高中數(shù)學競賽中的解題方法與策略-高中卷-14-第二版

內(nèi)容概要

《高中數(shù)學競賽中的解題方法與策略(第2版)/數(shù)學奧林匹克小叢書》編著者熊斌。學習數(shù)學需要學會解題，不僅能解常規(guī)的問題，還要學習解一些有技巧性的問題，這對培養(yǎng)解題能力和進一步學習數(shù)學都是非常有益的。本書以數(shù)學競賽問題為載體，通過20個專題，介紹重要的數(shù)學思想方法、解題策略和技巧，探討數(shù)學解題的基本原理。本書可作為中學生的課外輔導材料，也可以作為師范院校本科生、研究生的數(shù)學解題和數(shù)學競賽課程的教材或參考書。

作者簡介

熊斌第46屆、49屆、51屆、52屆和53屆國際數(shù)學奧林匹克中國隊領隊、主教練，華東師范大學數(shù)學系教授，博士生導師，華東師范大學國際數(shù)學奧林匹克研究中心主任。多次參與中國數(shù)學奧林匹克、全國高中數(shù)學聯(lián)賽、全國初中數(shù)學競賽、西部數(shù)學奧林匹克、女子數(shù)學奧林匹克、國際城市青少年數(shù)學邀請賽等競賽的命題工作。在國內(nèi)外發(fā)表了100余篇論文，主編和編著的著作150多本。

何憶捷上海市延安中學教師、數(shù)學奧林匹克教練員，復旦大學理學碩士，第18屆中國數(shù)學奧林匹克金牌獲得者。長期從事數(shù)學奧林匹克研究，高中畢業(yè)后出版著作《高中奧數(shù)命題研究與訓練題集》，并參與全國高中數(shù)學聯(lián)賽、國家集訓隊等命題及培訓工作。

書籍目錄

1 化歸
2 反證法
3 數(shù)學歸納法
4 抽屜原理
5 容斥原理
6 極端原理
7 奇偶性
8 面積法
9 從整體考慮問題
10 選擇合適的記號
11 數(shù)形結合
12 對應與配對
13 遞推方法
14 染色法
15 賦值法
16 算兩次
17 逐步調(diào)整法
18 構造法
19 不變量與恒增(減)量
20 圖論方法
習題解答

章節(jié)摘錄

版權頁：   插圖：   圖論是以圖為研究對象，研究頂點和邊組成的圖形的數(shù)學理論和方法，起源于著名的哥尼斯堡七橋問題。圖論中的圖是指由若干個不同的頂點及連接其中某些頂點的邊所構成的圖形，通常用G表示，或者更確切地記作G（V，E），其中V是所有頂點的集合，E是所有邊的集合。圖G中，頂點的位置以及邊的曲直長短都是無關緊要的，我們所關心的是圖G中頂點和邊的組成狀況。 圖論有一套龐大的概念系統(tǒng)，下面列舉的是其中最基本的概念以及一些本節(jié)中會涉及到的概念： 如果圖G的兩個頂點ν1，ν2之間有邊相連，則稱ν1，ν2相鄰，否則稱ν1，ν2不相鄰。 如果一條邊的兩端是同一頂點，這樣的邊稱為環(huán)。 如果兩個頂點之間有k（k≥2）條邊相連，那么這些邊稱為重邊。 若一個圖既沒有環(huán)也沒有重邊，這樣的圖稱為簡單圖。 每兩個頂點均相鄰的簡單圖稱為完全圖。 有n個頂點的圖稱為 n階圖。其中n階完全圖記為Kn。 頂點數(shù)和邊數(shù)都有限的圖稱為有限圖，否則稱為無限圖。 圖G中，與頂點ν相鄰的邊數(shù)（環(huán)作兩條邊計算）稱為頂點ν的度（或者次數(shù)），記做d（ν）。若頂點的度是奇數(shù)，則稱為奇頂點，否則稱為偶頂點。 若圖中的邊不考慮起點和終點，則稱為無向圖，否則稱為有向圖（有向圖有出度和入度的概念）。如無特別說明，一般的圖都指無向的簡單圖。 在圖G中，一個由不同的邊組成的序列：e1，e2，…，em（其中ei=（νi－1，νi），i=1，2，…，m）稱為從ν0到νm的鏈，其中ν0和νm稱為這條鏈的端點，數(shù)m稱為這條鏈的長。如果一條鏈的兩個端點重合，則稱這條鏈為圈。 如果對圖的任何兩個頂點u，ν，都存在一條鏈以u，ν為端點，這樣的圖稱為連通圖。 關于圖G的頂點和邊數(shù)之間的關系，有如下定理。 定理 圖G中邊數(shù)的兩倍等于頂點度數(shù)之和。 設G中n個頂點為ν1，ν2，…，νn，邊數(shù)為e，則 d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）=2e。 證明 所有頂點的度的和d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）表示以頂點ν1，ν2，…，νn中某個頂點為端點的邊的總數(shù)。由于一條邊有兩個頂點，所以圖G中每條邊在和d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）中被計數(shù)了兩次。即證。 這個定理通常稱為握手引理：如果許多人在一起握手，那么握手次數(shù)為偶數(shù)次，從而握過奇數(shù)次手的人有偶數(shù)個。即得推論 推論 圖G中奇頂點的個數(shù)一定是偶數(shù)個。 一筆畫，就是紙上給定一個圖G，能否從圖G的一個頂點出發(fā)，筆不離開紙，而且連續(xù)地沿著每條邊恰好一次，然后回到原來頂點，從而畫出整個圖G。如果圖是歐拉圖，則可以一筆畫出整個圖G，否則不能。歐拉給出過一個圖是否是歐拉圖的判別方法。 一筆畫定理 一個連通圖為歐拉圖的充要條件是每個頂點的度都是偶數(shù)。 由此可以推出，一個圖可以一筆畫的充要條件是沒有奇頂點或者兩個奇頂點。如果有兩個奇頂點，那么這兩個奇頂點是一筆畫的起始點和結束點。 本節(jié)所選的大多數(shù)例題和習題本身并非圖論問題，但我們采用圖論方法求解，旨在反映圖論應用的廣泛性與靈活性。 例1 n名選手進行網(wǎng)球對抗賽，每名選手至多賽一場，每場比賽兩名選手參加，已賽完n+1場。證明：至少有一名選手賽過三次。 證明 把 n名選手用n個點ν1，ν2，…，νn表示，當且僅當νi，νj，所代表的兩名選手比賽過時，令νi，νj相鄰，于是得到一個含n個頂點的簡單圖。由于總共賽過n+1場，所以圖G的邊數(shù)是，n+1。由定理知 d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）=2（n+1）， 如果圖G中所有頂點的度都不超過2，則由上式得到 2（n+1）=d（ν1）+d（ν2）+…+d（νn）≤2n， 這不可能。因此圖G中至少有一個頂點x，它的度至少是3。于是，頂點x所表示的選手至少賽過三次。 例2設S={x1，x2，…，xn}是平面上的點集，其中n≥3。若任意兩點之間的距離不小于1，證明：距離恰好等于1的點對不超過3n對。 證明取這n個點為頂點，兩頂點相鄰當且僅當它們之間距離為1，得圖G。

編輯推薦

《數(shù)學奧林匹克小叢書?高中卷:高中數(shù)學競賽中的解題方法與策略(第2版)》可作為中學生的課外輔導材料，也可以作為師范院校本科生、研究生的數(shù)學解題和數(shù)學競賽課程的教材或參考書。

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