數(shù)學的統(tǒng)一性

前言

　　數(shù)學思想是數(shù)學家的靈魂　　數(shù)學思想是數(shù)學家的靈魂。試想：離開公理化思想，何談歐幾里得、希爾伯特？沒有數(shù)形結(jié)合思想，笛卡兒焉在？沒有數(shù)學結(jié)構(gòu)思想，怎論布爾巴基學派？……　　數(shù)學家的數(shù)學思想當然首先是體現(xiàn)在他們的創(chuàng)新性數(shù)學研究之中，包括他們提出的新概念、新理論、新方法。牛頓、萊布尼茨的微積分思想，高斯、波約、羅巴切夫斯基的非歐幾何思想，伽羅瓦“群”的概念，哥德爾不完全性定理與圖靈機，納什均衡理論，等等，匯成了波瀾壯闊的數(shù)學思想海洋，構(gòu)成了人類思想史上不可磨滅的篇章?！　?shù)學家們的數(shù)學觀也屬于數(shù)學思想的范疇，這包括他們對數(shù)學的本質(zhì)、特點、意義和價值的認識，對數(shù)學知識來源及其與人類其他知識領(lǐng)域的關(guān)系的看法，以及科學方法論方面的見解，等等。當然，在這些問題上，古往今來數(shù)學家們的意見是很不相同有時甚至是對立的。但正是這些不同的聲音，合成了理性思維的交響樂?！　≌缛藗兺ㄟ^繪畫或樂曲來認識和鑒賞畫家或作曲家一樣，數(shù)學家的數(shù)學思想無疑是人們了解數(shù)學家和評價數(shù)學家的主要依據(jù)，也是數(shù)學家貢獻于人類和人們要向數(shù)學家求知的主要內(nèi)容。在這個意義上我們可以說：　　“數(shù)學家思，故數(shù)學家在?！薄　?shù)學思想的社會意義　　數(shù)學思想是不是只有數(shù)學家才需要具備呢？當然不是。數(shù)學是自然科學、技術(shù)科學與人文社會科學的基礎(chǔ)，這一點已越來越成為當今社會的共識。數(shù)學的這種基礎(chǔ)地位，首先是由于它作為科學的語言和工具而在人類幾乎一切知識領(lǐng)域獲得日益廣泛的應(yīng)用，但更重要的恐怕還在于數(shù)學對于人類社會的文化功能，即培養(yǎng)發(fā)展人的思維能力特別是精密思維能力。一個人不管將來從事何種職業(yè)，思維能力都可以說是無形的資本，而數(shù)學恰恰是鍛煉這種思維能力的體操。這正是為什么數(shù)學會成為每個受教育的人一生中需要學習時間最長的學科之一。這并不是說我們在學校中學習過的每一個具體的數(shù)學知識點都會在日后的生活與工作中派上用處，數(shù)學影響一個人終身發(fā)展的主要在于思維方式。以歐幾里得幾何為例，我們在學校里學過的大多數(shù)幾何定理日后大概很少直接有用甚或基本不用，但歐氏幾何嚴格的演繹思想和推理方法卻在造就各行各業(yè)的精英人才方面有著毋庸否定的意義。事實上，從牛頓的《自然哲學的數(shù)學原理》到愛因斯坦的相對論著作，從法國大革命的《人權(quán)宣言》到馬克思的《資本論》，乃至現(xiàn)代諾貝爾經(jīng)濟學獎得主們的論著中，我們都不難看到歐幾里得的身影。另一方面，數(shù)學的定量化思想更是以空前的廣度與深度向人類幾乎所有的知識領(lǐng)域滲透。數(shù)學，從嚴密的論證到精確的計算，為人類提供了精密思維的典范?！　∫粋€戲劇性的例子是在現(xiàn)代計算機設(shè)計中扮演關(guān)鍵角色的所謂“程序內(nèi)存”概念或“程序自動化”思想。我們知道，第一臺電子計算機(ENIAC)在制成之初，由于計算速度的提高與人工編制程序的遲緩之間的尖銳矛盾而瀕于夭折，在這一關(guān)鍵時刻，恰恰是數(shù)學家馮-諾依曼提出的“程序內(nèi)存”概念拯救了人類這一偉大的技術(shù)發(fā)明。直到今天，計算機設(shè)計的基本原理仍然遵循著馮·諾依曼的主要思想，馮·諾依曼因此被尊為“計算機之父”(雖然現(xiàn)在知道他并不是歷史上提出此種想法的唯一數(shù)學家)。像“程序內(nèi)存”這樣似乎并非“數(shù)學”的概念，卻要等待數(shù)學家并且是馮·諾依曼這樣的大數(shù)學家的頭腦來創(chuàng)造，這難道不耐人尋味嗎？因此，我們可以說，數(shù)學家的數(shù)學思想是全社會的財富?！　?shù)學的傳播與普及，除了具體數(shù)學知識的傳播與普及，更實質(zhì)性的是數(shù)學思想的傳播與普及。在科學技術(shù)日益數(shù)學化的今天，這已越來越成為一種社會需要了。試設(shè)想：如果有越來越多的公民能夠或多或少地運用數(shù)學的思維方式來思考和處理問題，那將會是怎樣一幅社會進步的前景??！

內(nèi)容概要

阿蒂亞（M.F.Atiyah，1929- ）英國數(shù)學家，菲爾茲獎得主，20世紀下半葉最優(yōu)秀的數(shù)學家之一。    本書選編了阿蒂亞關(guān)于拓撲學、大范圍幾何、純粹數(shù)學的歷史及發(fā)展方向等方面的文章。此外還包括阿蒂亞的訪問記、阿蒂亞對自己數(shù)學工作的總結(jié)以及他關(guān)于其他學科對數(shù)學的影響等的論述。通過本書我們可以全面地了解阿蒂亞的數(shù)學和哲學思想。

作者簡介

　　阿蒂亞，英國數(shù)學家，菲爾茲獎得主，20世紀下半葉最優(yōu)秀的數(shù)學家之一。

書籍目錄

代數(shù)拓撲在數(shù)學中的作用數(shù)學的變遷和進展如何進行研究大范圍幾何學純粹數(shù)學的歷史走向數(shù)學的統(tǒng)一性什么是幾何阿蒂亞訪問記我的數(shù)學工作20世紀80年代的分析和幾何數(shù)學與計算機革命鑒別數(shù)學進步之我見物理對幾何的影響附錄

章節(jié)摘錄

　　拓撲學的起源與技巧　　一百年前這個學會創(chuàng)建之初，拓撲學幾乎還不存在。而今，它已赫然處在數(shù)學的中心位置上，其影響擴展到了所有的方向?，F(xiàn)在似乎正是一個合適的時機去試圖了解它是怎樣產(chǎn)生的，并試圖描述出拓撲學與其他較為古老的數(shù)學分支之間的那些復(fù)雜的、引人入勝的相互作用的粗略輪廓。　　倘若回顧一下19世紀，我們就可以辨認出一些能夠充做拓撲學發(fā)源的思想和成果。然而，如果說具有拓撲思想的最富意義的例子產(chǎn)生于代數(shù)函數(shù)的黎曼（Riemann）面理論，那大概是不會錯的。就讓我們從簡要地描述這個例子開始吧。　　我們從在復(fù)射影平面上的（非異）代數(shù)曲線著手，它定義了一個緊黎曼面。承載它的是一個實的二維微分流形，而最下面的是它的承載拓撲空間。換句話說，我們有了一個分層結(jié)構(gòu)：　　代數(shù)的一全純的一可微的一拓撲的對這種情形，我們可以提出兩個基本問題。首先，什么是這個承載拓撲空間的不變量；其次，怎樣用它的“上層結(jié)構(gòu)”來解釋這些不變量。在我們這個特殊的例子中，本質(zhì)上只有一個曲面拓撲不變量，即虧格（或者說，環(huán)柄的個數(shù)）。這個理論的經(jīng)典結(jié)果告訴我們，這個數(shù)就是黎曼面的全純（或代數(shù)）微分空間的維數(shù)。這是用代數(shù)或全純結(jié)構(gòu)解釋了虧格g。而著名的高斯（Gauss）定理說，曲面的曲率的積分等于2—2g。而它可以看做是用微分結(jié)構(gòu)給出g的一個令人滿意的解釋。　　將代數(shù)函數(shù)論推廣到高維情形一直是過去一百年來的主要數(shù)學熱點。這方面的進展總是與拓撲學的發(fā)展緊密相連。目前，尋找拓撲不變量的解析涵義這種一般性的問題已在層論中發(fā)現(xiàn)了它的一個最令人滿意的構(gòu)架。粗略地可以描述如下。在相當早的階段，拓撲學家們已經(jīng)認識到，考慮不單使用整數(shù)為系數(shù)而是以一般群作系數(shù)的同調(diào)論是有用的。而在層論中，人們不僅使用常數(shù)而且使用某些指定類型的函數(shù)作系數(shù)，例如全純函數(shù)。因此，所得到的上同調(diào)群不但是承載空間的不變量而且是上層結(jié)構(gòu)的不變量。如此一來，拓撲的問題與解析的問題就融合在一起了?！　∠鄬τ谇懊婧喴峒暗耐負鋵W由其他學科產(chǎn)生的方式，我們考慮問題的另一個方面，并提出如下問題：什么是拓撲學的問題，如何解決它們？拓撲學的基本問題是同倫。給定兩個拓撲空間X及y，考慮它們之間的所有連續(xù)映射xy。我們想要在同倫的意義下，即在連續(xù)形變下，將它們分類。處理這個問題的首要步驟是逼近。由于連續(xù)映射不好處理，我們想根據(jù)不同的要求將它用不同的但是較小的較易于處理的映射類去代替、去置換。對多面體我們用逐段線性映射，對微分流形我們用可微映射，而對代數(shù)簇則可以（有時）用多項式。在作了逼近之后，我們就必須使用那些適合于這種函數(shù)類的技巧，從而把我們又帶回到代數(shù)或分析中。由此可知，拓撲學不僅在靈感的獲得上而且在解決問題的技巧上都必須依賴于其他的數(shù)學分支?！　≡谏鲜鋈惐平?，最重要的一類是逐段線性映射，這是因為它有最廣泛的應(yīng)用范疇。這時所需要的技巧是組合數(shù)學或代數(shù)學。然而，由于代數(shù)學家沒有事先發(fā)展出這種

媒體關(guān)注與評論

　　這些文集中的作品大都短小精悍，魅力四射，充滿科學的真知灼見，在國外流傳頗廣。相對而言，這些作品可以說是數(shù)學思想海洋中的珍奇貝殼，數(shù)學百花園中的美麗花束。我們并不奢望這樣一些貝殼和花束能夠扭轉(zhuǎn)功利的時潮，但我們相信愛因斯坦在紀念牛頓時所說的話：“理解力的產(chǎn)品要比喧嚷紛擾的世代經(jīng)久，它能經(jīng)歷好多個世紀而繼續(xù)發(fā)出光和熱?！弊x讀大師，走近數(shù)學，所有的人都會開卷受益。　　——李文林　　數(shù)學家的數(shù)學思想是全社會的財富。數(shù)學的傳播與普及，除了具體數(shù)學知識的傳播與普及，更實質(zhì)性的是數(shù)學思想的傳播與普及。在科學技術(shù)日益數(shù)學化的今天，這已越來越成為一種社會需要了。試設(shè)想：如果有越來越多的公民能夠或多或少地運用數(shù)學的思維方式來思考和處理問題，那將會是怎樣一幅社會進步的前景啊！　　學習了解數(shù)學家的數(shù)學思想可以通過不同的途徑，而閱讀數(shù)學家特別是數(shù)學大師們的原始著述大概是最直接可靠和富有成效的做法。　　閱讀這些名篇佳作，不啻是一種藝術(shù)享受，人們在享受之際認識數(shù)學，了解數(shù)學，接受數(shù)學思想的熏陶，感受數(shù)學文化的魅力。這正是我們編譯出版這套《數(shù)學家思想文庫》的目的所在?！　∽x讀大師，走近數(shù)學，所有的人都會開卷受益?！　　钗牧?/pre>


編輯推薦
　　《數(shù)學的統(tǒng)一性》中數(shù)學家的數(shù)學思想是全社會的財富。數(shù)學的傳播與普及，除了具體數(shù)學知識的傳播與普及，更實質(zhì)性的是數(shù)學思想的傳播與普及。在科學技術(shù)日益數(shù)學化的今天，這已越來越成為一種社會需要了。試設(shè)想：如果有越來越多的公民能夠或多或少地運用數(shù)學的思維方式來思考和處理問題，那將會是怎樣一幅社會進步的前景啊！ 學習了解數(shù)學家的數(shù)學思想可以通過不同的途徑，而閱讀數(shù)學家特別是數(shù)學大師們的原始著述大概是最直接可靠和富有成效的做法。 閱讀這些名篇佳作，不啻是一種藝術(shù)享受，人們在享受之際認識數(shù)學，了解數(shù)學，接受數(shù)學思想的熏陶，感受數(shù)學文化的魅力。





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