張量分析簡明教程

前言

　　當今，對于一個力學工作者來說；張量分析實在是一個極其重要的數(shù)學工具?！　×W是自然科學中最早建立完備科學體系的一門學科，也是在自然科學中運用定量分析工具——數(shù)學最多的一門學科。幾個世紀以來，數(shù)學和力學之間的相互影響是十分顯著的。一方面，力學充分使用數(shù)學來表述和預測；另一方面，力學的需要又促進了數(shù)學的發(fā)展。德裔美國力學教授W.Flfigge在他的《張量分析與連續(xù)介質力學》的“序”中寫道：“由于牛頓動力學的需要產(chǎn)生了微積分，為了對力系的描述發(fā)展了矢量代數(shù)，對速度場和力場的研究發(fā)展了矢量分析，從力學的能量原理中產(chǎn)生了變分法”。又寫道，“張量（Tensor）這個名字本身就表明它的來源是彈性理論?！苯裉?，不熟悉張量分析的人去閱讀連續(xù)介質力學的文獻時會感到困難。所以，不僅是高等學校的理工科學生，而且許多工程技術人員都產(chǎn)生了掌握張量分析這一數(shù)學工具的愿望?！　”磉_非線性連續(xù)介質力學的基本方程需要張量分析的顯而易見的理由是因為連續(xù)介質力學的基本量——應力和應變——都是張量。然而，更重要的是，大變形或者幾何非線性的描述必需張量分析。事實上，當結構發(fā)生大變形時，我們通常無法在一個整體坐標系中同時去描述初始構形和當前構形兩者。合理的做法是在初始構形上設置局部坐標，它隨體變形，又成為當前構形上的局部坐標。這就產(chǎn)生了一個問題，就是，即使初始構形上的局部坐標可以選擇正交坐標系，也無法保證大變形后，當前構形上的坐標仍然是正交的。所以，對于大變形的完整描述，必須在一般的曲線坐標系中進行。于是，對于一個坐標系就必須采用兩套基矢量——協(xié)變基矢量和逆變基矢量。而且基矢量必須參與求導，這就有了協(xié)變導數(shù)，等等。這就是張量分析的邏輯。于是就有了非線性連續(xù)介質力學?！　∽?990年起，編者給本校工程力學專業(yè)的本科生和研究生講授張量分析與連續(xù)介質力學課程。為編寫講稿，參考了國內主要的專著、譯著和教材，先于2004年由同濟大學出版社出版了《張量分析教程》一書。在此基礎上修改，構成了本書的主要內容。其中，第3章引用了郭仲衡先生的專著《非線性彈性理論》的有關章節(jié)。第4章采用了文獻[2]的相關章節(jié)。第5章則主要來自文獻[3]和[6]。

內容概要

　　介紹張量分析的基本內容，包括空間曲線坐標系、張量的基本概念和代數(shù)運算、張量場論、二階張量以及曲面上的張量?？紤]到笛卡兒坐標系的廣泛應用，故最后一章介紹了笛卡兒張量。各章后均有習題，書后有部分習題答案?！　　稄埩糠治龊喢鹘坛獭房勺鳛榱W專業(yè)、應用數(shù)學專業(yè)以及理工科有關專業(yè)的本科生或研究生教材，也可供有關工程技術人員參考。

書籍目錄

前言1 曲線坐標系1.1 斜角直線坐標系1.2 曲線坐標系的基矢量1.3 坐標變換與基變換1.4 張量(tansor)1.5 張量的實體表示1.6 度量張量1.7 矢量的叉積、混合積和置換張量1.8 Ricci符號和行列式1.9 張量的代數(shù)運算1.10 例題習題一2 張量場論2.1 引言2.2 克里斯托夫(Christoffel)符號2.3 協(xié)變導數(shù)2.4 張量對坐標的導數(shù)，張量的梯度2.5 散度和旋度2.6 高階導數(shù)和拉普拉斯算子2.7 正交曲線坐標系2.8 積分定理2.9 無量綱自然基標架和物理分量2.10 正交曲線坐標系下的物理分量2.11 例題習題二3 二階張量3.1 映射量3.2 正則與蛻化3.3 特征方向和不變量3.4 Cayley-Hamilton定理3.5 幾種特殊的映射量3.6 對稱映射量的特征方向3.7 對稱映射量的主值和主方向3.8 映射量的分解習題三4 曲面幾何4.1 曲面上的高斯(Gauss)坐標4.2 曲面的第一基本(二次)型4.3 曲面的第二基本(二次)型4.4 曲面上的單位法向矢量與基矢量的導數(shù)4.5 曲面上的協(xié)變導數(shù)4.6 柯達茲(Codazzi)公式4.7 高斯公式黎曼-克里斯托夫張量習題四5 笛卡兒張量5.1 關于笛卡兒張量5.2 標準正交基5.3 二階張量的矩陣表達5.4 二階張量的特征值，特征方向和不變量5.5 二階對稱張量的性質5.6 二階反對稱張量的性質習題五習題答案參考文獻

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