數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性

前言

　　數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)家的靈魂　　數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)家的靈魂。試想：離開公理化思想，何談歐幾里得、希爾伯特？沒有數(shù)形結(jié)合思想，笛卡兒焉在？沒有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想，怎論布爾巴基學(xué)派？……　　數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想當(dāng)然首先是體現(xiàn)在他們的創(chuàng)新性數(shù)學(xué)研究之中，包括他們提出的新概念、新理論、新方法。牛頓、萊布尼茨的微積分思想，高斯、波約、羅巴切夫斯基的非歐幾何思想，伽羅瓦“群”的概念，哥德爾不完全性定理與圖靈機(jī)，納什均衡理論，等等，匯成了波瀾壯闊的數(shù)學(xué)思想海洋，構(gòu)成了人類思想史上不可磨滅的篇章?！　?shù)學(xué)家們的數(shù)學(xué)觀也屬于數(shù)學(xué)思想的范疇，這包括他們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、特點(diǎn)、意義和價(jià)值的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)來源及其與人類其他知識(shí)領(lǐng)域的關(guān)系的看法，以及科學(xué)方法論方面的見解，等等。當(dāng)然，在這些問題上，古往今來數(shù)學(xué)家們的意見是很不相同有時(shí)甚至是對(duì)立的。但正是這些不同的聲音，合成了理性思維的交響樂。　　正如人們通過繪畫或樂曲來認(rèn)識(shí)和鑒賞畫家或作曲家一樣，數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想無疑是人們了解數(shù)學(xué)家和評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)家的主要依據(jù)，也是數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)于人類和人們要向數(shù)學(xué)家求知的主要內(nèi)容。在這個(gè)意義上我們可以說：　　“數(shù)學(xué)家思，故數(shù)學(xué)家在?！薄　?shù)學(xué)思想的社會(huì)意義　　數(shù)學(xué)思想是不是只有數(shù)學(xué)家才需要具備呢？當(dāng)然不是。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)與人文社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)，這一點(diǎn)已越來越成為當(dāng)今社會(huì)的共識(shí)。數(shù)學(xué)的這種基礎(chǔ)地位，首先是由于它作為科學(xué)的語言和工具而在人類幾乎一切知識(shí)領(lǐng)域獲得日益廣泛的應(yīng)用，但更重要的恐怕還在于數(shù)學(xué)對(duì)于人類社會(huì)的文化功能，即培養(yǎng)發(fā)展人的思維能力特別是精密思維能力。一個(gè)人不管將來從事何種職業(yè)，思維能力都可以說是無形的資本，而數(shù)學(xué)恰恰是鍛煉這種思維能力的體操。這正是為什么數(shù)學(xué)會(huì)成為每個(gè)受教育的人一生中需要學(xué)習(xí)時(shí)間最長的學(xué)科之一。這并不是說我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)習(xí)過的每一個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都會(huì)在日后的生活與工作中派上用處，數(shù)學(xué)影響一個(gè)人終身發(fā)展的主要在于思維方式。以歐幾里得幾何為例，我們?cè)趯W(xué)校里學(xué)過的大多數(shù)幾何定理日后大概很少直接有用甚或基本不用，但歐氏幾何嚴(yán)格的演繹思想和推理方法卻在造就各行各業(yè)的精英人才方面有著毋庸否定的意義。事實(shí)上，從牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》到愛因斯坦的相對(duì)論著作，從法國大革命的《人權(quán)宣言》到馬克思的《資本論》，乃至現(xiàn)代諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主們的論著中，我們都不難看到歐幾里得的身影。另一方面，數(shù)學(xué)的定量化思想更是以空前的廣度與深度向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)，從嚴(yán)密的論證到精確的計(jì)算，為人類提供了精密思維的典范。　　一個(gè)戲劇性的例子是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)中扮演關(guān)鍵角色的所謂“程序內(nèi)存”概念或“程序自動(dòng)化”思想。我們知道，第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)(ENIAC)在制成之初，由于計(jì)算速度的提高與人工編制程序的遲緩之間的尖銳矛盾而瀕于夭折，在這一關(guān)鍵時(shí)刻，恰恰是數(shù)學(xué)家馮-諾依曼提出的“程序內(nèi)存”概念拯救了人類這一偉大的技術(shù)發(fā)明。直到今天，計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的基本原理仍然遵循著馮·諾依曼的主要思想，馮·諾依曼因此被尊為“計(jì)算機(jī)之父”(雖然現(xiàn)在知道他并不是歷史上提出此種想法的唯一數(shù)學(xué)家)。像“程序內(nèi)存”這樣似乎并非“數(shù)學(xué)”的概念，卻要等待數(shù)學(xué)家并且是馮·諾依曼這樣的大數(shù)學(xué)家的頭腦來創(chuàng)造，這難道不耐人尋味嗎？因此，我們可以說，數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想是全社會(huì)的財(cái)富?！　?shù)學(xué)的傳播與普及，除了具體數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播與普及，更實(shí)質(zhì)性的是數(shù)學(xué)思想的傳播與普及。在科學(xué)技術(shù)日益數(shù)學(xué)化的今天，這已越來越成為一種社會(huì)需要了。試設(shè)想：如果有越來越多的公民能夠或多或少地運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式來思考和處理問題，那將會(huì)是怎樣一幅社會(huì)進(jìn)步的前景?。?/pre>


內(nèi)容概要
阿蒂亞（M.F.Atiyah，1929- ）英國數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎(jiǎng)得主，20世紀(jì)下半葉最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一。    本書選編了阿蒂亞關(guān)于拓?fù)鋵W(xué)、大范圍幾何、純粹數(shù)學(xué)的歷史及發(fā)展方向等方面的文章。此外還包括阿蒂亞的訪問記、阿蒂亞對(duì)自己數(shù)學(xué)工作的總結(jié)以及他關(guān)于其他學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)的影響等的論述。通過本書我們可以全面地了解阿蒂亞的數(shù)學(xué)和哲學(xué)思想。


作者簡介
　　阿蒂亞，英國數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎(jiǎng)得主，20世紀(jì)下半葉最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一。


書籍目錄
代數(shù)拓?fù)湓跀?shù)學(xué)中的作用數(shù)學(xué)的變遷和進(jìn)展如何進(jìn)行研究大范圍幾何學(xué)純粹數(shù)學(xué)的歷史走向數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性什么是幾何阿蒂亞訪問記我的數(shù)學(xué)工作20世紀(jì)80年代的分析和幾何數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)革命鑒別數(shù)學(xué)進(jìn)步之我見物理對(duì)幾何的影響附錄


章節(jié)摘錄
　　拓?fù)鋵W(xué)的起源與技巧　　一百年前這個(gè)學(xué)會(huì)創(chuàng)建之初，拓?fù)鋵W(xué)幾乎還不存在。而今，它已赫然處在數(shù)學(xué)的中心位置上，其影響擴(kuò)展到了所有的方向?，F(xiàn)在似乎正是一個(gè)合適的時(shí)機(jī)去試圖了解它是怎樣產(chǎn)生的，并試圖描述出拓?fù)鋵W(xué)與其他較為古老的數(shù)學(xué)分支之間的那些復(fù)雜的、引人入勝的相互作用的粗略輪廓。　　倘若回顧一下19世紀(jì)，我們就可以辨認(rèn)出一些能夠充做拓?fù)鋵W(xué)發(fā)源的思想和成果。然而，如果說具有拓?fù)渌枷氲淖罡灰饬x的例子產(chǎn)生于代數(shù)函數(shù)的黎曼（Riemann）面理論，那大概是不會(huì)錯(cuò)的。就讓我們從簡要地描述這個(gè)例子開始吧?！　∥覀儚脑趶?fù)射影平面上的（非異）代數(shù)曲線著手，它定義了一個(gè)緊黎曼面。承載它的是一個(gè)實(shí)的二維微分流形，而最下面的是它的承載拓?fù)淇臻g。換句話說，我們有了一個(gè)分層結(jié)構(gòu)：　　代數(shù)的一全純的一可微的一拓?fù)涞膶?duì)這種情形，我們可以提出兩個(gè)基本問題。首先，什么是這個(gè)承載拓?fù)淇臻g的不變量；其次，怎樣用它的“上層結(jié)構(gòu)”來解釋這些不變量。在我們這個(gè)特殊的例子中，本質(zhì)上只有一個(gè)曲面拓?fù)洳蛔兞?，即虧格（或者說，環(huán)柄的個(gè)數(shù)）。這個(gè)理論的經(jīng)典結(jié)果告訴我們，這個(gè)數(shù)就是黎曼面的全純（或代數(shù)）微分空間的維數(shù)。這是用代數(shù)或全純結(jié)構(gòu)解釋了虧格g。而著名的高斯（Gauss）定理說，曲面的曲率的積分等于2—2g。而它可以看做是用微分結(jié)構(gòu)給出g的一個(gè)令人滿意的解釋?！　⒋鷶?shù)函數(shù)論推廣到高維情形一直是過去一百年來的主要數(shù)學(xué)熱點(diǎn)。這方面的進(jìn)展總是與拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展緊密相連。目前，尋找拓?fù)洳蛔兞康慕馕龊x這種一般性的問題已在層論中發(fā)現(xiàn)了它的一個(gè)最令人滿意的構(gòu)架。粗略地可以描述如下。在相當(dāng)早的階段，拓?fù)鋵W(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，考慮不單使用整數(shù)為系數(shù)而是以一般群作系數(shù)的同調(diào)論是有用的。而在層論中，人們不僅使用常數(shù)而且使用某些指定類型的函數(shù)作系數(shù)，例如全純函數(shù)。因此，所得到的上同調(diào)群不但是承載空間的不變量而且是上層結(jié)構(gòu)的不變量。如此一來，拓?fù)涞膯栴}與解析的問題就融合在一起了。　　相對(duì)于前面簡要提及的拓?fù)鋵W(xué)由其他學(xué)科產(chǎn)生的方式，我們考慮問題的另一個(gè)方面，并提出如下問題：什么是拓?fù)鋵W(xué)的問題，如何解決它們？拓?fù)鋵W(xué)的基本問題是同倫。給定兩個(gè)拓?fù)淇臻gX及y，考慮它們之間的所有連續(xù)映射xy。我們想要在同倫的意義下，即在連續(xù)形變下，將它們分類。處理這個(gè)問題的首要步驟是逼近。由于連續(xù)映射不好處理，我們想根據(jù)不同的要求將它用不同的但是較小的較易于處理的映射類去代替、去置換。對(duì)多面體我們用逐段線性映射，對(duì)微分流形我們用可微映射，而對(duì)代數(shù)簇則可以（有時(shí)）用多項(xiàng)式。在作了逼近之后，我們就必須使用那些適合于這種函數(shù)類的技巧，從而把我們又帶回到代數(shù)或分析中。由此可知，拓?fù)鋵W(xué)不僅在靈感的獲得上而且在解決問題的技巧上都必須依賴于其他的數(shù)學(xué)分支?！　≡谏鲜鋈惐平?，最重要的一類是逐段線性映射，這是因?yàn)樗凶顝V泛的應(yīng)用范疇。這時(shí)所需要的技巧是組合數(shù)學(xué)或代數(shù)學(xué)。然而，由于代數(shù)學(xué)家沒有事先發(fā)展出這種



媒體關(guān)注與評(píng)論
　　這些文集中的作品大都短小精悍，魅力四射，充滿科學(xué)的真知灼見，在國外流傳頗廣。相對(duì)而言，這些作品可以說是數(shù)學(xué)思想海洋中的珍奇貝殼，數(shù)學(xué)百花園中的美麗花束。我們并不奢望這樣一些貝殼和花束能夠扭轉(zhuǎn)功利的時(shí)潮，但我們相信愛因斯坦在紀(jì)念牛頓時(shí)所說的話：“理解力的產(chǎn)品要比喧嚷紛擾的世代經(jīng)久，它能經(jīng)歷好多個(gè)世紀(jì)而繼續(xù)發(fā)出光和熱。”讀讀大師，走近數(shù)學(xué)，所有的人都會(huì)開卷受益。　　——李文林　　數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想是全社會(huì)的財(cái)富。數(shù)學(xué)的傳播與普及，除了具體數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播與普及，更實(shí)質(zhì)性的是數(shù)學(xué)思想的傳播與普及。在科學(xué)技術(shù)日益數(shù)學(xué)化的今天，這已越來越成為一種社會(huì)需要了。試設(shè)想：如果有越來越多的公民能夠或多或少地運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式來思考和處理問題，那將會(huì)是怎樣一幅社會(huì)進(jìn)步的前景啊！　　學(xué)習(xí)了解數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想可以通過不同的途徑，而閱讀數(shù)學(xué)家特別是數(shù)學(xué)大師們的原始著述大概是最直接可靠和富有成效的做法。　　閱讀這些名篇佳作，不啻是一種藝術(shù)享受，人們?cè)谙硎苤H認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)，接受數(shù)學(xué)思想的熏陶，感受數(shù)學(xué)文化的魅力。這正是我們編譯出版這套《數(shù)學(xué)家思想文庫》的目的所在?！　∽x讀大師，走近數(shù)學(xué)，所有的人都會(huì)開卷受益?！　　钗牧?/pre>


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　　《數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性》中數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想是全社會(huì)的財(cái)富。數(shù)學(xué)的傳播與普及，除了具體數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播與普及，更實(shí)質(zhì)性的是數(shù)學(xué)思想的傳播與普及。在科學(xué)技術(shù)日益數(shù)學(xué)化的今天，這已越來越成為一種社會(huì)需要了。試設(shè)想：如果有越來越多的公民能夠或多或少地運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式來思考和處理問題，那將會(huì)是怎樣一幅社會(huì)進(jìn)步的前景??！ 學(xué)習(xí)了解數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想可以通過不同的途徑，而閱讀數(shù)學(xué)家特別是數(shù)學(xué)大師們的原始著述大概是最直接可靠和富有成效的做法。 閱讀這些名篇佳作，不啻是一種藝術(shù)享受，人們?cè)谙硎苤H認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)，接受數(shù)學(xué)思想的熏陶，感受數(shù)學(xué)文化的魅力。





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