數(shù)學思想領悟

內(nèi)容概要

　　本書共分五章。第一章數(shù)學思想概述；第二章兩大“基石”思想；第三章兩大“支柱”思想；第四章兩大“主梁”思想；第五章數(shù)學思想的運用與領悟。本書可作為高等師范院校教育學院、教師進修學院數(shù)學專業(yè)及國家級、省級中學數(shù)學骨干教師培訓班的教材或教學參考書。

作者簡介

　　沈文選，男，1948年生。湖南師范大學數(shù)學與計算機科學學院教授、碩士生導師，湖南師范大學數(shù)學奧林匹克研究所所長，中國數(shù)學奧林匹克高級教練，湖南數(shù)學奧林匹克培訓的主要組織者與授課者(湖南中學生已獲得IH0金牌10塊，銀牌2塊)。已出版《競賽數(shù)學教程》、《奧林匹克數(shù)學中的代數(shù)問題》、《奧林匹克數(shù)學中的幾何問題》、《奧林匹克數(shù)學中的組合問題》等數(shù)學競賽著作10余部，在《數(shù)學教育學報》等雜志上發(fā)表《奧林匹克數(shù)學研究與數(shù)學奧林匹克教育》、《奧林匹克中的幾何問題研究與幾何教學探討》等數(shù)學競賽論文40余篇。多年來為全國初、高中數(shù)學聯(lián)賽，數(shù)學冬令營提供試題20余道，是1997年全國高中數(shù)學聯(lián)賽、2002年全國初中數(shù)學聯(lián)賽、2003年第18屆數(shù)學冬令營等命題組成員。長期從事數(shù)學奧林匹克教育研究、中學數(shù)學教育研究、初等數(shù)學研究，并出版學術著作近20部，發(fā)表論文200余篇。任全國初等數(shù)學研究協(xié)調組成員、全國高師教育研究會常務理事、全國教育數(shù)學研究會常務理事、《數(shù)學教育學報》編委、湖南省高校數(shù)學教育研究會理事長、湖南省數(shù)學會中學數(shù)學專業(yè)委員會副主任、《現(xiàn)代中學數(shù)學》常務副主編等。

書籍目錄

第一章　數(shù)學思想概述1.1　對數(shù)學思想重要性的認識漸趨深刻1.1.1　經(jīng)驗的總結1.1.2　現(xiàn)實的需要1.1.3　認知的實現(xiàn)1.2　大力加強對數(shù)學思想的探討1.2.1　思想和數(shù)學思想1.2.2　數(shù)學思想與科學思想1.2.3　歷史上數(shù)學思想的幾次重大突破與中學數(shù)學教材內(nèi)容的階段性轉折1.2.4　數(shù)學思想中的基本數(shù)學思想1.2.5　思路、思緒、思考和意識(觀念)1.2.6　數(shù)學思想與數(shù)學方法的關系思考題第二章　兩大“基石"思想2.1　符號化與變元表示思想2.1.1　換元思想2.1.2　方程思想2.1.3　參數(shù)思想2.2　集合思想2.2.1　類分思想(并集思想)2.2.2　求同思想(交集思想)2.2.3　互補思想(補集思想)思考題思考題參考解答第三章　兩大“支柱"思想3.1　對應思想3.1.1　映射思想3.1.2　函數(shù)思想3.1.3　變換思想3.1.4　對稱思想3.1.5　遞歸思想3.1.6　數(shù)形結合思想3.2　公理化與結構思想3.2.1　公理化思想3.2.2　演繹思想3.2.3　日納思想3.2.4　類比思想3.2.5　結構思想3.2.6　極限思想3.2.7　模型思想思考題思考題參考解答第四章　兩大“主梁”思想4.1　系統(tǒng)與統(tǒng)計思想(一)4.1.1　系統(tǒng)思想4.1.2　整體思想4.1.3　分解組合思想4.1.4　運動變化思想4.1.5　最優(yōu)化思想4.2　系統(tǒng)與統(tǒng)計思想(二)4.2.1　統(tǒng)計思想4.2.2　隨機思想4.2.3　統(tǒng)計調查思想4.2.4　假設檢驗思想4.2.5　量化思想4.3　化歸與辯證思想(一)4.3.1　化歸思想4.3.2　縱向化歸4.3.3　橫向化歸4.3.4　同向化歸4.3.5　逆向化歸4.4　化歸與辯證思想(二)4.4.1　辯證思想4.4.2　對立統(tǒng)一思想4.4.3　互變思想4.4.4　轉換思想4.4.5　一分為二思想思考題思考題參考解答第五章　數(shù)學思想的運用與領悟5.1　集合問題5.1.1　學習集合應注意的幾個問題——符號化與變元表示思想的運用5.1.2　集合的圖形表示及應用——數(shù)形結合思想的運用5.1.3　關注集合元素的特征——符號化與變元表示思想的運用5.1.4　重視空集的特殊性和重要作用——一分為二思想的運用5.1.5　反面求解——補集思想的運用5.2　簡易邏輯與推理問題5.2.1　邏輯聯(lián)結詞與真假命題的集合語言表示——結構思想的運用5.2.2　用集合觀點處理充要條件問題——集合思想的運用5.2.3　對數(shù)學歸納法的深入理解——遞歸思想的運用5.3　函數(shù)問題5.3.1　映射、函數(shù)等概念的正確把握——特殊與一般轉換思想的運用5.3.2　函數(shù)的單調區(qū)間及單調性的應用——模型思想的運用5.3.3　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性及應用——類分思想的運用5.3.4　冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的參變量漫談——運動變化思想的運用5.3.5　從反函數(shù)的定義談起——對應思想的運用5.3.6　函數(shù)奇偶性的判定與應用——符號化變元表示思想的運用5.3.7　關于對稱問題的求解——對稱思想的運用5.4　三角問題5.4.1　對角的概念推廣與符號表示的深刻認識——符號化與變元表示思想的運用5.4.2　弧度制及應用——對應思想的運用5.4.3　誘導公式的新概括——符號化與變元表示思想的運用5.4.4　函數(shù)y=Asin(舛+驢)的圖象——變換思想的運用5.4.5　單位圓的應用——數(shù)形結合思想的運用5.4.6　三角函數(shù)的性質及應用——特殊與一般轉換思想的運用5.4.7　角的代換與變換——化歸思想的運用5.4.8　三角式余弦定理——特殊與一般轉換思想的運用5.4.9　弦函數(shù)的“平方差”公式——整體思想的運用5.4.10　三角中的三倍角公式——變換思想的運用5.4.11　余弦定理的簡單應用——轉換思想的運用5.5　立體幾何問題5.5.1　平面的屬性與描述——符號化與變元表示思想的運用5.5.2　公理3的三個推論的證明——公理化思想的運用5.5.3　空間直線位置關系的識別與證明——類分思想的運用5.5.4　線面垂直判定定理的證明——轉化思想的運用5.5.5　直線和平面所成的角及其求解——轉化思想的運用5.5.6　平面與平面平行、垂直的判定與性質——歸納思想的運用5.5.7　二面角的求解方法——歸納思想的運用5.5.8　立體幾何求解題的規(guī)范化表述——最優(yōu)化思想的運用5.5.9　立體幾何中的反證法證明——補集思想的運用5.5.10　平面圖形的翻折問題及求解——運動變化思想的運用5.5.11　異面直線上兩點問的距離公式——化歸思想的運用5.5.12　底面為矩形的棱錐的一個美妙結論——化歸思想的運用5.5.13　平行六面體的妙用——模型思想的運用5.5.14　立體幾何中的幾何變換——運動變化思想的運用5.5.15　一種重要的思維方式——類比思想的運用5.5.16　一種有效的處理途徑一轉換思想的運用5.5.17　一種常用的求解方法——分解組合思想的運用5.5.18　射影法與解析法的配合運用——轉化思想的運用5.5.19　三類角的珠聯(lián)璧合關系——系統(tǒng)思想的運用5.5.20　立體幾何中的“定比分點”公式——特殊向一般轉換思想的運用5.6　平面解析幾何問題5.6.1　解析法證題淺談——數(shù)形結合思想的運用5.6.2　定比分點公式淺析——公式所包含的多種思想5.6.3　直線及直線方程的建立——數(shù)形結合思想的運用5.6.4　簡單的線性規(guī)劃及應用——最優(yōu)化思想的運用5.6.5　直線系方程——參數(shù)思想的運用5.6.6　直線與圓有公共點的運用——參數(shù)思想的運用5.6.7　圓的各種形式的方程及應用——符號化與變元表示思想的運用5.6.8　談圓的直徑式方程——分解組合思想的運用5.6.9　動點到兩定點距離的和差最值——類比思想的運用5.6.10　圓、橢圓、雙曲線的定義問題——縱向化歸思想的運用5.6.11　利用圓錐曲線的定義解題——化歸思想的運用5.6.12　一串優(yōu)美的定值結論——特殊與一般轉化思想的運用5.6.13　圓錐曲線焦半徑公式的應用——模型思想的運用5.6.14　過圓錐曲線上一點的切線方程問題——變換思想的運用5.6.15　軌跡方程的求法——交集思想的運用5.6.16　處理圓錐曲線問題應注意的一個方面——對稱思想的運月5.6.17　設而不求——整體思想的運用5.6.18　簡化計算的妙方——對稱思想的運用5.6.19　一道拋物線問題的求解——結構思想的運用5.6.20　圓錐曲線的光學性質及應用——結構思想的運用5.7　排列組合與二項式定理問題5.7.1　兩個計數(shù)原理的理解與運用——類分思想的運用5.7.2　從集合的角度看排列組合——集合思想的運用5.7.3　二項式定理的應用舉例——模型思想的運用5.8　概率問題5.8.1　對事件及概率的辨析理解——類比思想的運用5.8.2　從集合角度看事件與概率——集合思想的運用5.9　向量問題5.9.1　向量的概念及加減運算——模型思想的運用5.9.2　平面向量的基本定理及應用——符號化與變元表示思想的運用5.9.3　平面向量的數(shù)量積及應用——類比與轉化思想的運用5.9.4　空間向量在立體幾何中的應用——數(shù)形結合思想的運用5.10　數(shù)列問題5.10.1　關于數(shù)列一般概念的理解——結構思想的運用5.10.2　對等差數(shù)列的深化認識——結構思想的運用5.10.3　用函數(shù)觀點處理等差數(shù)列問題——函數(shù)思想的運用5.10.4　對等比數(shù)列的深刻認識——類比與結構思想的運用5.10.5　等差、等比中項的巧用——化歸思想的運用5.10.6　可化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列問題——模型思想的運用5.10.7　數(shù)列求和的若干方法——化歸思想的運用5.11　不等式問題5.11.1　由實數(shù)的性質到不等式的性質——化歸思想的運用5.11.2　實系數(shù)一元不等式的統(tǒng)一解法——函數(shù)思想的運用5.11.3　兩個不等式的一般形式——模型思想的運用5.11.4　二元與三元均值不等式的巧用——轉換思想的運用5.11.5　構作函數(shù)證明不等式——函數(shù)思想的運用5.11.6　運用放縮法證明不等式——化歸思想的運用5.12　復數(shù)問題5.12.1　對復數(shù)概念的深刻認識——對應思想的運用5.12.2　復數(shù)豐富多彩的性質——變換思想的運用5.12.3　處理復數(shù)問題的一條有效途徑——方程思想的運用5.12.4　借圖速解復數(shù)題——數(shù)形結合思想的運用5.12.5　復數(shù)幫了三角的忙——橫向化歸思想的運用5.12.6　復數(shù)在求解代數(shù)、平面幾何問題中的應用——模向化歸思想的運用5.12.7　復數(shù)與解析幾何問題——化歸思想的運用思考題思考題參考解答參考文獻作者出版的相關書籍與發(fā)表的相關文章目錄編后語

編輯推薦

　　本書為中學數(shù)學拓展叢書之一。在書中，作者提出了作為數(shù)學思想的奠基性或總括性成分的基本數(shù)學思想觀點，以及基本數(shù)學思想是由兩大“基石”、兩大“支柱”、兩大“主梁”思想等三大塊有機組成的探討，以企圖給數(shù)學思想構建一種理論體系。 本書可作為高等師范院校教育學院、教師進修學院數(shù)學專業(yè)及國家級、省級中學數(shù)學骨干教師培訓班的教材或教學參考書。

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