從一元一次方程到伽羅瓦理論

內(nèi)容概要

　　《從一元一次方程到伽羅瓦理論》共二十八章，是講解解多項式方程及數(shù)域上的伽羅瓦理論的一本入門讀物?！　　稄囊辉淮畏匠痰劫ち_瓦理論》按歷史發(fā)展從解一元一次方程講起，詳述了一元二次方程、一元三次方程，以及一元四次方程的各種解案，從而自然地引出了群、域，以及域的擴張等概念。由此，本書在討論了集合論后，用近代方法詳細闡明了對稱群、可遷群、可解群、有限擴域、代數(shù)擴域、正規(guī)擴域以及伽羅瓦理論等，同時又引導讀者一步步地去解決一系列重大的古典難題，如尺規(guī)作圖問題、三次實系數(shù)不可約方程的“不可簡化情況”，以及伽羅瓦的根式可解判別定理等?！　”緯晒└咧袑W生、理工科大學生、大中學校數(shù)學教師，以及廣大的愛好研讀數(shù)學的讀者，在學習解多項式方程、伽羅瓦理論初步，以及近世代數(shù)基礎(chǔ)時閱讀參考。

書籍目錄

第一部分 解三次和四次多項式方程的故事第一章 一次和二次方程的求解§1.1 一次方程的求解與數(shù)集的擴張§1.2 二次方程的求解與根式可解第二章 求解三次方程的故事§2.1 波洛那的費爾洛§2.2 菲俄與塔爾塔里亞§2.3 卡丹與費拉里第三章 三次方程和四次方程的根式求解§3.1 三次方程的根式求解§3.2 赫德方法的數(shù)學背景§3.3 四次方程的根式求解第二部分 向五次方程進軍第四章 有關(guān)方程的一些理論§4.1 韋達與根和系數(shù)的關(guān)系§4.2 牛頓與牛頓定理§4.3 歐拉與復數(shù)§4.4 1的根第五章 范德蒙與他的“根的對稱式表達”方法§5.1 范德蒙與范德蒙方法§5.2 用范德蒙方法解三次方程第六章 拉格朗日與他的預(yù)解式方法§6.1 拉格朗日與他的預(yù)解式§6.2 用拉格朗日方法解三次方程§6.3 用拉格朗日方法解四次方程§6.4 n=5時的情況第七章 高斯與代數(shù)基本定理§7.1 高斯與代數(shù)基本定理§7.2 分圓方程與它的根式求解§7.3 開方運算的多值性與卡丹公式第八章 魯菲尼、阿貝爾與伽羅瓦§8.1 被人遺忘的魯菲尼§8.2 死于貧窮的阿貝爾§8.3 死于愚蠢的伽羅瓦第三部分 一些數(shù)學基礎(chǔ)第九章 集合與映射§9.1 集合論中的一些基本概念§9.2 集合間的映射§9.3 集合A中的變換§9.4 關(guān)系、等價關(guān)系與分類§9.5 整數(shù)集合Z與同余關(guān)系§9.6 算術(shù)基本定理與歐拉函數(shù)□（n）第十章 群論基礎(chǔ)§10.1 群的定義§10.2 群與對稱性§10.3 對稱群Sn§10.4 子群與陪集§10.5 正規(guī)子群與商群§10.6 循環(huán)群與n次本原根§10.7 單群§10.8 群的同態(tài)映射與同構(gòu)映射第十一章 數(shù)與代數(shù)系§11.1 自然數(shù)集N作為可換半群及其可數(shù)性§11.2 整數(shù)集合Z與整環(huán)§11.3 域與有理數(shù)域Q§11.4 實數(shù)域R的不可數(shù)性§11.5 復數(shù)域C與子域第十二章 域上的向量空間§12.1 向量空間的定義§12.2 向量空間的一些基礎(chǔ)理論§12.3 數(shù)域作為向量空間第十三章 域上的多項式§13.1 一些基本事項§13.2 多項式的可約性與艾森斯坦定理§13.3 關(guān)于三次方程根的一些定理第四部分 擴域理論第十四章 有限擴域§14.1 擴域作為向量空間§14.2 維數(shù)公式第十五章 代數(shù)數(shù)與超越數(shù)§15.1 代數(shù)元與代數(shù)數(shù)§15.2 代數(shù)數(shù)集A是可數(shù)的§15.3 超越數(shù)的存在§15.4 代數(shù)擴域第十六章 單代數(shù)擴域§16.1 最小多項式§16.2 單代數(shù)擴域§16.3 單代數(shù)擴域的性質(zhì)§16.4 添加2個代數(shù)元的情況§16.5 有限個代數(shù)元的添加與單擴域§16.6 代數(shù)數(shù)集A是域§16.7 m型純擴域與根式塔第五部分 尺規(guī)作圖問題第十七章 尺規(guī)作圖概述§17.1 尺規(guī)作圖的出發(fā)點、操作公理與作圖法則§17.2 最大可作數(shù)域K§17.3 Q的可作擴域第十八章 尺規(guī)不可作問題§18.1 存在不可作數(shù)§18.2 立方倍積、三等分任意角與化圓為方第十九章 正n邊形的尺規(guī)作圖§19.1 把正n邊形的可作性歸結(jié)為一些簡單的情況§19.2 有關(guān)□邊形的兩個域列§19.3 分圓多項式§19.4 數(shù)□應(yīng)滿足的必要條件§19.5 對具有p=2m+1形式的奇素數(shù)的討論§19.6 費馬數(shù)§19.7 作出正n邊形的“充要條件”第六部分 兩類重要的群與一類重要的擴域第二十章 對稱群Sn§20.1 循環(huán)與對換§20.2 置換的奇偶性§20.3 Sn中元素的對稱類與其對換乘積表示§20.4 交代群An的性質(zhì)§20.5 A5是單群§20.6 可遷群第二十一章 可解群§21.1 可解群的定義§21.2 可解群的性質(zhì)§21.3 n≥5時，Sn是不可解群第二十二章 正規(guī)擴域§22.1 多項式的基域與根域§22.2 正規(guī)擴域§22.3 正規(guī)擴域的性質(zhì)第七部分 伽羅瓦理論第二十三章 從域得到群§23.1 域E的自同構(gòu)群§23.2 E作為F擴域時的一類特殊自同構(gòu)群§23.3 正規(guī)擴域時的伽羅瓦群§23.4 伽羅瓦群的一些重要性質(zhì)§23.5 域F上方程的伽羅瓦群§23.6 域F上的一般的n次多項式方程第二十四章 伽羅瓦理論的基本定理§24.1 伽羅瓦對應(yīng)§24.2 伽羅瓦理論的基本定理第八部分 伽羅瓦理論的應(yīng)用第二十五章 多項式方程的根式可解問題§25.1 一些特殊的伽羅瓦群§25.2 根式可解的數(shù)學含義§25.3 根式擴域與根式可解的精確數(shù)學定義§25.4 循環(huán)擴域與拉格朗日預(yù)解式§25.5 多項式方程根式可解的必要條件§25.6 2x5-10x+5=0不可根式求解§25.7 多項式方程根式可解的充分條件§25.8 用伽羅瓦理論解三次方程第二十六章 三次實系數(shù)不可約方程有3個實根時的“不可簡化情況”§26.1 從判別式看根的情況§26.2 不可簡化情況§26.3 根域的表達§26.4 xp-a=0，a∈R型方程§26.5 實根要通過復數(shù)得到第二十七章 正n邊形尺規(guī)作圖的充分條件§27.1 正咒邊形尺規(guī)作圖必要條件的回顧與充分條件的提出§27.2 p群的一個定理§27.3 正n邊形尺規(guī)作圖的充分條件§27.4 作正17邊形的高斯方法§27.5 從伽羅瓦理論看正17邊形的尺規(guī)作圖第二十八章 對稱多項式的牛頓定理§28.1 一個引理§28.2 牛頓定理附錄附錄1 關(guān)于兩個正整數(shù)最大公因數(shù)的一個關(guān)系式附錄2 多項式方程的重根問題附錄3 計算三次方程的判別式D參考文獻

編輯推薦

　　伽羅瓦理論是數(shù)學愛好者無法跨越的理論，“她”深刻而優(yōu)美，卻因為過于深奧，很難被全面地把握。　　《從一元一次方程到伽羅瓦理論》試圖從“解三次和四次多項式方程的故事”、“向五次方程進軍”、“一些數(shù)學基礎(chǔ)”、“擴域理論”、“尺規(guī)作圖問題”、“兩類重要的群與一類重要的擴域”、“伽羅瓦理論”及“伽羅瓦理論的應(yīng)用”八個方面逐步展開，盡可能用通俗易懂的方式介紹伽羅瓦理論。　　《從一元一次方程到伽羅瓦理論》在闡述整個伽羅瓦理論來龍去脈的基礎(chǔ)上，試圖引導讀者自己去探究、解決一系列重大的古典數(shù)學難題，如“尺規(guī)作圖”、“三次實系數(shù)不可約方程的‘不可簡化情況’”以及“伽羅瓦的根式可解之判別定理”等。

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