科研究生（除數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)研究生外）主要以“使用者”的角色來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)值分析，但也不排除其中的優(yōu)秀生對(duì)數(shù)值算法的發(fā)展、創(chuàng)造作出重要的貢獻(xiàn)?！　。?）現(xiàn)代數(shù)值分析的特點(diǎn)是以現(xiàn)代計(jì)算機(jī)系統(tǒng)作為其處理平臺(tái)，因此，在現(xiàn)代數(shù)值分析應(yīng)用中，非常重視將面向數(shù)學(xué)的“數(shù)值方法”設(shè)計(jì)成面向計(jì)算機(jī)的“計(jì)算機(jī)數(shù)值算法”，并討論其相關(guān)的理論和技術(shù)。這里，我們把“數(shù)值方法”與“計(jì)算機(jī)數(shù)值算法”（或簡(jiǎn)稱“算法”）區(qū)別為兩個(gè)不同層次的概念。利用數(shù)值分析和計(jì)算機(jī)來(lái)解決科學(xué)／T程問(wèn)題，通常稱為“科學(xué)／31程計(jì)算”或簡(jiǎn)稱“科學(xué)計(jì)算”。由于科學(xué)計(jì)算的迅速發(fā)展及其不斷取得成就，使得“科學(xué)計(jì)算”與傳統(tǒng)的“理論研究”和“實(shí)驗(yàn)研究”并列為當(dāng)今科學(xué)發(fā)展的三大研究方法，相互促進(jìn)，相輔相成。而科學(xué)計(jì)算與具體學(xué)科的交叉發(fā)展，又形成了諸如計(jì)算力學(xué)、計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物等新的計(jì)算工程學(xué)科，這些學(xué)科的發(fā)展無(wú)疑給理工科研究生和相關(guān)專業(yè)工作者提供了誘人的發(fā)展空間?！　?。2　誤差基本概念與誤差分析初步　　既然數(shù)值分析實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)求解的一種近似處理，就必然存在誤差問(wèn)題，近似的好壞，以誤差衡量之。因此，誤差概念就成為數(shù)值分析中的基礎(chǔ)性概念。簡(jiǎn)單地說(shuō)，誤差就是一個(gè)量的準(zhǔn)確值與其近似值之差。　　在這里，“誤差”用數(shù)值來(lái)表示（記錄）?！皵?shù)值”這個(gè)術(shù)語(yǔ)在數(shù)值分析中有時(shí)叫“數(shù)”，有時(shí)也叫“值”，指的就是我們熟知的實(shí)數(shù)值?！　≡跀?shù)值分析中，針對(duì)不同的討論對(duì)象，建立不同的、更具體的誤差概念，其中最基本又共同使用的主要有下列幾個(gè)：首先是刻畫(huà)近似值近似程度的“絕對(duì)誤差”、“相對(duì)誤差”和“有效數(shù)字（位數(shù)）”；其次是描述構(gòu)造數(shù)值計(jì)算方法時(shí)產(chǎn)生的“截?cái)嗾`差”和進(jìn)行實(shí)際數(shù)值計(jì)算時(shí)存在的“舍入誤差”；此外，還常使用所謂“初始數(shù)據(jù)誤差（或稱輸入數(shù)據(jù)誤差）”。下面分別討論之。

編輯推薦

　　《應(yīng)用數(shù)值分析》適合工科碩士生、非數(shù)學(xué)類的理科碩士生和工程碩士生作為一學(xué)期課程教材，也可供工學(xué)博士生和科學(xué)／工程計(jì)算工作者參考。

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