應(yīng)用微積分

前言

　　在高等教育中，微積分是理工、經(jīng)管、農(nóng)醫(yī)等眾多院校、眾多專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，其理論與方法有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域?！　∥⒎e分課程一般也稱為高等數(shù)學(xué)?？赡苡腥藭?huì)問(wèn)：大學(xué)階段學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)與中學(xué)階段學(xué)習(xí)的初等數(shù)學(xué)在研究對(duì)象與研究方法上有什么不同呢？我們知道，數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。初等數(shù)學(xué)研究的基本上是常量，即在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持不變的量；初等數(shù)學(xué)研究的圖形多是形狀確定的規(guī)則幾何形體。在研究方法上，初等數(shù)學(xué)基本上是采用形式邏輯的方法，靜止孤立地對(duì)具體的“形”與“數(shù)”逐個(gè)進(jìn)行研究。高等數(shù)學(xué)研究的對(duì)象主要是變量；高等數(shù)學(xué)研究的圖形多是不規(guī)則的幾何形體，如抽象的曲線、曲面以及由它們構(gòu)成的幾何形體，而且將“形”與“數(shù)”緊密聯(lián)系在一起，相互滲透。在研究方法上，高等數(shù)學(xué)不再是孤立地、逐個(gè)地討論問(wèn)題，而是從整體上普遍地解決問(wèn)題?！　±?，導(dǎo)數(shù)或微分與積分構(gòu)成了微積分理論的兩個(gè)重要方面，導(dǎo)數(shù)是從微觀上研究函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化狀態(tài)，而積分則是從宏觀上研究函數(shù)在某一區(qū)間或區(qū)域上的整體形態(tài)。在研究方法上，無(wú)論是導(dǎo)數(shù)還是積分都引入了“無(wú)限”的思想，通過(guò)極限的方法使問(wèn)題得以解決。簡(jiǎn)而言之，函數(shù)是微積分的主要研究對(duì)象，極限是微積分的研究方法和基礎(chǔ)。　　微積分產(chǎn)生于17世紀(jì)，正值工業(yè)革命的盛世。航海造船業(yè)的興起，機(jī)械制造業(yè)的發(fā)展，運(yùn)河渠道的開掘，天文物理的研究諸多領(lǐng)域面臨著許多亟待解決的應(yīng)用難題，呼喚著新的數(shù)學(xué)理論和方法的出現(xiàn)。牛頓和萊布尼茲總結(jié)了數(shù)學(xué)先驅(qū)們的研究成果，集大成，創(chuàng)立了微積分，并直接將其應(yīng)用于科研與技術(shù)領(lǐng)域，使科學(xué)技術(shù)呈現(xiàn)出突飛猛進(jìn)的嶄新面貌?？梢哉f(shuō)，微積分是繼歐幾里得幾何以后全部數(shù)學(xué)中最偉大的創(chuàng)造。直至今日，作為數(shù)學(xué)科學(xué)的重要支柱，微積分仍保持著強(qiáng)大的生命力?！　‘?dāng)今世界正從工業(yè)時(shí)代步人信息時(shí)代?？茖W(xué)技術(shù)的日新月異，大大擴(kuò)展了數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域。相應(yīng)地，對(duì)當(dāng)代大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求也在不斷提高，期待著更多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，創(chuàng)新能力強(qiáng)，綜合素質(zhì)佳的人才涌現(xiàn)。

內(nèi)容概要

本書是為普通高等院校所編寫的數(shù)學(xué)教材，主要介紹了有關(guān)應(yīng)用微積分知識(shí)。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，可獲得一元函數(shù)微積分及其應(yīng)用、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，以及向量代數(shù)與空間解析幾何、無(wú)窮級(jí)數(shù)與微分方程等方面的基本概念、基本理論、基本方法和基本技能。

書籍目錄

第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)
 1.1 函數(shù)
 1.1.1 函數(shù)的概念
 1.1.2 函數(shù)的幾種常見性態(tài)
 1.1.3 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)
 1.1.4 初等函數(shù)與非初等函數(shù)
 習(xí)題1—1
 1.2 極限
 1.2.1 極限概念引例
 1.2.2 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限
 1.2.3 自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限
 1.2.4 數(shù)列的極限
 1.2.5 無(wú)窮小與無(wú)窮大
 習(xí)題1—2
 1.3 極限的性質(zhì)與運(yùn)算
 1.3.1 極限的幾個(gè)性質(zhì)
 1.3.2 極限的四則運(yùn)算法則
 1.3.3 夾逼法則
 1.3.4 復(fù)合運(yùn)算法則
 習(xí)題1—3
 1.4 單調(diào)有界原理和無(wú)理數(shù)e
 1.4.1 單調(diào)有界原理
 1.4.2 極限lim
 1.4.3 指數(shù)函數(shù)ex，對(duì)數(shù)函數(shù)In x
 習(xí)題1—4
 1.5 無(wú)窮小的比較
 1.5.1 無(wú)窮小的階
 1.5.2 利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限
 習(xí)題1—5
 1.6 函數(shù)的連續(xù)與間斷
 1.6.1 函數(shù)的連續(xù)與間斷
 1.6.2 初等函數(shù)的連續(xù)性
 習(xí)題1—6
 1.7 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
 1.7.1 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性與最值性質(zhì)
 1.7.2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性質(zhì)
 習(xí)題1—7
 1.8 應(yīng)用實(shí)例閱讀
 復(fù)習(xí)題一
 參考答案與提示
第2章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用
 2.1 導(dǎo)數(shù)的概念
 2.1.1 變化率問(wèn)題舉例
 2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念
 2.1.3 用定義求導(dǎo)數(shù)舉例
 2.1.4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
 2.1.5 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系
 2.1.6 導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用舉例
 習(xí)題2—1
 2.2 求導(dǎo)法則
 2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則
 2.2.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
 2.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則
 2.2.4 一些特殊的求導(dǎo)法則
 習(xí)題2—2
 2.3 高階導(dǎo)數(shù)與相關(guān)變化率
 2.3.1 高階導(dǎo)數(shù)
 2.3.2 相關(guān)變化率
 習(xí)題2—3
 2.4 函數(shù)的微分與函數(shù)的局部線性逼近
 2.4.1 微分的概念
 2.4.2 微分公式與運(yùn)算法則
 2.4.3 微分的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用
 習(xí)題2—4
 2.5 利用導(dǎo)數(shù)求極限——洛必達(dá)法則
 2.5.1 0/0型未定式的極限
 2.5.2 ∞/∞型未定式的極限
 2.5.3 其他類型未定式的極限
 習(xí)題2—5
 2.6 微分中值定理
 2.6.1 羅爾定理
 2.6.2 拉格朗日中值定理
 2.6.3 柯西中值定理
 習(xí)題2—6
 2.7 泰勒公式——用多項(xiàng)式逼近函數(shù)
 2.7.1 泰勒多項(xiàng)式與泰勒公式
 2.7.2 常用函數(shù)的麥克勞林公式
 習(xí)題2—7
 2.8 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)
 2.8.1 函數(shù)的單調(diào)性
 2.8.2 函數(shù)的極值
 2.8.3 函數(shù)的最大值與最小值
 2.8.4 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)
 2.8.5 曲線的漸近線，函數(shù)作圖
 習(xí)題2—8
 2.9 應(yīng)用實(shí)例閱讀
 復(fù)習(xí)題二
 參考答案與提示
第3章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用
 3.1 定積分的概念、性質(zhì)、可積準(zhǔn)則
 3.1.1 定積分問(wèn)題舉例
 3.1.2 定積分的概念
 3.1.3 定積分的幾何意義
 3.1.4 可積準(zhǔn)則
 3.1.5 定積分的性質(zhì)
 習(xí)題3—1
3.2 微積分基本定理
 3.2.1 牛頓—萊布尼茲公式
 3.2.2 原函數(shù)存在定理
 習(xí)題3—2
 3.3 不定積分
 3.3.1 不定積分的概念及性質(zhì)
 3.3.2 基本積分公式
 3.3.3 積分法則
 習(xí)題3—3
 3.4 定積分的計(jì)算
 3.4.1定積分的換元法
 3.4.2 定積分的分部積分法
 習(xí)題3—4
 3.5 定積分應(yīng)用舉例
 3.5.1 總量的可加性與微元法
 3.5.2 幾何應(yīng)用舉例
 3.5.3 物理、力學(xué)應(yīng)用舉例
 3.5.4 函數(shù)的平均值
 習(xí)題3—5
 3.6 反常積分
 3.6.1 無(wú)窮區(qū)間上的反常積分
 3.6.2 無(wú)界函數(shù)的反常積分
 習(xí)題3—6
 3.7 應(yīng)用實(shí)例閱讀
 復(fù)習(xí)題三
 參考答案與提示
第4章 微分方程
 4.1 微分方程的基本概念
 習(xí)題4—1
 4.2 某些簡(jiǎn)單微分方程的初等積分法
 4.2.1 一階可分離變量方程
 4.2.2 一階線性微分方程
 4.2.3 利用變量代換求解微分方程
 4.2.4 某些可降階的高階微分方程
 習(xí)題4—2
 4.3 建立微分方程方法簡(jiǎn)介
 習(xí)題4—3
 4.4 二階線性微分方程
 4.4.1 線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)
 4.4.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法
 4.4.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法
 習(xí)題4—4
 4.5 應(yīng)用實(shí)例閱讀
 復(fù)習(xí)題四
 參考答案與提示
附錄
 附錄1 基本初等函數(shù)
 附錄2 極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系
 附錄3 幾種常見曲線
參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　函數(shù)是微積分的研究對(duì)象；極限是微積分的基本運(yùn)算，極限方法是研究函數(shù)的主要工具，它奠定了微積分學(xué)的基礎(chǔ)；連續(xù)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它是現(xiàn)實(shí)世界中廣泛存在的漸變現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述。連續(xù)函數(shù)在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中都占有重要地位，本課程研究的函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)?！　≡诒菊轮校覀兿冉榻B函數(shù)的概念、函數(shù)的特性以及初等函數(shù)的概念。　　極限是本章的重點(diǎn)，這部分主要介紹函數(shù)極限概念，而把數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例來(lái)處理，極限部分內(nèi)容包括：極限概念、極限的性質(zhì)與運(yùn)算、兩個(gè)應(yīng)用廣泛的重要極限、無(wú)窮小與無(wú)窮大概念、無(wú)窮小的性質(zhì)及其應(yīng)用?！　『瘮?shù)連續(xù)性的概念放在本章最后，內(nèi)容包括：函數(shù)連續(xù)性概念、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性，最后從幾何上介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一些重要性質(zhì)。

圖書封面

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