拓撲代數(shù)與廣義度量空間

前言

　　拓撲和代數(shù)是數(shù)學中的兩個基本研究領(lǐng)域，拓撲主要研究連續(xù)與收斂性問題，為探討極限及同胚等概念提供一個合理的框架，從某種意義上說致力于無限結(jié)構(gòu)，其研究方法是多種多樣的，代數(shù)主要研究形形色色的運算，為算法和計算提供了堅實的基礎(chǔ)，從某種意義上說其方法本質(zhì)上卻是有限的。這些本質(zhì)上的差別，使得代數(shù)與拓撲的發(fā)展越來越獨立。伴隨數(shù)學統(tǒng)一化的趨勢，現(xiàn)今在代數(shù)拓撲、函數(shù)分析、動力系統(tǒng)、微分幾何、表示理論等學科中，代數(shù)與拓撲又有著密切的聯(lián)系。數(shù)學中許多重要的研究方向都有著代數(shù)的表示和拓撲的結(jié)構(gòu)，如函數(shù)分析、線性拓撲、拓撲群、拓撲域、變換群和拓撲格等等，正因為代數(shù)與拓撲本質(zhì)上是由集合所確定的，這使得它們自然而然地聯(lián)系在一起，并煥發(fā)新的活力，如變換群就是一個典型的例子?！　∷^拓撲代數(shù)結(jié)構(gòu)，指的是以拓撲群及其推廣為代表的一類賦予了拓撲結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)的數(shù)學對象，如拓撲群、仿拓撲群、半拓撲群、拓撲環(huán)、拓撲域、拓撲向量空間等，設(shè)G是拓撲空間，又是一個群，而且群的乘積運算與求逆運算按此拓撲都是連續(xù)的，則稱G是拓撲群。拓撲群也稱連續(xù)群，簡言之，是具有拓撲空間結(jié)構(gòu)的群。群賦予合理的拓撲能使得拓撲不變量發(fā)生顯著的變化。如，1934年，Pontryagin證明了每一拓撲群是完全正則的；1936年，G。Birkhoff和S。Kakutani分別獨立地證明了每一第一可數(shù)的拓撲群是可度量化的；1942年，N。Bourbaki證明了每一局部緊的拓撲群是仿緊的，拓撲學家們發(fā)現(xiàn)具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的拓撲空間自身具有良好的拓撲結(jié)構(gòu)，更加引起人們對拓撲代數(shù)的興趣，從而掀起了研究拓撲代數(shù)的熱潮，取得了一系列引人注目的結(jié)果?！　V義度量空間是這樣的一些空間類，有益于刻畫可度量性，繼承了度量空間的許多優(yōu)美性質(zhì)且度量空間的某些理論或技巧能拓廣到這些空間類。自從上世紀50年代初給出了度量空間的內(nèi)在刻畫以來，對Bing-Nagata-Smirnov度量化定理的各種推廣形成了形形色色的廣義度量空間。廣義度量空間理論的研究是我國拓撲學探討的傳統(tǒng)強項，我國學者在此領(lǐng)域做出了許多突出貢獻。目前，國內(nèi)外的研究熱點又逐漸轉(zhuǎn)向廣義度量空間理論與其他數(shù)學結(jié)構(gòu)間的交叉與融合，如函數(shù)空間拓撲等。

內(nèi)容概要

　　拓撲代數(shù)是拓撲和代數(shù)相互交錯的研究方向，用統(tǒng)一的思想處理紛繁多變的問題會因其內(nèi)部動力與外在需求產(chǎn)生新的突破口。《拓撲代數(shù)與廣義度量空間》以利用代數(shù)結(jié)構(gòu)及我們熟悉的廣義度量空間理論的方法，尋求仿拓撲群理論和rectifiable空間的廣義度量性質(zhì)及其緊化性質(zhì)，使過去只重視集合論方法的廣義度量理論在代數(shù)運算中取得應用，是作者關(guān)于拓撲代數(shù)的一部專著。內(nèi)容包括仿拓撲群和rectifiable空間的基數(shù)不變量、仿拓撲群和rectifiable空間的廣義度量性質(zhì)和仿拓撲群和rectifialble空間的緊化余等。　　《拓撲代數(shù)與廣義度量空間》論述嚴謹，只要具有拓撲代數(shù)和廣義度量空間的基礎(chǔ)知識就能閱讀本書，并進入研究的前沿?！　∽x者對象為大專院校數(shù)學系師生、研究生和數(shù)學工作者。

書籍目錄

第零章  預備知識  0.1  記號和術(shù)語  0.2  廣義度量空間類  0.3  拓撲代數(shù)空間類第一章  仿拓撲群與rectifiable空間的基數(shù)不變量  1.1  Rectifiable空間的弱可數(shù)公理  1.2  仿拓撲群的弱可數(shù)公理  1.3  仿拓撲群的次可度量性  1.4  Moscow的rectifiable空間第二章  仿拓撲群與rectifiable空間的的廣義度量性質(zhì)  2.1  Rectifiable空間的廣義度量性質(zhì)  2.2  仿拓撲群的廣義度量性質(zhì)  2.3  局部緊rectifiable空間  2.4  Rectifiable空間的可度量性第三章  具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的拓撲空間的Hausdorff緊化的余  3.1  Hausdorff緊化的余的二岐性定理  3.2  拓撲群的Hausdorff緊化的余的廣義度量性質(zhì)  3.3  拓撲群的Hausdorff緊化的余的局部性質(zhì)    3.3.1  余具有可數(shù)π特征    3.3.2  拓撲群的余是局部擬Gδ對角線或?qū)蔷€的并    3.3.3  拓撲群的余是局部BCO和局部遺傳的D空間  3.4  仿拓撲群的Hausdorff緊化的余    3.4.1  k-gentle仿拓撲群的Hausdorff緊化    3.4.2  仿拓撲群的：Hausdorff緊化  3.5  Rectifiable空間的Hausdorff緊化的余第四章  自由仿拓撲群  4.1  定義和基本性質(zhì)  4.2  自由仿拓撲群的分離性  4.3  自由仿拓撲群的特征    4.3.1  自由仿拓撲群上的擬偽度量    4.3.2  自由交換仿拓撲群的特征  4.4  正向極限  4.5  自由仿拓撲群的拓撲嵌入第五章  具有rectifiable運算的廣義序空間  5.1  具有rectifiable運算的廣義序空間的分類  5.2  具有rectifiable運算的廣義序空間的可序化  5.3  Rectifiable空間的Hausdorff緊化第六章  公開問題  6.1  分離性  6.2  廣義度量性質(zhì)  6.3  覆蓋性質(zhì)  6.4  Hausdorff緊化  6.5  其他相關(guān)問題第七章  附錄  7.1  廣義度量空間的一些結(jié)果  7.2  拓撲群的一些結(jié)果參考文獻索引

編輯推薦

林福財所著的《拓撲代數(shù)與廣義度量空間》共分為7章且大部分內(nèi)容都可見于近20年來關(guān)于仿拓撲群和rectifiable空間的論文中。作者注重取材的新穎和特色，盡可能勾畫出我國學者近年來在討論仿拓撲群和rectifiable空間的廣義度量性質(zhì)所取得的突出成就。讀者想順利閱讀本書，必須掌握廣義度量空間和拓撲群理論的相關(guān)基本知識。

圖書封面

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