實變函數(shù)論

內(nèi)容概要

　　《數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)系列：實變函數(shù)論》是一本經(jīng)典著作，由論點(diǎn)集、極限之概念、函數(shù)、距離及聯(lián)結(jié)、容量及可測性、線性體系、可測函數(shù)、定積分、不定積分及加性全連續(xù)集合函數(shù)、單變數(shù)函數(shù)、多變數(shù)函數(shù)共11章內(nèi)容構(gòu)成，《數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)系列：實變函數(shù)論》譯筆帶有文言文遺風(fēng)，讀之別有風(fēng)味?！秾嵶兒瘮?shù)論》可作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)教師和學(xué)生教學(xué)學(xué)習(xí)用書，也可作為數(shù)學(xué)愛好者的興趣讀物。

作者簡介

作者：（希臘）卡拉西奧多里 譯者：武崇林  卡拉西奧多里（1873.9.13—1950.2.2），希臘數(shù)學(xué)家（也有書稱其為德國數(shù)學(xué)家），原籍希臘，其祖先數(shù)代前移居土耳其迪爾內(nèi)（Edirne），父親是土耳其駐圣彼得堡、柏林等地外交官?？ɡ鲓W多里生于柏林，卒于慕尼黑，1891—1895年入比利時的軍事學(xué)校學(xué)習(xí)，畢業(yè)后受雇于英國政府到埃及參加艾斯尤特（Asyut）水壩工程建設(shè)。1900年返回柏林研究數(shù)學(xué)，兩年后到哥廷根。1904年在閔可夫斯基指導(dǎo)下獲博士學(xué)位，在德國、波蘭、土耳其、希臘等地從事教學(xué)工作，1924年任慕尼黑大學(xué)數(shù)學(xué)教授?？ɡ鲓W多里的研究涉及數(shù)學(xué)多個分支，主要著作就包括本書《實變數(shù)函數(shù)論》（Vorlesungen überreelle Funktionen，1918），它繼波萊爾、勒貝格之后建立了實函數(shù)的嚴(yán)密體系。還有一本著作是《變分法與一階偏微分方程》（Variationsrechnung und partielle Differentialgleichun—gen erster ord nung，1935），在其中他推進(jìn)了拉格朗日問題的解法。他的另外兩部著作是《幾何光學(xué)》（Geometrische Optik，1937），在其中他應(yīng)用變分法建立起一套完整的數(shù)字計算方法。在《函數(shù)論》（Funk—tionentheorie，1950）中他對保角表示（單連通區(qū)域界的存在和對應(yīng)定理），點(diǎn)集的測度和抽象積分的一般理論，變分學(xué)（極值曲線域的新理論結(jié)構(gòu)）取得重要結(jié)果。他曾是《數(shù)學(xué)年刊》（Mathematische Annalen）雜志的編輯。

書籍目錄

引論 0.1序次公理及結(jié)合公理 0.2數(shù)集，自然數(shù)公理 0.3連續(xù)公理 0.4絕對值 O.5對應(yīng)公理 第一章論點(diǎn)集 1.1定義 1.2點(diǎn)集之基本運(yùn)算 1.3有窮及無窮點(diǎn)集，可數(shù)性 1.4節(jié)之定理 1.5點(diǎn)集與全空間之比較 1.6點(diǎn)集之類別 1.7覆蓋定理 1.8極限點(diǎn)及凝聚點(diǎn)定理 1.9交集及結(jié)合集之極限點(diǎn) 1.10相對概念 1.11到處稠密及無處稠密點(diǎn)集 1.12交集合的定理 第二章極限之概念 2.1函數(shù)之普遍概念 2.2上限及下限 2.3收斂數(shù)列 2.4正數(shù)之和 2.5收斂級數(shù) 2.6收斂點(diǎn)集 2.7點(diǎn)集序列之上限及下限 第三章函數(shù) 3.1 定義 3.2點(diǎn)函數(shù)之極限函數(shù) 3.3半連續(xù)點(diǎn)及連續(xù)點(diǎn) 3.4半連續(xù)函數(shù)及連續(xù)函數(shù) 3.5振幅、點(diǎn)斷及全斷函數(shù) 3.6單變數(shù)函數(shù) 3.7單調(diào)函數(shù) 3.8連續(xù)函數(shù)之構(gòu)造 3.9收斂函數(shù)序列 3.10均勻收斂 3.11有界變分函數(shù) 第四章距離及聯(lián)結(jié) 4.1點(diǎn)之距離 4.2點(diǎn)集之距離 4.3直徑 4.4均勻連續(xù)（一致連續(xù)） 4.5連續(xù)映像 4.6連續(xù)統(tǒng) 4.7點(diǎn)集之邊緣 4.8域 4.9于連續(xù)函數(shù)之應(yīng)用 第五章容量及可測性 5.1外容量 5.2測度函數(shù) 5.3可測性 5.4正則測度函數(shù) 5.5測度理論之應(yīng)用于點(diǎn)集容量 5.6可積點(diǎn)集、空間胞網(wǎng) 5.7 Vitali覆蓋定理 第六章線性體系 6.1 9—維空間之矢量 6.2線性矢量體系 6.3正交性質(zhì) 6.4行列式 6.5行列式之用于線性矢量體系 6.6一次方程 6.7線性點(diǎn)體系 6.8線性點(diǎn)變換 6.9點(diǎn)集容量之變換 6.10正交變換 6.11容量不可測之點(diǎn)集 6.12連續(xù)可測映像 6.13測度函數(shù)理論之評論 第七章可測函數(shù) 7.1經(jīng)由點(diǎn)集序列之函數(shù)表示 7.2可測函數(shù) 7.3限值函數(shù) 7.4等價函數(shù) 7.5 Baire分類 7.6類的概念在可測函數(shù)之應(yīng)用 第八章定積分 8.1柱性集合 8.2縱線集合 8.3非負(fù)函數(shù)之定積分 8.4可測性及可和性 8.5任意符號之可和函數(shù) 8.6積分之估計及近似 8.7 Darboux和 8.8 Riemann積分 第九章不定積分及加性全連續(xù)集合函數(shù) 9.1不定積分 9.2加性全連續(xù)集合函數(shù) 9.3中導(dǎo)數(shù) 9.4廣義導(dǎo)數(shù) 9.5導(dǎo)數(shù)之限函數(shù) 9.6加性全連續(xù)節(jié)函數(shù) 第十章單變數(shù)函數(shù) 10.1 λ—變分 10.2函數(shù)之導(dǎo)數(shù) 10.3微分學(xué)之定則 10.4連續(xù)函數(shù)之導(dǎo)數(shù)，視為自變數(shù)之函數(shù) 10.5簡單（一次）積分及全連續(xù)函數(shù) 10.6簡單積分之置換理論 10.7單調(diào)函數(shù) 10.8可測映像 10.9有界變分函數(shù) 10.10 Weierstrass無處可微分函數(shù) 10.11微分學(xué)之逆轉(zhuǎn)問題 10.12簡單（一次）積分之計算 10.13廣義積分 10.14積分學(xué)之第二中值定理 10.15連續(xù)函數(shù)定義域之?dāng)U展 第十一章多變數(shù)函數(shù) 11.1 Fubini定理 11.2累次積分及重積分 11.3偏引數(shù)，可微分性 11.4微分次序之更易性 11.5兩變數(shù)全連續(xù)函數(shù) 11.6積分符下之微分 11.7微分方程 附錄Ⅰ 關(guān)于Vitali覆蓋定理 附錄Ⅱ 關(guān)于內(nèi)外容量之算術(shù)中數(shù) 編輯手記

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：    36.兩點(diǎn)集A，B之結(jié)合集，顯為由A之所有之點(diǎn)以及B中不屬于A之點(diǎn)所結(jié)集而成，所以可寫為 V=A+B=A+（B—AB） 關(guān)于兩集合A，B之B—AB之運(yùn)算，亦殊數(shù)見不鮮，幾如交AB及結(jié)合A+B之常見因此亦應(yīng)視為集合基本運(yùn)算之一。 37.應(yīng)用余集之概念，則基本運(yùn)算AB，A+B，（B—AB）之任何一個，得由其余二者表示之。 所以AB而論，命V=A+B，則V的余集V′為同時屬于A′及B′之點(diǎn)結(jié)集而成（參閱圖1.4），所以 V′=A′·B′ （1） 又因余集之余集即系原集合，故 A+B=（A′B′）′ （2） 應(yīng)用自n至n+1之歸納法，得將（1）及（2）兩式推廣至任意有限個數(shù)的點(diǎn)集。因若命 Vn=A1+A2+…+An Vn+1=A1+A2+…+An+An+1 且由假定 V′n=A′1A′2…A′n 則應(yīng)用式（1）于Vn及An+1之結(jié)合集Vn+1，得 V′n+1=V′n·A′n+1=A′1·A′2·…·A′nA′n+1 因此，對任何自數(shù)然n，必有 （A1+A2+…+An）=（A′1·A′2·…·A′n）′ （3） 同理若A及B為任意二點(diǎn)集，則亦必 A—AB=AB′ （4） 1.3 有窮及無窮點(diǎn)集，可數(shù)性 38.最簡單的非空集合，當(dāng)為由有限個數(shù)點(diǎn)所組成者，前面我們已知道，（16）此等集合得與自然數(shù)系之某片段成一一對應(yīng)。關(guān)于此等所謂有限點(diǎn)集（endliche Punktmenge）有以下之定理： 定理1.3.1 有限點(diǎn)集A之任意非空子集B，仍為有限，且B之點(diǎn)數(shù)不能超過A之點(diǎn)數(shù)。此外，若B為A之真子集，則B之點(diǎn)數(shù)小于A之點(diǎn)數(shù)。

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