數(shù)學(xué)物理方程

前言

　　數(shù)學(xué)物理方程作為一門(mén)大學(xué)基礎(chǔ)課，對(duì)于非數(shù)學(xué)理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)無(wú)疑是十分重要的。它通過(guò)對(duì)一些具有典型意義的實(shí)際模型的深入剖析，闡明和講述偏微分方程的基本理論、處理問(wèn)題的典型技巧以及應(yīng)用的物理背景。它既是數(shù)學(xué)聯(lián)系其他自然科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域最重要的橋梁之一，同時(shí)也為非數(shù)學(xué)理工科專(zhuān)業(yè)的后繼課程提供必要的數(shù)學(xué)工具，更重要的是對(duì)提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力大有裨益。把數(shù)學(xué)理論、解題方法和物理實(shí)際這三者有機(jī)地結(jié)合是本課程有別于其他課程的一個(gè)鮮明特點(diǎn)。因此，學(xué)習(xí)該門(mén)課程對(duì)于提高理工類(lèi)大學(xué)生的綜合素質(zhì)有著極其重要的作用。　　本課程內(nèi)容廣泛，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用面廣。一方面它涉及到高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)、大學(xué)物理等方面的基礎(chǔ)知識(shí)，另一方面其講述的理論和方法也能廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)與工程領(lǐng)域。例如，在電磁學(xué)、化學(xué)、力學(xué)、生物學(xué)和信息科學(xué)等領(lǐng)域，一些重要的問(wèn)題是由偏微分方程所支配的定解問(wèn)題來(lái)刻畫(huà)的，也正是由于這些偏微分方程問(wèn)題的引入和研究促進(jìn)了相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。因此，學(xué)好本門(mén)課程對(duì)學(xué)生未來(lái)的發(fā)展也將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。　　本課程圍繞偏微分方程定解問(wèn)題的解法這一中心問(wèn)題，比較系統(tǒng)地介紹與之相關(guān)的數(shù)學(xué)理論與方法。主要包括數(shù)學(xué)模型的建立、分離變量法、積分變換法、格林函數(shù)法和特征線(xiàn)法等內(nèi)容。面對(duì)如此豐富的內(nèi)容，《數(shù)學(xué)物理方程》力圖做到陳述簡(jiǎn)明，條理清晰。既注意各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，又注意使各部分內(nèi)容具有相互獨(dú)立的單元式結(jié)構(gòu)。對(duì)于一些重要結(jié)果，《數(shù)學(xué)物理方程》采用敘而不證的方式，重在介紹分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的基本思想和方法，以使讀者對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)理論的實(shí)際背景和本質(zhì)有比較深入的理解。編者以為：只講方法不講原理的教學(xué)態(tài)度是不可取的。在某種意義上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是通過(guò)方法學(xué)習(xí)，從而達(dá)到明白道理的目的。只有這樣，才能使讀者得到思想上的升華，對(duì)所學(xué)知識(shí)能夠舉一反三，運(yùn)用自如。為達(dá)到此目的，本教材每章都配備了較多的練習(xí)題，其中既有不少的基本練習(xí)題，也包括了一些富有啟發(fā)性的題目，讀者可根據(jù)自己的實(shí)際情況靈活選用。另外，對(duì)于一些必要的證明，《數(shù)學(xué)物理方程》也不追求完備，以避免使用過(guò)多的數(shù)學(xué)知識(shí)和一些特殊的計(jì)算技巧。這樣處理使得本教材篇幅適中，內(nèi)容充實(shí)，且便于掌握和應(yīng)用。對(duì)于編者認(rèn)為重要的內(nèi)容，例如變分法和偏微分方程數(shù)值方法等，由于學(xué)時(shí)有限，《數(shù)學(xué)物理方程》未曾涉及。但這兩部分內(nèi)容獨(dú)立性強(qiáng)，如讀者需進(jìn)一步學(xué)習(xí)，可在參考文獻(xiàn)中找到所需要的參考書(shū)目。

內(nèi)容概要

本書(shū)是在編者2008年出版的《數(shù)學(xué)物理方法》一書(shū)中后半部分內(nèi)容的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)高等學(xué)校非數(shù)學(xué)類(lèi)理工科專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)物理方程課程的教學(xué)需要而編寫(xiě)的。    本書(shū)主要包括偏微分方程定解問(wèn)題的建立、分離變量法、積分變換法、格林函數(shù)法和特征線(xiàn)法等內(nèi)容。除了在原有內(nèi)容上做了較大的修改和完善外，還增加了勒讓德多項(xiàng)式一章。    本書(shū)以解的結(jié)構(gòu)為主線(xiàn)，比較系統(tǒng)地介紹了求解偏微分方程定解問(wèn)題的基本思想和主要方法。它既可以作為高等學(xué)校相關(guān)專(zhuān)業(yè)本科生和研究生的教材或參考書(shū)，也可供教師和科學(xué)技術(shù)工作者閱讀參考。

書(shū)籍目錄

第1章  數(shù)學(xué)建模和基本原理介紹  1.1 數(shù)學(xué)模型的建立    1.1.1 弦振動(dòng)方程和定解條件    1.1.2 熱傳導(dǎo)方程和定解條件    1.1.3 泊松方程和定解條件  1.2 定解問(wèn)題的適定性    1.2.1 一些基本概念    1.2.2 適定性概念  1.3 疊加原理    1.3.1 疊加原理    1.3.2 疊加原理的應(yīng)用  1.4 齊次化原理    1.4.1 由含參變量積分或無(wú)窮級(jí)數(shù)表示的變換    1.4.2 常微分方程中的齊次化原理    1.4.3 偏微分方程中的齊次化原理  1.5 二階線(xiàn)性方程分類(lèi)和化簡(jiǎn)    1.5.1 二階偏微分方程的分類(lèi)    1.5.2 兩個(gè)自變量二階偏微分方程的化簡(jiǎn)  習(xí)題1第2章  分離變量法  2.1 特征值問(wèn)題    2.1.1 矩陣特征值問(wèn)題    2.1.2 一個(gè)二階線(xiàn)性微分算子的特征值問(wèn)題  2.2 分離變量法    2.2.1 弦振動(dòng)方程定解問(wèn)題    2.2.2 熱傳導(dǎo)方程定解問(wèn)題    2.2.3 平面上位勢(shì)方程邊值問(wèn)題  習(xí)題2第3章  貝塞爾函數(shù)  3.1 二階線(xiàn)性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法    3.1.1 常系數(shù)線(xiàn)性方程的基解組    3.1.2 變系數(shù)線(xiàn)性方程的冪級(jí)數(shù)解法  3.2 貝塞爾函數(shù)    3.2.1 т函數(shù)    3.2.2 貝塞爾方程和貝塞爾函數(shù)    3.2.3 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)    3.2.4 貝塞爾方程的特征值問(wèn)題    3.2.5 圓域上拉普拉斯算子的特征值問(wèn)題    3.2.6 一些例子  3.3 多個(gè)自變量分離變量法舉例    3.3.1 矩形域上定解問(wèn)題    3.3.2 圓柱體或圓域上定解問(wèn)題  習(xí)題3第4章  積分變換法  4.1 熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題    4.1.1 一維熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題    4.1.2 二維熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題  4.2 波動(dòng)方程柯西問(wèn)題    4.2.1 一維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題    4.2.2 二維和三維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題    4.2.3 解的物理意義  4.3 積分變換法舉例  習(xí)題4第5章  格林函數(shù)法  5.1 格林公式  5.2 拉普拉斯方程基本解和格林函數(shù)    5.2.1 基本解    5.2.2 格林函數(shù)  5.3 半空間及圓域上的狄利克雷問(wèn)題    5.3.1 半空間上狄利克雷問(wèn)題    5.3.2 圓域上狄利克雷問(wèn)題  5.4 一維熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程半無(wú)界問(wèn)題    5.4.1 一維熱傳導(dǎo)方程半無(wú)界問(wèn)題    5.4.2 一維波動(dòng)方程半無(wú)界問(wèn)題  習(xí)題5第6章  特征線(xiàn)法  6.1 一階偏微分方程特征線(xiàn)法    6.1.1 特征線(xiàn)法    6.1.2 特征線(xiàn)法的應(yīng)用舉例      6.1.2.1 交通流問(wèn)題      6.1.2.2 人口發(fā)展方程  6.2 一維波動(dòng)方程的特征線(xiàn)法  習(xí)題6第7章  勒讓德多項(xiàng)式  7.1 勒讓德多項(xiàng)式    7.1.1 勒讓德方程及勒讓德多項(xiàng)式    7.1.2 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)和遞推公式    7.1.3 勒讓德多項(xiàng)式的微分表示形式    7.1.4 勒讓德方程特征值問(wèn)題  7.2 球面調(diào)和函數(shù)和球形貝塞爾函數(shù)    7.2.1 拉普拉斯算子的其他表示形式    7.2.2 球面調(diào)和函數(shù)(與θ無(wú)關(guān))    7.2.3 球面調(diào)和函數(shù)(與θ有關(guān))    7.2.4 球形貝塞爾函數(shù)  習(xí)題7附錄1  測(cè)驗(yàn)題附錄2  部分習(xí)題答案，提示或解答附錄3  參考文獻(xiàn)

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