數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟

內(nèi)容概要

　　本書共分五章。第一章數(shù)學(xué)思想概述；第二章兩大“基石”思想；第三章兩大“支柱”思想；第四章兩大“主梁”思想；第五章數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用與領(lǐng)悟。本書可作為高等師范院校教育學(xué)院、教師進(jìn)修學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)及國(guó)家級(jí)、省級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)班的教材或教學(xué)參考書。

作者簡(jiǎn)介

　　沈文選，男，1948年生。湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授、碩士生導(dǎo)師，湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所所長(zhǎng)，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克高級(jí)教練，湖南數(shù)學(xué)奧林匹克培訓(xùn)的主要組織者與授課者(湖南中學(xué)生已獲得IH0金牌10塊，銀牌2塊)。已出版《競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程》、《奧林匹克數(shù)學(xué)中的代數(shù)問(wèn)題》、《奧林匹克數(shù)學(xué)中的幾何問(wèn)題》、《奧林匹克數(shù)學(xué)中的組合問(wèn)題》等數(shù)學(xué)競(jìng)賽著作10余部，在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》等雜志上發(fā)表《奧林匹克數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)奧林匹克教育》、《奧林匹克中的幾何問(wèn)題研究與幾何教學(xué)探討》等數(shù)學(xué)競(jìng)賽論文40余篇。多年來(lái)為全國(guó)初、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，數(shù)學(xué)冬令營(yíng)提供試題20余道，是1997年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、2002年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、2003年第18屆數(shù)學(xué)冬令營(yíng)等命題組成員。長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)奧林匹克教育研究、中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究、初等數(shù)學(xué)研究，并出版學(xué)術(shù)著作近20部，發(fā)表論文200余篇。任全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究協(xié)調(diào)組成員、全國(guó)高師教育研究會(huì)常務(wù)理事、全國(guó)教育數(shù)學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事、《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》編委、湖南省高校數(shù)學(xué)教育研究會(huì)理事長(zhǎng)、湖南省數(shù)學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)副主任、《現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)》常務(wù)副主編等。

書籍目錄

第一章　數(shù)學(xué)思想概述1.1　對(duì)數(shù)學(xué)思想重要性的認(rèn)識(shí)漸趨深刻1.1.1　經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)1.1.2　現(xiàn)實(shí)的需要1.1.3　認(rèn)知的實(shí)現(xiàn)1.2　大力加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想的探討1.2.1　思想和數(shù)學(xué)思想1.2.2　數(shù)學(xué)思想與科學(xué)思想1.2.3　歷史上數(shù)學(xué)思想的幾次重大突破與中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的階段性轉(zhuǎn)折1.2.4　數(shù)學(xué)思想中的基本數(shù)學(xué)思想1.2.5　思路、思緒、思考和意識(shí)(觀念)1.2.6　數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的關(guān)系思考題第二章　兩大“基石"思想2.1　符號(hào)化與變?cè)硎舅枷?.1.1　換元思想2.1.2　方程思想2.1.3　參數(shù)思想2.2　集合思想2.2.1　類分思想(并集思想)2.2.2　求同思想(交集思想)2.2.3　互補(bǔ)思想(補(bǔ)集思想)思考題思考題參考解答第三章　兩大“支柱"思想3.1　對(duì)應(yīng)思想3.1.1　映射思想3.1.2　函數(shù)思想3.1.3　變換思想3.1.4　對(duì)稱思想3.1.5　遞歸思想3.1.6　數(shù)形結(jié)合思想3.2　公理化與結(jié)構(gòu)思想3.2.1　公理化思想3.2.2　演繹思想3.2.3　日納思想3.2.4　類比思想3.2.5　結(jié)構(gòu)思想3.2.6　極限思想3.2.7　模型思想思考題思考題參考解答第四章　兩大“主梁”思想4.1　系統(tǒng)與統(tǒng)計(jì)思想(一)4.1.1　系統(tǒng)思想4.1.2　整體思想4.1.3　分解組合思想4.1.4　運(yùn)動(dòng)變化思想4.1.5　最優(yōu)化思想4.2　系統(tǒng)與統(tǒng)計(jì)思想(二)4.2.1　統(tǒng)計(jì)思想4.2.2　隨機(jī)思想4.2.3　統(tǒng)計(jì)調(diào)查思想4.2.4　假設(shè)檢驗(yàn)思想4.2.5　量化思想4.3　化歸與辯證思想(一)4.3.1　化歸思想4.3.2　縱向化歸4.3.3　橫向化歸4.3.4　同向化歸4.3.5　逆向化歸4.4　化歸與辯證思想(二)4.4.1　辯證思想4.4.2　對(duì)立統(tǒng)一思想4.4.3　互變思想4.4.4　轉(zhuǎn)換思想4.4.5　一分為二思想思考題思考題參考解答第五章　數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用與領(lǐng)悟5.1　集合問(wèn)題5.1.1　學(xué)習(xí)集合應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題——符號(hào)化與變?cè)硎舅枷氲倪\(yùn)用5.1.2　集合的圖形表示及應(yīng)用——數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用5.1.3　關(guān)注集合元素的特征——符號(hào)化與變?cè)硎舅枷氲倪\(yùn)用5.1.4　重視空集的特殊性和重要作用——一分為二思想的運(yùn)用5.1.5　反面求解——補(bǔ)集思想的運(yùn)用5.2　簡(jiǎn)易邏輯與推理問(wèn)題5.2.1　邏輯聯(lián)結(jié)詞與真假命題的集合語(yǔ)言表示——結(jié)構(gòu)思想的運(yùn)用5.2.2　用集合觀點(diǎn)處理充要條件問(wèn)題——集合思想的運(yùn)用5.2.3　對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的深入理解——遞歸思想的運(yùn)用5.3　函數(shù)問(wèn)題5.3.1　映射、函數(shù)等概念的正確把握——特殊與一般轉(zhuǎn)換思想的運(yùn)用5.3.2　函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性的應(yīng)用——模型思想的運(yùn)用5.3.3　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用——類分思想的運(yùn)用5.3.4　冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的參變量漫談——運(yùn)動(dòng)變化思想的運(yùn)用5.3.5　從反函數(shù)的定義談起——對(duì)應(yīng)思想的運(yùn)用5.3.6　函數(shù)奇偶性的判定與應(yīng)用——符號(hào)化變?cè)硎舅枷氲倪\(yùn)用5.3.7　關(guān)于對(duì)稱問(wèn)題的求解——對(duì)稱思想的運(yùn)用5.4　三角問(wèn)題5.4.1　對(duì)角的概念推廣與符號(hào)表示的深刻認(rèn)識(shí)——符號(hào)化與變?cè)硎舅枷氲倪\(yùn)用5.4.2　弧度制及應(yīng)用——對(duì)應(yīng)思想的運(yùn)用5.4.3　誘導(dǎo)公式的新概括——符號(hào)化與變?cè)硎舅枷氲倪\(yùn)用5.4.4　函數(shù)y=Asin(舛+驢)的圖象——變換思想的運(yùn)用5.4.5　單位圓的應(yīng)用——數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用5.4.6　三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用——特殊與一般轉(zhuǎn)換思想的運(yùn)用5.4.7　角的代換與變換——化歸思想的運(yùn)用5.4.8　三角式余弦定理——特殊與一般轉(zhuǎn)換思想的運(yùn)用5.4.9　弦函數(shù)的“平方差”公式——整體思想的運(yùn)用5.4.10　三角中的三倍角公式——變換思想的運(yùn)用5.4.11　余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用——轉(zhuǎn)換思想的運(yùn)用5.5　立體幾何問(wèn)題5.5.1　平面的屬性與描述——符號(hào)化與變?cè)硎舅枷氲倪\(yùn)用5.5.2　公理3的三個(gè)推論的證明——公理化思想的運(yùn)用5.5.3　空間直線位置關(guān)系的識(shí)別與證明——類分思想的運(yùn)用5.5.4　線面垂直判定定理的證明——轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用5.5.5　直線和平面所成的角及其求解——轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用5.5.6　平面與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)——?dú)w納思想的運(yùn)用5.5.7　二面角的求解方法——?dú)w納思想的運(yùn)用5.5.8　立體幾何求解題的規(guī)范化表述——最優(yōu)化思想的運(yùn)用5.5.9　立體幾何中的反證法證明——補(bǔ)集思想的運(yùn)用5.5.10　平面圖形的翻折問(wèn)題及求解——運(yùn)動(dòng)變化思想的運(yùn)用5.5.11　異面直線上兩點(diǎn)問(wèn)的距離公式——化歸思想的運(yùn)用5.5.12　底面為矩形的棱錐的一個(gè)美妙結(jié)論——化歸思想的運(yùn)用5.5.13　平行六面體的妙用——模型思想的運(yùn)用5.5.14　立體幾何中的幾何變換——運(yùn)動(dòng)變化思想的運(yùn)用5.5.15　一種重要的思維方式——類比思想的運(yùn)用5.5.16　一種有效的處理途徑一轉(zhuǎn)換思想的運(yùn)用5.5.17　一種常用的求解方法——分解組合思想的運(yùn)用5.5.18　射影法與解析法的配合運(yùn)用——轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用5.5.19　三類角的珠聯(lián)璧合關(guān)系——系統(tǒng)思想的運(yùn)用5.5.20　立體幾何中的“定比分點(diǎn)”公式——特殊向一般轉(zhuǎn)換思想的運(yùn)用5.6　平面解析幾何問(wèn)題5.6.1　解析法證題淺談——數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用5.6.2　定比分點(diǎn)公式淺析——公式所包含的多種思想5.6.3　直線及直線方程的建立——數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用5.6.4　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃及應(yīng)用——最優(yōu)化思想的運(yùn)用5.6.5　直線系方程——參數(shù)思想的運(yùn)用5.6.6　直線與圓有公共點(diǎn)的運(yùn)用——參數(shù)思想的運(yùn)用5.6.7　圓的各種形式的方程及應(yīng)用——符號(hào)化與變?cè)硎舅枷氲倪\(yùn)用5.6.8　談圓的直徑式方程——分解組合思想的運(yùn)用5.6.9　動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和差最值——類比思想的運(yùn)用5.6.10　圓、橢圓、雙曲線的定義問(wèn)題——縱向化歸思想的運(yùn)用5.6.11　利用圓錐曲線的定義解題——化歸思想的運(yùn)用5.6.12　一串優(yōu)美的定值結(jié)論——特殊與一般轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用5.6.13　圓錐曲線焦半徑公式的應(yīng)用——模型思想的運(yùn)用5.6.14　過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程問(wèn)題——變換思想的運(yùn)用5.6.15　軌跡方程的求法——交集思想的運(yùn)用5.6.16　處理圓錐曲線問(wèn)題應(yīng)注意的一個(gè)方面——對(duì)稱思想的運(yùn)月5.6.17　設(shè)而不求——整體思想的運(yùn)用5.6.18　簡(jiǎn)化計(jì)算的妙方——對(duì)稱思想的運(yùn)用5.6.19　一道拋物線問(wèn)題的求解——結(jié)構(gòu)思想的運(yùn)用5.6.20　圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用——結(jié)構(gòu)思想的運(yùn)用5.7　排列組合與二項(xiàng)式定理問(wèn)題5.7.1　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的理解與運(yùn)用——類分思想的運(yùn)用5.7.2　從集合的角度看排列組合——集合思想的運(yùn)用5.7.3　二項(xiàng)式定理的應(yīng)用舉例——模型思想的運(yùn)用5.8　概率問(wèn)題5.8.1　對(duì)事件及概率的辨析理解——類比思想的運(yùn)用5.8.2　從集合角度看事件與概率——集合思想的運(yùn)用5.9　向量問(wèn)題5.9.1　向量的概念及加減運(yùn)算——模型思想的運(yùn)用5.9.2　平面向量的基本定理及應(yīng)用——符號(hào)化與變?cè)硎舅枷氲倪\(yùn)用5.9.3　平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用——類比與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用5.9.4　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用——數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用5.10　數(shù)列問(wèn)題5.10.1　關(guān)于數(shù)列一般概念的理解——結(jié)構(gòu)思想的運(yùn)用5.10.2　對(duì)等差數(shù)列的深化認(rèn)識(shí)——結(jié)構(gòu)思想的運(yùn)用5.10.3　用函數(shù)觀點(diǎn)處理等差數(shù)列問(wèn)題——函數(shù)思想的運(yùn)用5.10.4　對(duì)等比數(shù)列的深刻認(rèn)識(shí)——類比與結(jié)構(gòu)思想的運(yùn)用5.10.5　等差、等比中項(xiàng)的巧用——化歸思想的運(yùn)用5.10.6　可化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列問(wèn)題——模型思想的運(yùn)用5.10.7　數(shù)列求和的若干方法——化歸思想的運(yùn)用5.11　不等式問(wèn)題5.11.1　由實(shí)數(shù)的性質(zhì)到不等式的性質(zhì)——化歸思想的運(yùn)用5.11.2　實(shí)系數(shù)一元不等式的統(tǒng)一解法——函數(shù)思想的運(yùn)用5.11.3　兩個(gè)不等式的一般形式——模型思想的運(yùn)用5.11.4　二元與三元均值不等式的巧用——轉(zhuǎn)換思想的運(yùn)用5.11.5　構(gòu)作函數(shù)證明不等式——函數(shù)思想的運(yùn)用5.11.6　運(yùn)用放縮法證明不等式——化歸思想的運(yùn)用5.12　復(fù)數(shù)問(wèn)題5.12.1　對(duì)復(fù)數(shù)概念的深刻認(rèn)識(shí)——對(duì)應(yīng)思想的運(yùn)用5.12.2　復(fù)數(shù)豐富多彩的性質(zhì)——變換思想的運(yùn)用5.12.3　處理復(fù)數(shù)問(wèn)題的一條有效途徑——方程思想的運(yùn)用5.12.4　借圖速解復(fù)數(shù)題——數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用5.12.5　復(fù)數(shù)幫了三角的忙——橫向化歸思想的運(yùn)用5.12.6　復(fù)數(shù)在求解代數(shù)、平面幾何問(wèn)題中的應(yīng)用——模向化歸思想的運(yùn)用5.12.7　復(fù)數(shù)與解析幾何問(wèn)題——化歸思想的運(yùn)用思考題思考題參考解答參考文獻(xiàn)作者出版的相關(guān)書籍與發(fā)表的相關(guān)文章目錄編后語(yǔ)

編輯推薦

　　本書為中學(xué)數(shù)學(xué)拓展叢書之一。在書中，作者提出了作為數(shù)學(xué)思想的奠基性或總括性成分的基本數(shù)學(xué)思想觀點(diǎn)，以及基本數(shù)學(xué)思想是由兩大“基石”、兩大“支柱”、兩大“主梁”思想等三大塊有機(jī)組成的探討，以企圖給數(shù)學(xué)思想構(gòu)建一種理論體系。 本書可作為高等師范院校教育學(xué)院、教師進(jìn)修學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)及國(guó)家級(jí)、省級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)班的教材或教學(xué)參考書。

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