數(shù)值分析

前言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展和普及，科學(xué)計(jì)算已經(jīng)成為繼實(shí)驗(yàn)與理論后的第三種科研方法，與科學(xué)計(jì)算密切相關(guān)的數(shù)值分析課程也已經(jīng)成為高等學(xué)校理工科的一門(mén)重要課程。本書(shū)著重介紹與科學(xué)計(jì)算有關(guān)的數(shù)值分析的基本方法，在強(qiáng)調(diào)基本概念和理論闡釋的基礎(chǔ)上非常重視實(shí)際應(yīng)用，特別是數(shù)值方法在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)。本書(shū)在理論分析方面力求完整的前提下，適當(dāng)減少抽象的理論敘述，加強(qiáng)算法與實(shí)際計(jì)算能力的培養(yǎng)，特別注重分析數(shù)值方法的構(gòu)造思想。此外，本書(shū)還適當(dāng)介紹了一些數(shù)值方法上的最新成果，如（循環(huán)）塊三對(duì)角線性方程組的求解方法、預(yù)處理共軛梯度法、多重網(wǎng)格法等；同時(shí)每章給出了兩個(gè)典型方法的C語(yǔ)言程序供讀者參考。本書(shū)共分10章，分別介紹了數(shù)值分析中常用的數(shù)值方法和建立數(shù)值方法的基本原理。第1章緒論部分介紹了數(shù)值分析的研究對(duì)象與特點(diǎn)，誤差的來(lái)源、分類(lèi)及度量，誤差穩(wěn)定性分析與防止誤差的原則。第2～5章為數(shù)值代數(shù)的基本內(nèi)容。第2章介紹了線性方程組的直接法，主要包括高斯消去法、高斯列主元消去法、高斯一若當(dāng)消去法、直接三角分解法及特殊線性方程組的直接三角分解法等；第3章介紹了線性方程組的迭代法，主要包括向量與矩陣范數(shù)、線性方程組的誤差分析、三種常見(jiàn)的簡(jiǎn)單迭代法（雅克比迭代法、高斯一賽德?tīng)柕?、超松弛迭代法）、共軛梯度法及預(yù)處理共軛梯度法等；第4章介紹了非線性方程與方程組的數(shù)值解法，主要包括非線性方程的迭代法及其收斂性與收斂階、牛頓法及其變形、非線性方程組的牛頓法及擬牛頓法等；第5章介紹了矩陣特征值問(wèn)題計(jì)算，主要包括冪法與反冪法、Jacobi方法、QR方法等。第6～8章為數(shù)值逼近的基本內(nèi)容。第6章介紹了函數(shù)的插值法，主要包括拉格朗日插值，差商型、差分型牛頓插值，埃爾米特插值，三次樣條插值等；第7章介紹了最佳平方逼近及最小二乘法，主要包括連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近、離散函數(shù)的最小二乘法等；第8章介紹了數(shù)值積分與數(shù)值微分，主要包括插值型求積公式、等距節(jié)點(diǎn)的求積公式、龍貝格算法、高斯求積公式、重積分的計(jì)算公式、數(shù)值微分公式等。第9、10章為常微分方程數(shù)值解法的基本內(nèi)容。第9章介紹了常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法，主要包括歐拉法、改進(jìn)歐拉法、四階龍格一庫(kù)塔法、線性多步法、一階方程組與高階方程的數(shù)值解法等；第10章介紹了常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解法，主要包括求解二階常微分方程第一邊值問(wèn)題的打靶法、有限差分法及多重網(wǎng)格法等。

內(nèi)容概要

本書(shū)是關(guān)于介紹“數(shù)值分析”的教學(xué)用書(shū)，書(shū)中著重介紹了與科學(xué)計(jì)算有關(guān)的數(shù)值分析的基本方法，在強(qiáng)調(diào)基本概念和理論闡釋的基礎(chǔ)上非常重視實(shí)際應(yīng)用，特別是數(shù)值方法在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)。本書(shū)在理論分析方面力求完整的前提下，適當(dāng)減少抽象的理論敘述，加強(qiáng)算法與實(shí)際計(jì)算能力的培養(yǎng)，特別注重分析數(shù)值方法的構(gòu)造思想。此外，本書(shū)還適當(dāng)介紹了一些數(shù)值方法上的最新成果，如（循環(huán)）塊三對(duì)角線性方程組的求解方法、預(yù)處理共軛梯度法、多重網(wǎng)格法等；同時(shí)每章給出了兩個(gè)典型方法的C語(yǔ)言程序供讀者參考。

書(shū)籍目錄

第1章 緒論　1.1 數(shù)值分析的概念與特點(diǎn)　1.2 誤差　1.3 數(shù)值穩(wěn)定性與避免誤差危害　習(xí)題1第2章 解線性方程組的直接法　2.1 高斯消去法　2.2 高斯主元素消去法　2.3 高斯消去法的變形　本章典型方法的C語(yǔ)言程序　習(xí)題2第3章 解線性方程組的迭代法　3.1 向量和矩陣的范數(shù)　3.2 簡(jiǎn)單迭代法　3.3 簡(jiǎn)單迭代法的收斂性　3.4 共軛梯度法　本章典型方法的C語(yǔ)言程序　習(xí)題3第4章 非線性方程（組）的數(shù)值解法　4.1 引言　4.2 二分法　4.3 迭代法　4.4 牛頓迭代法　4.5 解非線性方程組的牛頓迭代法　本章典型方法的C語(yǔ)言程序　習(xí)題4第5章 矩陣特征值問(wèn)題　5.1 冪法與反冪法　5.2 計(jì)算實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值的雅可比方法　5.3 QR方法簡(jiǎn)介　本章典型方法的C語(yǔ)言程序　習(xí)題5第6章 插值法　6.1 問(wèn)題的提出　6.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式　6.3 差商、差分及牛頓插值公式　6.4 埃爾米特插值　6.5 分段低次插值　6.6 三次樣條插值　本章典型方法的C語(yǔ)言程序　習(xí)題6第7章最佳平方逼近及最小二乘法第8章 數(shù)值積分與數(shù)值微分第9章 常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法第10章 常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解法參考答案與提示　習(xí)題1　習(xí)題2　習(xí)題3　習(xí)題4　習(xí)題5　習(xí)題6　習(xí)題7　習(xí)題8　習(xí)題9　習(xí)題10參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：數(shù)值分析是研究適合于計(jì)算機(jī)上使用的求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及與此相關(guān)的理論的一門(mén)數(shù)學(xué)課程。數(shù)值分析是一門(mén)內(nèi)容豐富，研究方法深刻，有自身理論體系的課程，既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性的特點(diǎn)。其內(nèi)容包括線性方程組的數(shù)值解法、非線性方程（組）數(shù)值解法、矩陣特征值計(jì)算方法、函數(shù)的數(shù)值逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程數(shù)值解法等。數(shù)值分析是一門(mén)數(shù)學(xué)課程，但它不像純數(shù)學(xué)那樣研究數(shù)學(xué)本身的理論，而是把數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)緊密地結(jié)合起來(lái)，是一門(mén)與計(jì)算機(jī)密切相關(guān)的實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科。數(shù)值分析的特點(diǎn)概括起來(lái)可分為：（1）面向計(jì)算機(jī)要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題提出或選擇實(shí)際可行的有效算法。（2）算法應(yīng)具有可靠的誤差分析由于計(jì)算機(jī)只能近似地表示實(shí)數(shù)，且任-算法只能在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)有限次運(yùn)算完成，因此算法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性應(yīng)得到保證，算法引起的誤差應(yīng)得到有效的控制。這些問(wèn)題的解決往往需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。（3）要有好的計(jì)算復(fù)雜性計(jì)算復(fù)雜性問(wèn)題是數(shù)值計(jì)算關(guān)心的一個(gè)重要問(wèn)題，主要包括時(shí)間復(fù)雜性與空間復(fù)雜性。時(shí)間復(fù)雜性是指算法在有限的時(shí)間內(nèi)結(jié)束運(yùn)算，且所用時(shí)間盡可能少。空間復(fù)雜性是指算法所需的計(jì)算機(jī)的內(nèi)存量不能太大，且所需存貯空間盡可能小。

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《數(shù)值分析(第2版)》：高等學(xué)校理工科數(shù)學(xué)類(lèi)規(guī)劃教材。

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