微積分的思想方法溯源

內(nèi)容概要

本書在數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)哲學(xué)的視野下，對微積分中的重要概念、重要理論、重要方法的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用進行探討，內(nèi)容主要包括無理數(shù)、數(shù)學(xué)符號、微積分計算、函數(shù)、極限、級數(shù)與求和、微積分中的重要概念、微積分中的重要常數(shù)、微積分中的特殊積分等。

作者簡介

楊艷萍
　　1967年7月出生，碩士，棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系副教授，山東省高師數(shù)學(xué)研究會理事。主要從事數(shù)學(xué)教育學(xué)、數(shù)學(xué)方法論的教學(xué)與研究工作。主持和參與7項科研課題，發(fā)表論文18篇，出版專著和教材5部。

書籍目錄

第一章  無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)  一、畢達哥拉斯及其學(xué)派  二、希帕索斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)  三、無理數(shù)的證明第二章  數(shù)學(xué)符號的創(chuàng)立  一、數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的引入  二、初等數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)  三、微積分符號系統(tǒng)第三章  微積分計算的創(chuàng)立  一、阿基米德的主要貢獻  二、阿基米德的幾個故事  三、微積分著作《拋物弓形求積》第四章    函數(shù)概念與函數(shù)思想  一、函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展  二、函數(shù)思想及其在微積分中的應(yīng)用第五章  基本初等函數(shù)  一、基本初等函數(shù)的特征性質(zhì)  二、對數(shù)函數(shù)的發(fā)明  三、幾個指數(shù)函數(shù)的威力故事第六章  微積分中的分段函數(shù)  一、符號函數(shù)的定義與特征  二、狄利克雷與狄利克雷函數(shù)  三、黎曼與黎曼函數(shù)  四、高斯與取整函數(shù)第七章  極限概念與極限思想  一、極限概念發(fā)展的幾個歷史階段  二、極限思想及其在微積分中的應(yīng)用第八章  微積分中的重要概念  一、連續(xù)  二、導(dǎo)數(shù)與微分  三、積分第九章  微積分中的重要常數(shù)∏  一、圓周率的名稱  二、圓周率的符號與性質(zhì)  三、圓周率的計算  四、蒲豐投針求∏  五、圓周率的記憶第十章  微積分中的重要常數(shù)e  一、數(shù)列(1+1/n)的n方收斂性的證法  二、e的發(fā)明及其思考  三、∏和e的聯(lián)系  四、∏和e的“無理性”與“超越性”  五、e與微積分公式第十一章  調(diào)和級數(shù)  一、調(diào)和級數(shù)的定義  二、萊布尼茲的貢獻  三、伯努利兄弟與調(diào)和級數(shù)  四、偉大的定理——調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性  五、調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的另外兩種早期證明  六、伯努利兄弟的遺憾  七、調(diào)和級數(shù)的前n項和  八、調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的幾種證明方法第十二章  歐拉與級數(shù)求和  一、數(shù)學(xué)英雄——歐拉  二、歐拉與哥尼斯堡七橋問題  三、歐拉公式  四、歐拉在級數(shù)求和方面的獨特貢獻第十三章  微積分中的特殊積分  一、狄里克雷積分  二、概率積分  三、歐拉積分  四、橢圓積分  五、可利用其他技巧計算的特殊積分參考文獻

章節(jié)摘錄

　　1.浴池里的發(fā)現(xiàn)　　傳說希羅國王曾請他這位聰明的親屬阿基米德去測定金匠剛制好的王冠，看看是像工匠所說的那樣是純金的，還是摻有銀子的混合物.國王事先嚴厲地告誡阿基米德在測定時不得毀壞王冠.　　阿基米德想了很多辦法，但都失敗了，他朝思暮想，還是茫然不知所措，有一天，當(dāng)他泡在一滿盆水里洗澡時，發(fā)現(xiàn)水溢了出來，同時感到身體的重量在水中也減輕了.忽然一個閃念使他聯(lián)想到，溢出水量的體積等于他身體浸入水中的那部分體積，那么，如果他把王冠浸入水中，根據(jù)水面上升的情況，他就能說出王冠的體積.他將王冠的體積與等量金子的體積進行比較，如果兩者體積相等，就證明王冠是純金的；假如王冠內(nèi)摻有銀子的話，王冠的體積就會大些.想到這里，他抑制不住自己喜悅的心情，猛然從浴盆中躍出，全身赤條條地奔到敘拉古的大街上，徑直向皇宮跑去，他邊跑邊喊：“我知道了！我知道了！”故事的結(jié)局是王冠確實被摻入一部分銀子，造王冠的金匠被處以死刑，這就是阿基米德發(fā)現(xiàn)浮力原理的故事。　　2.我要移動地球　　在埃及，公元前1500年，就有人使用杠桿來抬起重的東西，但是人們不懂得其中的道理，阿基米德細心地研究了這個原理.阿基米德指出，在支點遠端的一個小物體，會與支點近端的一個大物體平衡，而且指出該物體的重量和離支點的距離成反比，這一原理解釋了為什么一大塊頑石能用鐵棍撬起的原因，因為鐵棍正是一種杠桿，鐵棍遠端的力與鐵棍近端重物的力相平衡。　　……

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