高等代數(shù)考研教案

前言

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，它對培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力，以及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用，也是數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)考試的一門必考科目。高等代數(shù)主要包括多項式和線性代數(shù)兩部分內(nèi)容。線性代數(shù)又是工學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)科學(xué)生的基礎(chǔ)課程，在碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題中占有相當(dāng)大的比例且是必考內(nèi)容之一。這門課程的特點是內(nèi)容比較抽象，概念、定理比較多，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透。為了幫助考生加深對課程內(nèi)容的理解，掌握解題的方法及技巧，提高應(yīng)試能力，我們根據(jù)長期從事高等代數(shù)教學(xué)的經(jīng)驗及講授考研輔導(dǎo)班的教案，編著成本書。本書依照北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室編《高等代數(shù)》（第三版）的自然章編排，但為了保持前后內(nèi)容的滲透及關(guān)聯(lián)，對一些章節(jié)的內(nèi)容作了調(diào)整。如為了完整地介紹化簡二次型的方法（第五章），將特征值、特征向量及矩陣的相似對角化（第七章），正交矩陣及用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（第九章）等內(nèi)容均集中到第五章。每章由三部分內(nèi)容組成：一、知識脈胳圖解——以框圖的方式概括了本章的知識結(jié)構(gòu)，提綱挈領(lǐng)，一目了然。二、重點、難點解讀——對本章的知識重點與難點進(jìn)行簡要的總結(jié)歸納。三、典型例題解析——是本書的核心和具有特色的部分。按高等代數(shù)課程的內(nèi)容與知識點進(jìn)行了分門別類，每章歸納出若干小專題。在每個小專題中首先進(jìn)行要點點擊，系統(tǒng)總結(jié)解題思想與方法，以幫助考生理清思路及復(fù)習(xí)有關(guān)內(nèi)容。然后通過對大量典型例題的解析，使學(xué)生逐漸領(lǐng)會和掌握解題和考試的要領(lǐng)。例題中編入了全國一些重點高等學(xué)校的高等代數(shù)試題，這些試題按“學(xué)校一年份”來標(biāo)識，也編入了大部分工學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)科碩士研究生全國統(tǒng)一入學(xué)考試數(shù)學(xué)（一）、（二）、（三）、（四）中的線性代數(shù)試題，這些試題采用“年份一類別一分?jǐn)?shù)”標(biāo)識。如“98-3一08”表示1998年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)（三）的考題，且該題在卷面上所占分?jǐn)?shù)為8分。每道題都有詳盡的解題過程，并在部分解題前后增設(shè)分析及注記，以揭示思路，啟迪思維，評點解題技巧，指出容易疏漏之處。在附錄部分選編了西北工業(yè)大學(xué)的高等代數(shù)課程考試真題及研究生入學(xué)考試的試卷，并給出了詳細(xì)的解答。盡管本書是為學(xué)習(xí)及備考高等代數(shù)的數(shù)學(xué)系學(xué)生編寫的，但其中的第二、三、四、五章是相對獨立的線性代數(shù)部分，適合學(xué)習(xí)及備考線性代數(shù)的工學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)科的考生使用，本書還可供高校教師和工程技術(shù)人員參考。本書由徐仲教授、陸全教授主編并統(tǒng)稿，參加編寫的還有張凱院教授、呂全義副教授和安曉虹等。由于作者水平所限，對于書中的不妥及疏漏之處，敬請讀者指正。

內(nèi)容概要

　　高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，它對培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力，以及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用，也是數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)考試的一門必考科目。高等代數(shù)主要包括多項式和線性代數(shù)兩部分內(nèi)容。線性代數(shù)又是工學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)科學(xué)生的基礎(chǔ)課程，在碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題中占有相當(dāng)大的比例且是必考內(nèi)容之一。這門課程的特點是內(nèi)容比較抽象，概念、定理比較多，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透。為了幫助考生加深對課程內(nèi)容的理解，掌握解題的方法及技巧，提高應(yīng)試能力，我們根據(jù)長期從事高等代數(shù)教學(xué)的經(jīng)驗及講授考研輔導(dǎo)班的教案，編著成本書。

書籍目錄

第一章  多項式
  1.1  知識脈絡(luò)圖解
  1.2  重點、難點解讀
  1.3  典型例題解析
    1.3.1  數(shù)域的判定
    1.3.2  一元多項式的概念
    1.3.3  多項式的帶余除法及整除
    1.3.4  最大公因式的計算與證明
    1.3.5  互素多項式的判定與證明
    1.3.6  不可約多項式的判定與證明
    1.3.7  重因式的判定與證明
    1.3.8  多項式函數(shù)與多項式的根
    1.3.9  重要數(shù)域上多項式的因式分解
    1.3.10  多元多項式的概念
    1.3.11  化對稱多項式為初等對稱多項式的多項式
第二章  行列式
  2.1  知識脈絡(luò)圖解
  2.2  重點、難點解讀
  2.3  典型例題解析
    2.3.1  逆序數(shù)與行列式定義
    2.3.2  可直接利用性質(zhì)計算的行列式
    2.3.3  兩條線型行列式的計算
    2.3.4  箭形行列式的計算
    2.3.5  三對解行列式的計算
    2.3.6  Hessenberg型行列式的計算
    2.3.7  計算行(列)和相等的行列式
    2.3.8  可采用升階法計算的行列式
    2.3.9  相鄰行(列)元素差1的行列式計算
    2.3.10  范德蒙型行列式的計算
    2.3.11  行列式乘法公式及應(yīng)用
    2.3.12  求解行列式方程
    2.3.13  有關(guān)代數(shù)余子式的計算
    2.3.14  克拉默法則的應(yīng)用
    2.3.15  行列式計算雜例
第三章  線性方程組
  3.1  知識脈絡(luò)圖解
  3.2  重點、難點解讀
  3.3  典型例題解析
    3.3.1  用消元法求解線性方程組
    3.3.2  求具體矩陣的秩
    3.3.3  具體向量組線性相關(guān)性的判定
    3.3.4  向量由向量組線性表出的判定與證明
    3.3.5  抽象向量組線性相關(guān)性的判定與證明
    3.3.6  求向量組的秩與極大無關(guān)組
    3.3.7  求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系
    3.3.8  含參數(shù)線性方程組的求解
    3.3.9  抽象線性方程組的求解
    3.3.10  線性方程組有解的判定
    3.3.11  求兩個線性方程組的公共解
    3.3.12  線性方程組雜例
    3.3.13  結(jié)式與兩個一元多項式的公因式
    3.3.14  二元高次方程組的求解
第4章  矩陣
  4.1  知識脈胳圖解
  4.2  重點、難點解讀
  4.3  典型例題解析
    4.3.1  矩陣乘法與可交換矩陣
    4.3.2  求抽象矩陣的行列式
    4.3.3  求方陣的冪
    4.3.4  具體矩陣的可逆性判別及求逆矩陣
    4.3.5  求抽象矩陣的逆矩陣
    4.3.6  求解矩陣方程
    4.3.7  涉及伴隨矩陣的計算與證明
    4.3.8  求抽象矩陣的秩
    4.3.9  初等變換與初等矩陣
    4.3.10  分塊初等矩陣及應(yīng)用
    4.3.11  有關(guān)矩陣秩的證明
    4.3.12  矩陣計算雜例
第5章  二次型
  5.1  知識脈胳圖解
  5.2  重點、難點解讀
  5.3  典型例題解析
    5.3.1  二次型的矩陣表示
    5.3.2  用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
    5.3.3  矩陣合同的判定與求法
    5.3.4  求具體矩陣的特征值與特征向量
    5.3.5  求抽象矩陣的特征值
    5.3.6  方陣可對角化的判定、計算及應(yīng)用
    5.3.7  由特征值或特征向量反求矩陣中的參數(shù)
    5.3.8  由特征值和特征向量反求矩陣
    5.3.9  有關(guān)特征值與特征向量的證明
    5.3.10  相似矩陣的判定與證明
    5.3.11  正交矩陣的判定與證明
    5.3.12  實對稱矩陣正交相似于對角矩陣的計算
    5.3.13  用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
    5.3.14  正定矩陣的判定與證明
    5.3.15  由正定矩陣證明其它結(jié)論
    5.3.16  二次型雜例
第6章  線性空間
  6.1  知識脈胳圖解
  6.2  重點、難點解瀆
  6.3  典型例題解析
    6.3.1  線性空間的判定
    6.3.2  線性子空間的判定
    6.3.3  元素組線性相關(guān)性的判別
    6.3.4  求元素組的秩與極大無關(guān)組
    6.3.5  求線性(子)空間的基與維數(shù)
    6.3.6  求子空間的交與和的基與維數(shù)
    6.3.7  求過渡矩陣及坐標(biāo)
    6.3.8  予空間直和的判定與證明
    6.3.9  線性空間同構(gòu)的判定與證明
第7章  線性變換
  7.1  知識脈胳圖解
  7.2  重點、難點解讀
  7.3  典型例題解析
    7.3.1  線性變換的判定與證明
    7.3.2  求線性變換的矩陣
    7.3.3  線性變換的運(yùn)算及相應(yīng)的矩陣
    7.3.4  求線性變換的值域與核
    7.3.5  求線性變換的特征值與特征向量
    7.3.6  化簡線性變換的矩陣
    7.3.7  不變子空間的判定與證明
第8章  λ-矩陣
  8.1  知識脈胳圖解
  8.2  重點、難點解讀
  8.3  典型例題解析
    8.3.1  λ-矩陣的有關(guān)概念與計算
    8.3.2  求λ-矩陣的行列式因子
    8.3.3  求λ-矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形、不變因子和初等因子
    8.3.4  λ-矩陣等價的判定與證明
    8.3.5  相似矩陣的判定與證明
    8.3.6  求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形和有理標(biāo)準(zhǔn)形
    8.3.7  求相似變換矩陣
    8.3.8  Jordan標(biāo)準(zhǔn)形應(yīng)用舉例
    8.3.9  最小多項式的求法及有關(guān)證明
    8.3.10  Hamilton-Cayley定理及最小多項式應(yīng)用舉例
第9章  歐幾里得空間
  9.1  知識脈胳圖解
  9.2  重點、難點解讀
  9.3  典型例題解析
    9.3.1  內(nèi)積的構(gòu)造、判定與證明
    9.3.2  標(biāo)準(zhǔn)正艾基的求法
    9.3.3  正交補(bǔ)空間的計算與證明
    9.3.4  正交變換與對稱變換的判定與證明
    9.3.5  化簡對稱變換的矩陣
    9.3.6  酉空間的有關(guān)結(jié)果
第10章  雙線性函數(shù)與辛空間
  10.1  知識脈胳圖解
  10.2  重點、難點解讀
  10.3  典型例題解析
    10.3.1  線性函數(shù)及其對偶空間
    10.3.2  雙線性函數(shù)及其度量矩陣
    10.3.3  對稱雙線性函數(shù)的判定及度量矩陣的化簡
    10.3.4  反對稱雙線性函數(shù)的有關(guān)結(jié)果
附錄
  西北工業(yè)大學(xué)高等代數(shù)課程考試真題及解答
    A卷(Ⅰ)
    A卷(Ⅰ)參考解答
    A卷(Ⅱ)
    A卷(Ⅱ)參考解答
    B卷(Ⅰ)
    B卷(Ⅰ)參考解答
    B卷(Ⅱ)
    B卷(Ⅱ)參考解答
    C卷(Ⅰ)
    C卷(Ⅰ)參考解答
    C卷(Ⅱ)
    C卷(Ⅱ)參考解答
  西北工業(yè)大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試高等代數(shù)真題及解答
    2007年試題
    2007年試題參考解答
    2008年試題
    2008年試題參考解答
    2009年試題
    2009牟試題參考解答

章節(jié)摘錄

第1章多項式1.2 重點、難點解讀本章對多項式理論作了較深入、系統(tǒng)、全面地論述，內(nèi)容可分為一元多項式與多元多項式兩大部分，以一元多項式為主。一元多項式可歸納為以下四個方面：（1）一般理論：包括一元多項式的概念、運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)及基本性質(zhì)。（2）整除理論：包括整除、最大公因式、互素的概念與性質(zhì)。（3）因式分解理論：包括不可約多項式、因式分解、重因式、實系數(shù)與復(fù)系數(shù)多項式的因式分解、有理系數(shù)多項式不可約的判定等。（4）根的理論：包括多項式函數(shù)、多項式的根、代數(shù)學(xué)基本定理、有理系數(shù)多項式的有理根求法、根與系數(shù)的關(guān)系等。一元多項式的內(nèi)容十分豐富，重點是整除與因式分解的理論，最基本的結(jié)論是帶余除法定理、最大公因式的存在表示定理、因式分解的惟一性定理。在學(xué)習(xí)過程中，如能把握這兩個重點和三大基本定理，就能整體上把握一元多項式的理論。對于多元多項式，則要理解n元多項式、對稱多項式等有關(guān)概念，掌握對稱多項式表成初等對稱多項式的多項式的方法。

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《高等代數(shù)(北大·3版)考研教案(第2版)》：名師考案叢書。

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