代數(shù)幾何中的貝祖定理

內(nèi)容概要

　　代數(shù)幾何是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，國(guó)內(nèi)外很多著名的數(shù)學(xué)家都從事過(guò)對(duì)它的研究。本書(shū)從一道IM0試題的解法談起，詳細(xì)介紹了代數(shù)幾何中的貝祖定理。全書(shū)共分五章，分別為：一道背景深刻的IM0試題、多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單預(yù)備知識(shí)、代數(shù)幾何中的貝祖定理的簡(jiǎn)單情形、射影空間中的交、代數(shù)幾何、肖剛論代數(shù)幾何。
　　本書(shū)可供從事這一數(shù)學(xué)分支或相關(guān)學(xué)科的數(shù)學(xué)工作者、大學(xué)生以及數(shù)學(xué)愛(ài)好者研讀。

書(shū)籍目錄

第1章　一道背景深刻的IM0試題
第2章　多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單預(yù)備知識(shí)
　2.1　多項(xiàng)式矢量空間
　2.2　多項(xiàng)式環(huán)
　2.3　按降冪排列的除法
第3章　代數(shù)幾何中的貝祖定理的簡(jiǎn)單情形
第4章　射影空間中的交
第5章　代數(shù)幾何
　5.1　什么是代數(shù)幾何
　5.2　代數(shù)幾何發(fā)展簡(jiǎn)史
第6章　肖剛論代數(shù)幾何
　6.1　代數(shù)簇
　6.2　曲線：高維情形的縮影
　6.3　曲面：從意大利學(xué)派發(fā)展而來(lái)
　6.4 曲體：嶄新而艱難的理論
參考文獻(xiàn)
編輯手記

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：   關(guān)于曲線的第二個(gè)問(wèn)題即描述一給定雙有理等價(jià)類中的所有非異射影曲線。這個(gè)問(wèn)題有簡(jiǎn)單的答案，因?yàn)槲覀円呀?jīng)看到每個(gè)雙有理等價(jià)類中恰好有一條非異射影曲線。 至于第三個(gè)問(wèn)題，我們知道，每個(gè)曲線加進(jìn)有限個(gè)點(diǎn)便可作成射影曲線，從而這方面沒(méi)有太多事情可說(shuō)。 對(duì)于分類問(wèn)題下面介紹另一個(gè)特殊情形，這就是在一給定雙有理等價(jià)類中非異射影曲面的分類問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題已有滿意的答案，即我們已經(jīng)知道：（1）曲面的每個(gè)雙有理等價(jià)類中均有一個(gè)非異射影曲面。（2）具有給定函數(shù)域K／k的全部非異射影曲面構(gòu)成的集合是一個(gè)偏序集合，其偏序由雙有理態(tài)射的存在性給出。（3）每個(gè)雙有理態(tài)射f：X→Y均是有限個(gè)“在一點(diǎn)脹開(kāi)”的復(fù)合。最后，（4）如果K不是有理的（即K≠K（P2）也不是直紋的（即K≠K（P1×C），其中C為曲線），則上述偏序集有唯一的極小元，這個(gè)極小元稱做是函數(shù)域K的極小模型（對(duì)于有理的和直紋的情形，存在無(wú)限多個(gè)極小元素，這些極小元素的結(jié)構(gòu)也已知道）。極小模型理論是曲面論的十分美麗的一個(gè)分支。意大利學(xué)派就已經(jīng)知道這些結(jié)果，但是對(duì)于任意特征的域k，扎里斯基（Zariski，1899—1986）第一個(gè)證明了這些結(jié)果。 由以上所述不難看出，分類問(wèn)題是一個(gè)非常富有成果的問(wèn)題，在研究代數(shù)幾何的時(shí)候應(yīng)當(dāng)記住這件事，這使我們提出下一個(gè)問(wèn)題：怎樣定義一個(gè)代數(shù)簇的不變量？至今我們已經(jīng)定義了維數(shù)，射影簇的希爾伯特多項(xiàng)式以及由此得到的次數(shù)和算術(shù)虧格Pa。維數(shù)當(dāng)然是雙有理不變量。但是次數(shù)和希爾伯特多項(xiàng)式與在射影空間中的嵌入方式有關(guān)，從而它們甚至不是同構(gòu)不變量?？墒撬阈g(shù)虧格卻是同構(gòu)不變量，并且在多數(shù)情形下（例如對(duì)于曲線，曲面，特征0的非異簇等）它甚至是雙有理不變量，雖然從我們的定義來(lái)看這件事并不顯然。 再進(jìn)一步，我們必須研究代數(shù)簇的內(nèi)蘊(yùn)幾何，而在這方面我們至今還未做任何事情。我們將要研究簇X上的除子，每個(gè)除子是由余維是1的子簇生成的自由阿貝爾（Abel）群中的一個(gè)元素。我們還要定義除子的線性等價(jià)，然后形成除子群對(duì)線性等價(jià)的商群，叫做X的皮卡（Picard）群，這是X的固有不變量。另一個(gè)重要概念是簇X上的微分形式。利用微分形式我們可以給出代數(shù)簇上切叢和余切叢的內(nèi)蘊(yùn)定義，然后可以把微分幾何中許多結(jié)構(gòu)移置過(guò)來(lái)，由此定義一些數(shù)值不變量。例如，我們可以將曲線的虧格定義為其非奇異射影模型上整體微分形式向量空間的維數(shù)。從這個(gè)定義可以清楚地知道曲線虧格是雙有理不變量。

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