偏微分方程及數(shù)值解

前言

偏微分方程在物理、力學和工程技術(shù)的眾多學科中有著廣泛的應(yīng)用。經(jīng)典的內(nèi)容主要是討論三類基本方程（橢圓型方程、拋物型方程和雙曲型方程）的解析求解方法，包括分離變量法、行波法和積分變換法；數(shù)值解法包括差分法、變分法和有限元法等。在介紹這些基本內(nèi)容的同時，考慮到學生已具備的數(shù)學基礎(chǔ)，用通俗易懂、深入淺出的語言，讓學生接觸一些新的概念、理論和方法，不僅必要而且可行。本書的四位作者從事這門課程的教學已有多年，積累了豐富的經(jīng)驗。在承擔教學任務(wù)的同時，他們都有自己的研究方向。這一次，他們結(jié)合自己教學和科研工作的體會，根據(jù)工科院校的特點，密切結(jié)合工程技術(shù)中的應(yīng)用，撰寫了本書，以適應(yīng)理工科不同專業(yè)的不同要求，這是一件很有意義的工作。我相信本書的出版，對這門課程教學內(nèi)容的改革會起到一種促進作用，有利于更好地培養(yǎng)適應(yīng)新形勢的科技人才。

內(nèi)容概要

　　“偏微分方程及其數(shù)值解法”是高等院校的一門重要的基礎(chǔ)課程。本書內(nèi)容主要分兩部分，即偏微分方程理論部分和數(shù)值解法部分。偏微分方程理論部分主要包括偏微分方程的常用解法：分離變量法、行波法、Green函數(shù)法和積分變換法，以及兩種常見的特殊函數(shù)Bessel函數(shù)和Legendre多項式；數(shù)值解法部分包括有限差分法、拋物型方程的差分解法、雙曲型方程的差分解法、橢圓型方程的差分解法、變分法和有限元方法?！　”緯梢宰鳛椤靶畔⑴c計算科學”及“數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學”專業(yè)的基礎(chǔ)課教材，亦可作為非數(shù)學專業(yè)的各理工科專業(yè)本科生的教材（選學其中的基本內(nèi)容）。

書籍目錄

第1章　典型方程和定解條件　1.1　基本方程的建立　1.2　定解條件　1.3　定解問題的提法　習題1第2章　分離變量法　2.1　齊次方程齊次邊界條件的定解問題　2.2　非齊次方程齊次邊界條件的定解問題　2.3　周期性條件的定解問題　2.4　非齊次邊界條件的處理　2.5　本征值理論　習題2第3章　行波法　3.1　二階線性偏微分方程的分類　3.2　一維波動方程的D'Alembert公式　3.3　三維波動方程球面波　3.4　二維波動方程柱面波　習題3第4章　Bessel函數(shù)　4.1　Bessel方程的引入　4.2　Bessel方程的求解　4.3　當n為整數(shù)時Bessel方程的通解　4.4　Bessel函數(shù)的遞推公式　4.5　函數(shù)展開成Bessel函數(shù)的級數(shù)　4.6　Bessel函數(shù)應(yīng)用舉例　習題4第5章　Legendre多項式　5.1　Legendre微分方程及Legendre多項式　5.2　Legendre多項式的母函數(shù)　5.3　按Legendre多項式展開　5.4　連帶Legendre多項式的定義　5.5　Laplace方程在球形區(qū)域上的Dirichlet問題　5.6　本章公式表　習題5第6章　積分變換法　6.1　Fourier變換在求解偏微分方程初值問題中的應(yīng)用　6.2　Laplace變換在求解偏微分方程定解問題中的應(yīng)用　6.3　關(guān)于積分變換的一般討論　習題6第7章　Green函數(shù)法　7.1　Laplace方程邊值問題的提法　7.2　Green公式　7.3　Green函數(shù)　7.4　兩種特殊區(qū)域的Green函數(shù)及Dirichlet問題的解　習題7第8章　有限差分法簡介　8.1　有限差分近似　8.2　差分格式相容性、收斂性、穩(wěn)定性　8.3　確定差分格式穩(wěn)定性的方法　習題8第9章　拋物型方程的差分解法　9.1　常系數(shù)擴散方程　9.2　邊界條件離散　9.3　對流一擴散方程　9.4　變系數(shù)方程……第10章　雙曲型方程的差分解法第11章　橢圓型方程的差分解法第12章　變發(fā)法和有限元方法介紹附錄　有限差分法和有限元方法小結(jié)參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：第1章 典型方程和定解條件1.1 基本方程的建立本節(jié)要導出一些典型的數(shù)學物理方程。這里說的“導出”其實不過是用數(shù)學語言把物理規(guī)律“翻譯”出來罷了。通過這些典型方程的導出，希望讀者學會“翻譯”技巧。物理規(guī)律反映的是某個物理量在鄰近狀態(tài)和鄰近時刻之間的聯(lián)系，因此，數(shù)學物理方程的導出步驟如下：首先要確定研究哪一個物理量υ.從所研究的系統(tǒng)中劃出一個小部分，根據(jù)物理規(guī)律分析鄰近部分和這個小部分的相互作用（抓住主要的作用，略去不那么重要的因素），以及這種相互作用在一個短時間段里怎樣影響物理量υ.把這種影響用算式表達出來，經(jīng)簡化整理就是數(shù)學物理方程。在本節(jié)，我們將通過幾個不同的物理模型推導出數(shù)學物理方程中三種典型的方程，這些方程構(gòu)成本書的主要研究對象。1.1.1 弦振動方程演奏弦樂器（例如二胡、提琴）的人用弓在弦上來回拉動。弓所接觸的只是弦的很小一段，似乎應(yīng)該只引起這個小段的振動，但實際上振動總是傳播到整根弦，弦的各處都振動起來。振動是怎樣傳播的呢?不妨認為弦是柔軟的，可是在繃緊以后，相鄰小段之間有拉力，這種拉力叫做弦中張力，張力沿著弦的切線方向。由于張力作用，一個小段的振動必定帶動它的鄰段，而鄰段又帶動它的鄰段……這樣，一個小段的振動必然傳播到整根弦。這種振動傳播現(xiàn)象叫做波。

編輯推薦

《高等學校"十一五"規(guī)劃教材?偏微分方程及數(shù)值解》：高等學?！笆晃濉币?guī)劃教材?！陡叩葘W校"十一五"規(guī)劃教材?偏微分方程及數(shù)值解》可以作為“信息與計算科學”及“數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學”專業(yè)的基礎(chǔ)課教材，亦可作為非數(shù)學專業(yè)的各理工科專業(yè)本科生的教材（選學其中的基本內(nèi)容）。

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