張量分析簡明教程

前言

　　當(dāng)今，對(duì)于一個(gè)力學(xué)工作者來說；張量分析實(shí)在是一個(gè)極其重要的數(shù)學(xué)工具?！　×W(xué)是自然科學(xué)中最早建立完備科學(xué)體系的一門學(xué)科，也是在自然科學(xué)中運(yùn)用定量分析工具——數(shù)學(xué)最多的一門學(xué)科。幾個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)和力學(xué)之間的相互影響是十分顯著的。一方面，力學(xué)充分使用數(shù)學(xué)來表述和預(yù)測(cè)；另一方面，力學(xué)的需要又促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。德裔美國力學(xué)教授W.Flfigge在他的《張量分析與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)》的“序”中寫道：“由于牛頓動(dòng)力學(xué)的需要產(chǎn)生了微積分，為了對(duì)力系的描述發(fā)展了矢量代數(shù)，對(duì)速度場和力場的研究發(fā)展了矢量分析，從力學(xué)的能量原理中產(chǎn)生了變分法”。又寫道，“張量（Tensor）這個(gè)名字本身就表明它的來源是彈性理論?！苯裉?，不熟悉張量分析的人去閱讀連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的文獻(xiàn)時(shí)會(huì)感到困難。所以，不僅是高等學(xué)校的理工科學(xué)生，而且許多工程技術(shù)人員都產(chǎn)生了掌握張量分析這一數(shù)學(xué)工具的愿望?！　”磉_(dá)非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本方程需要張量分析的顯而易見的理由是因?yàn)檫B續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本量——應(yīng)力和應(yīng)變——都是張量。然而，更重要的是，大變形或者幾何非線性的描述必需張量分析。事實(shí)上，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形時(shí)，我們通常無法在一個(gè)整體坐標(biāo)系中同時(shí)去描述初始構(gòu)形和當(dāng)前構(gòu)形兩者。合理的做法是在初始構(gòu)形上設(shè)置局部坐標(biāo)，它隨體變形，又成為當(dāng)前構(gòu)形上的局部坐標(biāo)。這就產(chǎn)生了一個(gè)問題，就是，即使初始構(gòu)形上的局部坐標(biāo)可以選擇正交坐標(biāo)系，也無法保證大變形后，當(dāng)前構(gòu)形上的坐標(biāo)仍然是正交的。所以，對(duì)于大變形的完整描述，必須在一般的曲線坐標(biāo)系中進(jìn)行。于是，對(duì)于一個(gè)坐標(biāo)系就必須采用兩套基矢量——協(xié)變基矢量和逆變基矢量。而且基矢量必須參與求導(dǎo)，這就有了協(xié)變導(dǎo)數(shù)，等等。這就是張量分析的邏輯。于是就有了非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)?！　∽?990年起，編者給本校工程力學(xué)專業(yè)的本科生和研究生講授張量分析與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)課程。為編寫講稿，參考了國內(nèi)主要的專著、譯著和教材，先于2004年由同濟(jì)大學(xué)出版社出版了《張量分析教程》一書。在此基礎(chǔ)上修改，構(gòu)成了本書的主要內(nèi)容。其中，第3章引用了郭仲衡先生的專著《非線性彈性理論》的有關(guān)章節(jié)。第4章采用了文獻(xiàn)[2]的相關(guān)章節(jié)。第5章則主要來自文獻(xiàn)[3]和[6]。

內(nèi)容概要

　　介紹張量分析的基本內(nèi)容，包括空間曲線坐標(biāo)系、張量的基本概念和代數(shù)運(yùn)算、張量場論、二階張量以及曲面上的張量?？紤]到笛卡兒坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用，故最后一章介紹了笛卡兒張量。各章后均有習(xí)題，書后有部分習(xí)題答案?！　　稄埩糠治龊喢鹘坛獭房勺鳛榱W(xué)專業(yè)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)以及理工科有關(guān)專業(yè)的本科生或研究生教材，也可供有關(guān)工程技術(shù)人員參考。

書籍目錄

前言1 曲線坐標(biāo)系1.1 斜角直線坐標(biāo)系1.2 曲線坐標(biāo)系的基矢量1.3 坐標(biāo)變換與基變換1.4 張量(tansor)1.5 張量的實(shí)體表示1.6 度量張量1.7 矢量的叉積、混合積和置換張量1.8 Ricci符號(hào)和行列式1.9 張量的代數(shù)運(yùn)算1.10 例題習(xí)題一2 張量場論2.1 引言2.2 克里斯托夫(Christoffel)符號(hào)2.3 協(xié)變導(dǎo)數(shù)2.4 張量對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，張量的梯度2.5 散度和旋度2.6 高階導(dǎo)數(shù)和拉普拉斯算子2.7 正交曲線坐標(biāo)系2.8 積分定理2.9 無量綱自然基標(biāo)架和物理分量2.10 正交曲線坐標(biāo)系下的物理分量2.11 例題習(xí)題二3 二階張量3.1 映射量3.2 正則與蛻化3.3 特征方向和不變量3.4 Cayley-Hamilton定理3.5 幾種特殊的映射量3.6 對(duì)稱映射量的特征方向3.7 對(duì)稱映射量的主值和主方向3.8 映射量的分解習(xí)題三4 曲面幾何4.1 曲面上的高斯(Gauss)坐標(biāo)4.2 曲面的第一基本(二次)型4.3 曲面的第二基本(二次)型4.4 曲面上的單位法向矢量與基矢量的導(dǎo)數(shù)4.5 曲面上的協(xié)變導(dǎo)數(shù)4.6 柯達(dá)茲(Codazzi)公式4.7 高斯公式黎曼-克里斯托夫張量習(xí)題四5 笛卡兒張量5.1 關(guān)于笛卡兒張量5.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基5.3 二階張量的矩陣表達(dá)5.4 二階張量的特征值，特征方向和不變量5.5 二階對(duì)稱張量的性質(zhì)5.6 二階反對(duì)稱張量的性質(zhì)習(xí)題五習(xí)題答案參考文獻(xiàn)

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