歷屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題集

內(nèi)容概要

　　《歷屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題集：多解推廣加強》匯集了第1屆至第39屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題及解答。《歷屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題集：多解推廣加強》廣泛搜集了每道試題的多種解法，且注重了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，更有出自數(shù)學(xué)名家之手的推廣與加強?！稓v屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題集：多解推廣加強》可歸結(jié)出以下四個特點，即收集全、解法多、觀點高、結(jié)論強。　　本書適合于數(shù)學(xué)奧林匹克競賽選手和教練員、高等院校相關(guān)專業(yè)研究人員及數(shù)學(xué)愛好者使用。

書籍目錄

第1屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1972 第2屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1973 第3屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1974 第4屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1975 第5屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1976 第6屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1977 第7屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1978 第8屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1979 第9屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1980 第10屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1981 第11屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1982 第12屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1983 第13屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1984 第14屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1985 第15屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1986 第16屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1987 第17屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1988 第18屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1989 第19屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1990 第20屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1991 第21屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1992 第22屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1993 第23屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1994 第24屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1995 第25屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1996 第26屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1997 第27屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1998 第28屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 1999 第29屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 2000 第30屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 2001 第31屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 2002 第32屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 2003 第33屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 2004 第34屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 2005 第35屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 2006 第36屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 2007 第37屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 2008 第38屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 2009 第39屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克 附 錄 參考文獻 編輯手記

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   某次數(shù)學(xué)家大會上，每兩個數(shù)學(xué)家或互為朋友或互為陌生人。會場提供兩個餐廳，且用餐的時候，每一位到會的數(shù)學(xué)家都堅持要和偶數(shù)個朋友在同一個餐廳。求證：符合所有數(shù)學(xué)家的要求的就餐位置的安排方法數(shù)是2的正整數(shù)次冪。 證明 設(shè)參加會議的數(shù)學(xué)家有n人，下面對n進行歸納。 當n=1時，這位數(shù)學(xué)家可被任意安排在兩個餐廳之一，安排的辦法數(shù)為2=21。 設(shè)n≥2.如果存在某位數(shù)學(xué)家P沒有朋友，則P可被任意安排在兩個餐廳之一，這時安排的方法數(shù)為去掉P后剩下n—1位數(shù)學(xué)家時安排方法的兩倍，而由歸納假設(shè)，n—1位數(shù)學(xué)家安排就餐的方法數(shù)為2k，因此在這種情況下n位數(shù)學(xué)家的安排方法數(shù)為2×2k=2k+1。故下面我們只需考慮參加會議的每位數(shù)學(xué)家至少有一個朋友。 下面分兩種情形進行討論：存在某種數(shù)學(xué)家有奇數(shù)個朋友和每位數(shù)學(xué)家都有偶數(shù)個朋友。 情形1：某位數(shù)學(xué)家Z有奇數(shù)個朋友。 先去掉Z，再改變Z的每一朋友對（X，Y）的關(guān)系（即若X和Y是朋友，則變?yōu)槟吧?，若X和Y是陌生人，則變?yōu)榕笥眩?。先證明下面的命題。 命題 去掉Z，再改變Z的每一朋友對（X，Y）的關(guān)系不改變就餐安排方法數(shù)。 命題的證明 根據(jù)假設(shè)，在Z就餐的餐廳里有偶數(shù)個Z的朋友，不妨設(shè)為a個。 如果a=0，去掉Z后的安排仍然滿足題目的要求。 如果a>0，設(shè)X為和Z同一餐廳的X的任意一個朋友。根據(jù)假設(shè)，X在該餐廳里也有偶數(shù)個朋友。去掉X后，X變?yōu)橛衅鏀?shù)個朋友，而Z在餐廳里有奇數(shù)個不包含X的朋友，則改變X和Z的每一個朋友的關(guān)系后，X在該餐廳里仍然有偶數(shù)個朋友。在另一個餐廳里，Z有奇數(shù)個朋友，則他們中的第一人改變關(guān)系偶數(shù)次，在這個餐廳里他們?nèi)匀挥信紨?shù)個朋友。 此外，因為在這種情形下只有一個餐廳含有Z的偶數(shù)個朋友，所以不包含Z的每一個合理安排都由包含Z的一安排唯一導(dǎo)出，命題得證。 因此，在這種情形下n位數(shù)學(xué)家合理的安排方法數(shù)為n一1位數(shù)學(xué)家時的兩倍，而由歸納假設(shè)，n—1位數(shù)學(xué)家時的合理安排方法數(shù)為2的冪次，故n位數(shù)學(xué)家時的合理安排方法也是2的冪次。 情形2：每一位數(shù)學(xué)家都有偶數(shù)個朋友。 在這種情形下，對于每一個合理的安排，每一位數(shù)學(xué)家在兩個餐廳里的朋友數(shù)都為偶數(shù)。

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