實(shí)變函數(shù)

內(nèi)容概要

　　《大學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究叢書：實(shí)變函數(shù)》是筆者根據(jù)自己學(xué)習(xí)與教學(xué)的體會，對實(shí)變函數(shù)課程的核心內(nèi)容進(jìn)行整理而形成的，《大學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究叢書：實(shí)變函數(shù)》以塊狀格式呈現(xiàn)材料的寫作方式與以往的實(shí)變函數(shù)教材以及實(shí)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書的寫作方式有較大的不同。筆者認(rèn)為，這種寫作方式，一方面有利于突現(xiàn)實(shí)變函數(shù)課程的學(xué)科結(jié)構(gòu)，另一方面可留給該書讀者更大的思考與創(chuàng)意空間，考慮到初學(xué)實(shí)變函數(shù)者做實(shí)變函數(shù)習(xí)題普遍感到難以入門，《大學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究叢書：實(shí)變函數(shù)》后面附有一部分實(shí)變函數(shù)常見習(xí)題的解答參考或提示。

書籍目錄

第1章 集合與點(diǎn)集1.1 集合及其運(yùn)算1.1.1 問題提出1.1.2 概念入門1.1.3 主要事實(shí)1.1.4 例題選講1.1.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練1.1.6 提高性習(xí)題1.2 映射與基數(shù)1.2.1 問題提出1.2.2 概念入門1.2.3 主要事實(shí)1.2.4 例題選講1.2.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練1.2.6 提高性習(xí)題1.3 可數(shù)集與連續(xù)基數(shù)集1.3.1 問題提出1.3.2 概念入門1.3.3 主要事實(shí)1.3.4 例題選講1.3.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練1.3.6 提高性習(xí)題1.4 直線上的點(diǎn)集1.4.1 問題提出1.4.2 概念入門1.4.3 主要事實(shí)1.4.4 例題選講1.4.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練1.4.6 提高性習(xí)題1.5 關(guān)于集合論的幾點(diǎn)注記1.5.1 集合論創(chuàng)始人Cantor簡介1.5.2 實(shí)無窮觀與潛無窮觀1.5.3 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)1.5.4 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)與Z-F集合論公理系統(tǒng)1.5.5 集合思想對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)1.5.6 一一映射思想對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)第2章 測度論2.1 外測度2.1.1 問題提出2.1.2 概念入門2.1.3 主要事實(shí)2.1.4 例題選講2.1.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練2.1.6 提高性習(xí)題2.2 可測集與測度2.2.1 問題提出2.2.2 概念入門2.2.3 主要事實(shí)2.2.4 例題選講2.2.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練2.2.6 提高性習(xí)題2.3 可測集類與可測集的結(jié)構(gòu)2.3.1 問題提出2.3.2 概念入門2.3.3 主要事實(shí)2.3.4 例題選講2.3.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練2.3.6 提高性習(xí)題2.4 關(guān)于測度論的幾點(diǎn)注記2.4.1 Lebesgue生平簡介2.4.2 Lebesgue測度原始工作簡介2.4.3 長度的公理化定義2.4.4 選擇公理2.4.5 測度論的現(xiàn)代發(fā)展第3章 可測函數(shù)第4章 Lebesgue積分第5章 微分理論初步附錄 基礎(chǔ)題訓(xùn)練、提高性習(xí)題部分參考解答或提示參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　1.5.2 實(shí)無窮觀與潛無窮觀　　無窮的問題自古以來就是數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)哲學(xué)中的首要問題。什么是無窮？在數(shù)學(xué)歷史長河中存在著兩種不同的無窮觀：“實(shí)無窮觀”與“潛無窮觀”。實(shí)無窮觀點(diǎn)認(rèn)為無窮是無限延伸或無限變化過程可以自我完成的無限實(shí)體或無限整體，潛無窮觀點(diǎn)認(rèn)為無窮是無限延伸的，且永遠(yuǎn)完成不了的一個(gè)過程。舉個(gè)簡單的例子來說，實(shí)無窮觀點(diǎn)認(rèn)為“全體自然數(shù)”是存在的，因?yàn)槊總€(gè)自然數(shù)都是可以數(shù)到的，既然每個(gè)自然數(shù)都存在，那么“全體自然數(shù)”當(dāng)然存在。潛無窮觀點(diǎn)則認(rèn)為“全體自然數(shù)”是不存在的，因?yàn)樽匀粩?shù)是數(shù)不完的，這表明自然數(shù)的產(chǎn)生是個(gè)無窮無盡的過程，只有這個(gè)過程結(jié)束了，才能得到自然數(shù)的全體，但這個(gè)過程永遠(yuǎn)不結(jié)束，因而無法得到自然數(shù)的全體，兩種無窮觀的根本區(qū)別在于：承認(rèn)不承認(rèn)無限延伸過程能否自我完成，實(shí)際上，潛無窮是動(dòng)態(tài)的，實(shí)無窮是靜態(tài)的，持實(shí)無窮觀點(diǎn)與潛無窮觀點(diǎn)只是站在不同的角度看無窮，我們認(rèn)為，只有在動(dòng)與靜對立統(tǒng)一的辯證思想指導(dǎo)下，才有可能較好地理解與運(yùn)用無窮概念?！　∈聦?shí)上，把實(shí)無窮與潛無窮引入數(shù)學(xué)具有同等重要的意義。法國數(shù)學(xué)家柯西運(yùn)用潛無窮觀點(diǎn)，創(chuàng)造性地建立了極限理論，為數(shù)學(xué)分析奠定嚴(yán)格的基礎(chǔ)做出了重大貢獻(xiàn)，因而使得潛無窮在數(shù)學(xué)中占了統(tǒng)治地位?？低袪柍謱?shí)無窮觀點(diǎn)，他認(rèn)為無窮是某種完成了的確定的東西，是某種不但能由數(shù)學(xué)表示而且可用數(shù)學(xué)來定義的東西，這是建立集合論的關(guān)鍵，因?yàn)橹挥邪褵o窮看成完成了的確定東西的整體才能構(gòu)成集合?？低袪栐诩险撝校瑢o窮概念作了精確的數(shù)學(xué)表述，揭示了無窮集合的本質(zhì)特征：無窮集合的部分可以等價(jià)于整體。康托爾的實(shí)無窮觀還表明，在數(shù)學(xué)對象的創(chuàng)造中，數(shù)學(xué)家們具有充分的自由，這正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征?！　　?/pre>








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