高中數(shù)學競賽中的解題方法與策略-高中卷-14-第二版

內(nèi)容概要

《高中數(shù)學競賽中的解題方法與策略(第2版)/數(shù)學奧林匹克小叢書》編著者熊斌。學習數(shù)學需要學會解題，不僅能解常規(guī)的問題，還要學習解一些有技巧性的問題，這對培養(yǎng)解題能力和進一步學習數(shù)學都是非常有益的。本書以數(shù)學競賽問題為載體，通過20個專題，介紹重要的數(shù)學思想方法、解題策略和技巧，探討數(shù)學解題的基本原理。本書可作為中學生的課外輔導材料，也可以作為師范院校本科生、研究生的數(shù)學解題和數(shù)學競賽課程的教材或參考書。

作者簡介

熊斌第46屆、49屆、51屆、52屆和53屆國際數(shù)學奧林匹克中國隊領(lǐng)隊、主教練，華東師范大學數(shù)學系教授，博士生導師，華東師范大學國際數(shù)學奧林匹克研究中心主任。多次參與中國數(shù)學奧林匹克、全國高中數(shù)學聯(lián)賽、全國初中數(shù)學競賽、西部數(shù)學奧林匹克、女子數(shù)學奧林匹克、國際城市青少年數(shù)學邀請賽等競賽的命題工作。在國內(nèi)外發(fā)表了100余篇論文，主編和編著的著作150多本。

何憶捷上海市延安中學教師、數(shù)學奧林匹克教練員，復旦大學理學碩士，第18屆中國數(shù)學奧林匹克金牌獲得者。長期從事數(shù)學奧林匹克研究，高中畢業(yè)后出版著作《高中奧數(shù)命題研究與訓練題集》，并參與全國高中數(shù)學聯(lián)賽、國家集訓隊等命題及培訓工作。

書籍目錄

1 化歸
2 反證法
3 數(shù)學歸納法
4 抽屜原理
5 容斥原理
6 極端原理
7 奇偶性
8 面積法
9 從整體考慮問題
10 選擇合適的記號
11 數(shù)形結(jié)合
12 對應與配對
13 遞推方法
14 染色法
15 賦值法
16 算兩次
17 逐步調(diào)整法
18 構(gòu)造法
19 不變量與恒增(減)量
20 圖論方法
習題解答

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   圖論是以圖為研究對象，研究頂點和邊組成的圖形的數(shù)學理論和方法，起源于著名的哥尼斯堡七橋問題。圖論中的圖是指由若干個不同的頂點及連接其中某些頂點的邊所構(gòu)成的圖形，通常用G表示，或者更確切地記作G（V，E），其中V是所有頂點的集合，E是所有邊的集合。圖G中，頂點的位置以及邊的曲直長短都是無關(guān)緊要的，我們所關(guān)心的是圖G中頂點和邊的組成狀況。 圖論有一套龐大的概念系統(tǒng)，下面列舉的是其中最基本的概念以及一些本節(jié)中會涉及到的概念： 如果圖G的兩個頂點ν1，ν2之間有邊相連，則稱ν1，ν2相鄰，否則稱ν1，ν2不相鄰。 如果一條邊的兩端是同一頂點，這樣的邊稱為環(huán)。 如果兩個頂點之間有k（k≥2）條邊相連，那么這些邊稱為重邊。 若一個圖既沒有環(huán)也沒有重邊，這樣的圖稱為簡單圖。 每兩個頂點均相鄰的簡單圖稱為完全圖。 有n個頂點的圖稱為 n階圖。其中n階完全圖記為Kn。 頂點數(shù)和邊數(shù)都有限的圖稱為有限圖，否則稱為無限圖。 圖G中，與頂點ν相鄰的邊數(shù)（環(huán)作兩條邊計算）稱為頂點ν的度（或者次數(shù)），記做d（ν）。若頂點的度是奇數(shù)，則稱為奇頂點，否則稱為偶頂點。 若圖中的邊不考慮起點和終點，則稱為無向圖，否則稱為有向圖（有向圖有出度和入度的概念）。如無特別說明，一般的圖都指無向的簡單圖。 在圖G中，一個由不同的邊組成的序列：e1，e2，…，em（其中ei=（νi－1，νi），i=1，2，…，m）稱為從ν0到νm的鏈，其中ν0和νm稱為這條鏈的端點，數(shù)m稱為這條鏈的長。如果一條鏈的兩個端點重合，則稱這條鏈為圈。 如果對圖的任何兩個頂點u，ν，都存在一條鏈以u，ν為端點，這樣的圖稱為連通圖。 關(guān)于圖G的頂點和邊數(shù)之間的關(guān)系，有如下定理。 定理 圖G中邊數(shù)的兩倍等于頂點度數(shù)之和。 設G中n個頂點為ν1，ν2，…，νn，邊數(shù)為e，則 d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）=2e。 證明 所有頂點的度的和d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）表示以頂點ν1，ν2，…，νn中某個頂點為端點的邊的總數(shù)。由于一條邊有兩個頂點，所以圖G中每條邊在和d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）中被計數(shù)了兩次。即證。 這個定理通常稱為握手引理：如果許多人在一起握手，那么握手次數(shù)為偶數(shù)次，從而握過奇數(shù)次手的人有偶數(shù)個。即得推論 推論 圖G中奇頂點的個數(shù)一定是偶數(shù)個。 一筆畫，就是紙上給定一個圖G，能否從圖G的一個頂點出發(fā)，筆不離開紙，而且連續(xù)地沿著每條邊恰好一次，然后回到原來頂點，從而畫出整個圖G。如果圖是歐拉圖，則可以一筆畫出整個圖G，否則不能。歐拉給出過一個圖是否是歐拉圖的判別方法。 一筆畫定理 一個連通圖為歐拉圖的充要條件是每個頂點的度都是偶數(shù)。 由此可以推出，一個圖可以一筆畫的充要條件是沒有奇頂點或者兩個奇頂點。如果有兩個奇頂點，那么這兩個奇頂點是一筆畫的起始點和結(jié)束點。 本節(jié)所選的大多數(shù)例題和習題本身并非圖論問題，但我們采用圖論方法求解，旨在反映圖論應用的廣泛性與靈活性。 例1 n名選手進行網(wǎng)球?qū)官?，每名選手至多賽一場，每場比賽兩名選手參加，已賽完n+1場。證明：至少有一名選手賽過三次。 證明 把 n名選手用n個點ν1，ν2，…，νn表示，當且僅當νi，νj，所代表的兩名選手比賽過時，令νi，νj相鄰，于是得到一個含n個頂點的簡單圖。由于總共賽過n+1場，所以圖G的邊數(shù)是，n+1。由定理知 d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）=2（n+1）， 如果圖G中所有頂點的度都不超過2，則由上式得到 2（n+1）=d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）≤2n， 這不可能。因此圖G中至少有一個頂點x，它的度至少是3。于是，頂點x所表示的選手至少賽過三次。 例2設S={x1，x2，…，xn}是平面上的點集，其中n≥3。若任意兩點之間的距離不小于1，證明：距離恰好等于1的點對不超過3n對。 證明取這n個點為頂點，兩頂點相鄰當且僅當它們之間距離為1，得圖G。

編輯推薦

《數(shù)學奧林匹克小叢書?高中卷:高中數(shù)學競賽中的解題方法與策略(第2版)》可作為中學生的課外輔導材料，也可以作為師范院校本科生、研究生的數(shù)學解題和數(shù)學競賽課程的教材或參考書。

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