數(shù)學(xué)問題

前言

　　數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)家的靈魂數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)家的靈魂。試想：離開公理化思想，何談歐幾里得、希爾伯特？沒有數(shù)形結(jié)合思想，笛卡兒焉在？沒有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想，怎論布爾巴基學(xué)派？……數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想當(dāng)然首先是體現(xiàn)在他們的創(chuàng)新性數(shù)學(xué)研究之中，包括他們提出的新概念、新理論、新方法。牛頓、萊布尼茨的微積分思想，高斯、波約、羅巴切夫斯基的非歐幾何思想，伽羅瓦“群”的概念，哥德爾不完全性定理與圖靈機(jī)，納什均衡理論，等等，匯成了波瀾壯闊的數(shù)學(xué)思想海洋，構(gòu)成了人類思想史上不可磨滅的篇章。數(shù)學(xué)家們的數(shù)學(xué)觀也屬于數(shù)學(xué)思想的范疇，這包括他們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、特點(diǎn)、意義和價(jià)值的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)來源及其與人類其他知識(shí)領(lǐng)域的關(guān)系的看法，以及科學(xué)方法論方面的見解，等等。當(dāng)然，在這些問題上，古往今來數(shù)學(xué)家們的意見是很不相同有時(shí)甚至是對(duì)立的。但正是這些不同的聲音，合成了理性思維的交響樂。正如人們通過繪畫或樂曲來認(rèn)識(shí)和鑒賞畫家或作曲家一樣，數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想無疑是人們了解數(shù)學(xué)家和評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)家的主要依據(jù)，也是數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)于人類和人們要向數(shù)學(xué)家求知的主要內(nèi)容。在這個(gè)意義上我們可以說：“數(shù)學(xué)家思，故數(shù)學(xué)家在。”數(shù)學(xué)思想的社會(huì)意義數(shù)學(xué)思想是不是只有數(shù)學(xué)家才需要具備呢？當(dāng)然不是。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)與人文社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)，這一點(diǎn)已越來越成為當(dāng)今社會(huì)的共識(shí)。數(shù)學(xué)的這種基礎(chǔ)地位，首先是由于它作為科學(xué)的語言和工具而在人類幾乎一切知識(shí)領(lǐng)域獲得日益廣泛的應(yīng)用，但更重要的恐怕還在于數(shù)學(xué)對(duì)于人類社會(huì)的文化功能，即培養(yǎng)發(fā)展人的思維能力特別是精密思維能力。一個(gè)人不管將來從事何種職業(yè)，思維能力都可以說是無形的資本，而數(shù)學(xué)恰恰是鍛煉這種思維能力的體操。這正是為什么數(shù)學(xué)會(huì)成為每個(gè)受教育的人一生中需要學(xué)習(xí)時(shí)間最長的學(xué)科之一。這并不是說我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)習(xí)過的每一個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都會(huì)在日后的生活與工作中派上用處，數(shù)學(xué)影響一個(gè)人終身發(fā)展的主要在于思維方式。以歐幾里得幾何為例，我們?cè)趯W(xué)校里學(xué)過的大多數(shù)幾何定理日后大概很少直接有用甚或基本不用，但歐氏幾何嚴(yán)格的演繹思想和推理方法卻在造就各行各業(yè)的精英人才方面有著毋庸否定的意義。事實(shí)上，從牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》到愛因斯坦的相對(duì)論著作，從法國大革命的《人權(quán)宣言》到馬克思的《資本論》，乃至現(xiàn)代諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主們的論著中，我們都不難看到歐幾里得的身影。另一方面，數(shù)學(xué)的定量化思想更是以空前的廣度與深度向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)，從嚴(yán)密的論證到精確的計(jì)算，為人類提供了精密思維的典范。一個(gè)戲劇性的例子是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)中扮演關(guān)鍵角色的所謂“程序內(nèi)存”概念或“程序自動(dòng)化”思想。我們知道，第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)(ENIAC)在制成之初，由于計(jì)算速度的提高與人工編制程序的遲緩之間的尖銳矛盾而瀕于夭折，在這一關(guān)鍵時(shí)刻，恰恰是數(shù)學(xué)家馮-諾依曼提出的“程序內(nèi)存”概念拯救了人類這一偉大的技術(shù)發(fā)明。直到今天，計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的基本原理仍然遵循著馮·諾依曼的主要思想，馮·諾依曼因此被尊為“計(jì)算機(jī)之父”(雖然現(xiàn)在知道他并不是歷史上提出此種想法的唯一數(shù)學(xué)家)。像“程序內(nèi)存”這樣似乎并非“數(shù)學(xué)”的概念，卻要等待數(shù)學(xué)家并且是馮·諾依曼這樣的大數(shù)學(xué)家的頭腦來創(chuàng)造，這難道不耐人尋味嗎？因此，我們可以說，數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想是全社會(huì)的財(cái)富。數(shù)學(xué)的傳播與普及，除了具體數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播與普及，更實(shí)質(zhì)性的是數(shù)學(xué)思想的傳播與普及。在科學(xué)技術(shù)日益數(shù)學(xué)化的今天，這已越來越成為一種社會(huì)需要了。試設(shè)想：如果有越來越多的公民能夠或多或少地運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式來思考和處理問題，那將會(huì)是怎樣一幅社會(huì)進(jìn)步的前景??！

內(nèi)容概要

希爾伯特（David Hilbert，1862-1943），德國數(shù)學(xué)家，20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。    本書選編了希爾伯特在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上的講演《數(shù)學(xué)問題》。他在講演中提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問題，激發(fā)了整個(gè)數(shù)學(xué)界的想像力，推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。希爾伯特在該講演中還闡述了他對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)知識(shí)的來源、數(shù)學(xué)問題的重要性及研究方法的精辟見解。

作者簡介

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書籍目錄

20世紀(jì)數(shù)學(xué)的揭幕人——希爾伯特?cái)?shù)學(xué)問題——在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表會(huì)上的講演譯后小記附錄

章節(jié)摘錄

　　超限公理還使形式系統(tǒng)的相容性證明得到實(shí)質(zhì)性縮減。為要證明形式系統(tǒng)無矛盾，只要證明在該系統(tǒng)中不可能導(dǎo)出公式0≠0即可。對(duì)此，希爾伯特方法的基本思想是：只使用普遍承認(rèn)的有限性的證明方法，不能使用有爭議的原則諸如超限歸納、選擇公理等等，不能涉及公式的無限多個(gè)結(jié)構(gòu)性質(zhì)或無限多個(gè)公式操作。希爾伯特這種所謂的有限方法亦由超限公理加以保障：借助超限公理，可將形式系統(tǒng)的一切超限工具（包括全稱量詞、存在量詞以及選擇公理等）都?xì)w約為一個(gè)超限函子，然后系統(tǒng)地消去包含丁的所有環(huán)節(jié)，就不難回到有限觀點(diǎn)。希爾伯特的形式化觀點(diǎn)是在同以L·布勞威爾（Brouwer）為代表的直覺主義針鋒相對(duì)的爭論中發(fā)展的。對(duì)直覺主義者來說，數(shù)學(xué)中重要的是真實(shí)性而不是相容性。他們認(rèn)為“一般人所接受的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了可以判斷其真實(shí)意義的范圍”，因而主張通過放棄一切真實(shí)性受到懷疑的概念和方法（包括無理數(shù)、超限數(shù)、排中律等）來擺脫數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)危機(jī)。希爾伯特堅(jiān)決反對(duì)這種“殘缺不全”的數(shù)學(xué)。他說：“禁止數(shù)學(xué)家使用排中律就等于禁止天文學(xué)家使用望遠(yuǎn)鏡和禁止拳擊家使用拳頭?！迸c直覺主義為了保全真實(shí)性而犧牲部分?jǐn)?shù)學(xué)財(cái)富的做法相反，希爾伯特則通過完全抽掉對(duì)象的真實(shí)意義進(jìn)而建立形式系統(tǒng)的相容性來挽救古典數(shù)學(xué)的整個(gè)體系。希爾伯特對(duì)自己的綱領(lǐng)抱著十分樂觀的態(tài)度，希望“一勞永逸地解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題”。然而，1931年奧地利數(shù)學(xué)家K·哥德爾（Gtidel）證明了：任何一個(gè)足以包含實(shí)數(shù)算術(shù)的形式系統(tǒng)，必定存在一個(gè)不可判定的命題S（即S與～S皆成立）。這使形式主義的計(jì)劃受到挫折。一些數(shù)學(xué)家試圖通過放寬對(duì)形式化的要求來確立形式系統(tǒng)的相容性，例如1936年，希爾伯特的學(xué)生G·根岑（Gentzen）在允許使用超限歸納法的情況下證明了算術(shù)公理的相容性。但希爾伯特原先的目標(biāo)依然未能實(shí)現(xiàn)。盡管如此，恰如哥德爾所說：希爾伯特的形式主義計(jì)劃仍不失其重要性，它促進(jìn)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的深化。特別是，希爾伯特通過形式化第一次使數(shù)學(xué)證明本身成為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。證明論已發(fā)展成表征著數(shù)理邏輯新面貌的富有成果的研究領(lǐng)域。希爾伯特的形式主義觀點(diǎn)，在他分別與其邏輯助手w·阿克曼（Ackermann）和P·貝爾奈斯（Belnays）合作的兩部專著《數(shù)理邏輯基礎(chǔ)》（GzndziZgederTheoretischenLogik，1928）和《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（GrundlagenderMathematik，1934，1939）中得到了系統(tǒng)的陳述。數(shù)學(xué)問題C·卡拉西奧多里（Garatheodory）曾引用過他直接聽到的一位當(dāng)代大數(shù)學(xué)家對(duì)希爾伯特說過的話：“你使得我們所有的人，都僅僅在思考你想讓我們思考的問題”，這里指的是希爾伯特1900年在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的著名講演《數(shù)學(xué)問題》（MathematischeProbleme）。這篇講演也許比希爾伯特任何單項(xiàng)的成果都更加激起了普遍而熱烈的關(guān)注。希爾伯特在其中對(duì)各類數(shù)學(xué)問題的意義、源泉及研究方法發(fā)表了精辟見解，而整個(gè)講演的核心部分則是他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢而提出的23個(gè)問題，數(shù)學(xué)史上亦稱之為“希爾伯特問題”。這些問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大部分領(lǐng)域，它們的解決，對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了持久的影響。1．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1963年，P·科恩（Cohen）在下述意義下證明了第一問題不可解：即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉诓呙妨_（ZetTile-lo）一弗倫克爾（fracnkel）公理系統(tǒng)內(nèi)判明。2．算術(shù)公理的相容性。1931年哥德爾“不完備定理”指出了用元數(shù)學(xué)證明算術(shù)公理相容性之不可行。算術(shù)相容性問題至今尚未解決。3．兩等底等高的四面體體積之相等。這一問題1900年即由希爾伯特的學(xué)生M·德恩（De-hn）給出肯定解答，是希爾伯特諸問題最早獲得解決者。4．直線作為兩點(diǎn)間最短距離問題。在構(gòu)造各種特殊度量幾何方面已有許多進(jìn)展，但問題過于一般，未完全解決。

媒體關(guān)注與評(píng)論

　　這些文集中的作品大都短小精悍，魅力四射，充滿科學(xué)的真知灼見，在國外流傳頗廣。相對(duì)而言，這些作品可以說是數(shù)學(xué)思想海洋中的珍奇貝殼，數(shù)學(xué)百花園中的美麗花束。我們并不奢望這樣一些貝殼和花束能夠扭轉(zhuǎn)功利的時(shí)潮，但我們相信愛因斯坦在紀(jì)念牛頓時(shí)所說的話：“理解力的產(chǎn)品要比喧嚷紛擾的世代經(jīng)久，它能經(jīng)歷好多個(gè)世紀(jì)而繼續(xù)發(fā)出光和熱?！弊x讀大師，走近數(shù)學(xué)，所有的人都會(huì)開卷受益?！　　钗牧帧　?shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想是全社會(huì)的財(cái)富。數(shù)學(xué)的傳播與普及，除了具體數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播與普及，更實(shí)質(zhì)性的是數(shù)學(xué)思想的傳播與普及。在科學(xué)技術(shù)

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