偏微分方程及數(shù)值解

前言

偏微分方程在物理、力學(xué)和工程技術(shù)的眾多學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。經(jīng)典的內(nèi)容主要是討論三類基本方程（橢圓型方程、拋物型方程和雙曲型方程）的解析求解方法，包括分離變量法、行波法和積分變換法；數(shù)值解法包括差分法、變分法和有限元法等。在介紹這些基本內(nèi)容的同時(shí)，考慮到學(xué)生已具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，用通俗易懂、深入淺出的語(yǔ)言，讓學(xué)生接觸一些新的概念、理論和方法，不僅必要而且可行。本書的四位作者從事這門課程的教學(xué)已有多年，積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)。在承擔(dān)教學(xué)任務(wù)的同時(shí)，他們都有自己的研究方向。這一次，他們結(jié)合自己教學(xué)和科研工作的體會(huì)，根據(jù)工科院校的特點(diǎn)，密切結(jié)合工程技術(shù)中的應(yīng)用，撰寫了本書，以適應(yīng)理工科不同專業(yè)的不同要求，這是一件很有意義的工作。我相信本書的出版，對(duì)這門課程教學(xué)內(nèi)容的改革會(huì)起到一種促進(jìn)作用，有利于更好地培養(yǎng)適應(yīng)新形勢(shì)的科技人才。

內(nèi)容概要

　　“偏微分方程及其數(shù)值解法”是高等院校的一門重要的基礎(chǔ)課程。本書內(nèi)容主要分兩部分，即偏微分方程理論部分和數(shù)值解法部分。偏微分方程理論部分主要包括偏微分方程的常用解法：分離變量法、行波法、Green函數(shù)法和積分變換法，以及兩種常見的特殊函數(shù)Bessel函數(shù)和Legendre多項(xiàng)式；數(shù)值解法部分包括有限差分法、拋物型方程的差分解法、雙曲型方程的差分解法、橢圓型方程的差分解法、變分法和有限元方法?！　”緯梢宰鳛椤靶畔⑴c計(jì)算科學(xué)”及“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”專業(yè)的基礎(chǔ)課教材，亦可作為非數(shù)學(xué)專業(yè)的各理工科專業(yè)本科生的教材（選學(xué)其中的基本內(nèi)容）。

書籍目錄

第1章　典型方程和定解條件　1.1　基本方程的建立　1.2　定解條件　1.3　定解問題的提法　習(xí)題1第2章　分離變量法　2.1　齊次方程齊次邊界條件的定解問題　2.2　非齊次方程齊次邊界條件的定解問題　2.3　周期性條件的定解問題　2.4　非齊次邊界條件的處理　2.5　本征值理論　習(xí)題2第3章　行波法　3.1　二階線性偏微分方程的分類　3.2　一維波動(dòng)方程的D'Alembert公式　3.3　三維波動(dòng)方程球面波　3.4　二維波動(dòng)方程柱面波　習(xí)題3第4章　Bessel函數(shù)　4.1　Bessel方程的引入　4.2　Bessel方程的求解　4.3　當(dāng)n為整數(shù)時(shí)Bessel方程的通解　4.4　Bessel函數(shù)的遞推公式　4.5　函數(shù)展開成Bessel函數(shù)的級(jí)數(shù)　4.6　Bessel函數(shù)應(yīng)用舉例　習(xí)題4第5章　Legendre多項(xiàng)式　5.1　Legendre微分方程及Legendre多項(xiàng)式　5.2　Legendre多項(xiàng)式的母函數(shù)　5.3　按Legendre多項(xiàng)式展開　5.4　連帶Legendre多項(xiàng)式的定義　5.5　Laplace方程在球形區(qū)域上的Dirichlet問題　5.6　本章公式表　習(xí)題5第6章　積分變換法　6.1　Fourier變換在求解偏微分方程初值問題中的應(yīng)用　6.2　Laplace變換在求解偏微分方程定解問題中的應(yīng)用　6.3　關(guān)于積分變換的一般討論　習(xí)題6第7章　Green函數(shù)法　7.1　Laplace方程邊值問題的提法　7.2　Green公式　7.3　Green函數(shù)　7.4　兩種特殊區(qū)域的Green函數(shù)及Dirichlet問題的解　習(xí)題7第8章　有限差分法簡(jiǎn)介　8.1　有限差分近似　8.2　差分格式相容性、收斂性、穩(wěn)定性　8.3　確定差分格式穩(wěn)定性的方法　習(xí)題8第9章　拋物型方程的差分解法　9.1　常系數(shù)擴(kuò)散方程　9.2　邊界條件離散　9.3　對(duì)流一擴(kuò)散方程　9.4　變系數(shù)方程……第10章　雙曲型方程的差分解法第11章　橢圓型方程的差分解法第12章　變發(fā)法和有限元方法介紹附錄　有限差分法和有限元方法小結(jié)參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：第1章 典型方程和定解條件1.1 基本方程的建立本節(jié)要導(dǎo)出一些典型的數(shù)學(xué)物理方程。這里說(shuō)的“導(dǎo)出”其實(shí)不過(guò)是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把物理規(guī)律“翻譯”出來(lái)罷了。通過(guò)這些典型方程的導(dǎo)出，希望讀者學(xué)會(huì)“翻譯”技巧。物理規(guī)律反映的是某個(gè)物理量在鄰近狀態(tài)和鄰近時(shí)刻之間的聯(lián)系，因此，數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟如下：首先要確定研究哪一個(gè)物理量υ.從所研究的系統(tǒng)中劃出一個(gè)小部分，根據(jù)物理規(guī)律分析鄰近部分和這個(gè)小部分的相互作用（抓住主要的作用，略去不那么重要的因素），以及這種相互作用在一個(gè)短時(shí)間段里怎樣影響物理量υ.把這種影響用算式表達(dá)出來(lái)，經(jīng)簡(jiǎn)化整理就是數(shù)學(xué)物理方程。在本節(jié)，我們將通過(guò)幾個(gè)不同的物理模型推導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程中三種典型的方程，這些方程構(gòu)成本書的主要研究對(duì)象。1.1.1 弦振動(dòng)方程演奏弦樂器（例如二胡、提琴）的人用弓在弦上來(lái)回拉動(dòng)。弓所接觸的只是弦的很小一段，似乎應(yīng)該只引起這個(gè)小段的振動(dòng)，但實(shí)際上振動(dòng)總是傳播到整根弦，弦的各處都振動(dòng)起來(lái)。振動(dòng)是怎樣傳播的呢?不妨認(rèn)為弦是柔軟的，可是在繃緊以后，相鄰小段之間有拉力，這種拉力叫做弦中張力，張力沿著弦的切線方向。由于張力作用，一個(gè)小段的振動(dòng)必定帶動(dòng)它的鄰段，而鄰段又帶動(dòng)它的鄰段……這樣，一個(gè)小段的振動(dòng)必然傳播到整根弦。這種振動(dòng)傳播現(xiàn)象叫做波。

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