常微分方程

前言

本書是參照教育部的常微分方程的教學(xué)大綱編寫而成的，經(jīng)過了數(shù)次教學(xué)實踐。 本書是常微分方程基礎(chǔ)課教材，以初等積分法為主。書中也簡單地介紹了一點常微分方程定性和穩(wěn)定性的知識，但只限于一些最基本的概念。 常微分方程中有許多知識是很有用的。比如當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了常系數(shù)線性微分方程的解法后，就可以體會到歐拉(Euler)復(fù)指數(shù)公式的精妙之處，這個公式將會在復(fù)變函數(shù)論中有重要的用途。又比如學(xué)了初值問題解的存在唯一性定理之后，會接觸到函數(shù)迭代的思想方法，迭代法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的作用眾所周知，但學(xué)生在本書中卻是第一次認識它另外，線性微分方程的解空間是n維線性空間的十分生動的例子，可讓學(xué)生溫故而知新。 在常微分方程中出現(xiàn)的算子方法，已有很長久的歷史了，大概可以追溯到19世紀(jì)的中后期。但該法常常會失效，而且弄不清原因，這使得它會遭到一些嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某Ｎ⒎址匠讨鞯呐懦?。本書針對這一情況作了深入的分析，總的說來，問題已得到了解決，這是本書的創(chuàng)新。 如果不講打星號的內(nèi)容，本書可作為50學(xué)時的教材。 本書的寫作方法是由淺人深，由具體到抽象，因此特別適合那些初次登上常微分方程教學(xué)崗位的青年教師使用，也期待他們能成熟起來，并對本書提出意見，以便使得這門課的教材能越編越好。 承蒙梁肇軍教授、周笠教授以及陳祖誥教授提出修改意見，并指出了許多錯漏，謹(jǐn)此致謝！作者還要對葉彥謙教授、張芷芬教授和俞玉森教授關(guān)心本書的出版，以及高克強教授對作者的關(guān)心表示感謝！華中科技大學(xué)出版社的編輯們認真負責(zé)地編校書稿，對他們付出的辛勤勞動，作者一并致謝！ 作者 2008年5月于華中科技大學(xué)

內(nèi)容概要

《常微分方程》是常微分方程基礎(chǔ)課教材，內(nèi)容涉及分離變量法、常系數(shù)線性微分方程和方程組、變系數(shù)線性微分方程和方程組、非線性微分方程，以及定性和穩(wěn)定性理論初步等。    《常微分方程》理論嚴(yán)謹(jǐn)，敘述清楚且深入淺出，特別是對常系數(shù)線性微分方程這一部分的講解有獨到之處，其中待定系數(shù)法的證法非常新穎，而且相當(dāng)簡潔，勝過了傳統(tǒng)教材的證法。    《常微分方程》適合于綜合性大學(xué)、理工科大學(xué)及師范類院校的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生使用或作為參考書籍。

書籍目錄

第1章 緒論 　1.1 實際問題中的常微分方程． 　1.2 基本概念 　習(xí)題l 第2章 分離變量法 　2.1 變量分離方程與變量代換   　2.1.1 變量分離方程   　2.1.2 齊次方程 　2.2 線性方程與常數(shù)變易公式 　習(xí)題2 第3章 常系數(shù)線性微分方程 　3.1 總論 　3.2 一階常系數(shù)線性微分方程 　3.3 二階常系數(shù)線性微分方程   　3.3.1 齊次方程   　3.3.2 非齊次方程 　3.4 高階常系數(shù)線性微分方程   　3.4.1 齊次高階常系數(shù)線性方程   　3.4,2 非齊次高階常系數(shù)線性方程 　3.5 高階常系數(shù)線性微分方程——特解求法   　3.5.1 算子方法   　3.5.2 復(fù)函數(shù)法 　習(xí)題3 第4章 常系數(shù)線性微分方程組 　4.1 總論   　4.1.1 常系數(shù)線性微分方程組的表示   　4.1.2 向量和矩陣   　4.1.3 積分不等式   　4.1.4 存在唯一性定理 　4.2 齊次常系數(shù)線性微分方程組   　4.2.1 基解矩陣   　4.2.2 通解結(jié)構(gòu) 　4.3 矩陣指數(shù)   　4.3.1 單位基解矩陣的表示——矩陣指數(shù)   　4.3.2 矩陣指數(shù)的性質(zhì) 　4.4 矩陣指數(shù)的計算方法 　4.5 非齊次常系數(shù)線性微分方程組   　4.5.1 通解結(jié)構(gòu)   　4.5.2 常數(shù)變易公式   　4.5.3 算子方法求特解   　4.5.4 實例 　習(xí)題4 第5章 變系數(shù)線性微分方程及線性模型 　5.1 變系數(shù)線性微分方程組   　5.1.1 解的存在唯一性定理   　5.1.2 通解結(jié)構(gòu) 　5.2 線性空間   　5.2.1 線性方程組的解空間   　5.2.2 高階純量線性方程的解空間 　5.3 二階變系數(shù)線性微分方程   　5.3.1 通解的結(jié)構(gòu)   　5.3.2 幾種可積型二階線性方程   　5.3.3 歐拉方程   　5.3.4 級數(shù)解法 　5.4 高階變系數(shù)線性微分方程和變系數(shù)線性微分方程組的一些解法 　5.5 非齊次變系數(shù)線性方程組的常數(shù)變易公式 　5.6 線性模型   　5.6.1 質(zhì)點的微小振動的數(shù)學(xué)模型   　5.6.2 人工養(yǎng)殖甲魚的價格的數(shù)學(xué)模型 　習(xí)題5 第6章 非線性微分方程 第7章 初等奇點 第8章 穩(wěn)定性理論初步 附錄1 關(guān)于算子方法的一些命題和實例 附錄2 首次積分 參考文獻

章節(jié)摘錄

第1章 緒論 1.1 實際問題中的常微分方程 按照習(xí)慣說法，含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的等式，稱為微分方程。盡管這種說法現(xiàn)在看來有些缺點，但本書認為它還是有可取之處。因為這非常自然，符合人們認識事物由淺入深、由低級向高級的發(fā)展規(guī)律，更重要的是，這個定義不會妨礙我們學(xué)習(xí)這門基礎(chǔ)課程。 本書著重介紹常微分方程的基本概念和基本解法，適當(dāng)增加一些聯(lián)系實際的例子和習(xí)題。前三個方程稱為常微分方程，它們的未知函數(shù)只含有一個自變量；后三個方程稱為偏微分方程，它們的未知函數(shù)含有兩個（或兩個以上）的自變量。本書研究常微分方程，和代數(shù)方程一樣，常微分方程來源于實際問題。下面通過一些例子，說明如何從問題中歸納數(shù)學(xué)模型，從而提出解常微分方程的問題。 3．人口增長模型 人口的自然增長率仍然與基數(shù)成正比。但是這個模型并不能反映實際情況，因為人口增長還會受到生存環(huán)境的影響，食物、疾病、戰(zhàn)爭、氣候變化等都會直接影響到人口的增長。 嚴(yán)格說來，人口增長模型是個很復(fù)雜的問題，下面是個簡化了的模型，認為制約人口增長的因素，僅僅是人口密度本身。它在很大程度上確實反映了實際情況，因為隨著人口數(shù)量的增多，食物問題、健康問題也會隨之而來，從而限制了人口本身的增長，此人口增長模型的前提是認為增長系數(shù)是人口的線性函數(shù)。

編輯推薦

《常微分方程》：普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材,普通高等院校數(shù)學(xué)精品教材。

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